Theorem smfmullem3 44214

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmullem3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem3.k	⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem3.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem3.l	⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
smfmullem3.x	⊢ 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem3.y	⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
smfmullem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑞   𝑈,𝑞,𝑢,𝑣   𝑉,𝑞,𝑢,𝑣   𝑢,𝑌,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑌(𝑞)

Proof of Theorem smfmullem3

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem3.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
2		smfmullem3.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
4		1rp 12663	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
6		smfmullem3.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
8		smfmullem3.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
9		smfmullem3.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
10	1, 9	remulcld 10936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
11		smfmullem3.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
12		difrp 12697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
13	10, 11, 12	syl2anc 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
14	8, 13	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+)
15		1re 10906	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
17	1	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
18	17	abscld 15076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
19	9	recnd 10934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
20	19	abscld 15076	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
21	18, 20	readdcld 10935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
22	16, 21	readdcld 10935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
23		0re 10908	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25	5	rpgt0d 12704	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
26		0red 10909	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27	17	absge0d 15084	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
28	19	absge0d 15084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
29	18, 20	addge01d 11493	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
30	28, 29	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
31	26, 18, 21, 27, 30	letrd 11062	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
32	16, 21	addge01d 11493	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
33	31, 32	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
34	24, 16, 22, 25, 33	ltletrd 11065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
35	22, 34	elrpd 12698	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ+)
36	14, 35	rpdivcld 12718	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ+)
37	7, 36	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
38	5, 37	ifcld 4502	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ+)
39	3, 38	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 12701	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41	1, 40	resubcld 11333	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ)
42	41	rexrd 10956	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ*)
43	1	rexrd 10956	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
44	1, 39	ltsubrpd 12733	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) < 𝑈)
45	42, 43, 44	qelioo 42974	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈))
46	1, 40	readdcld 10935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
47	46	rexrd 10956	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*)
48	1, 39	ltaddrpd 12734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝑈 + 𝑌))
49	43, 47, 48	qelioo 42974	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
50	49	ad2antrr 722	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
51		simp-4l 779	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝜑)
52	9, 40	resubcld 11333	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ)
53	52	rexrd 10956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ*)
54	9	rexrd 10956	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ*)
55	9, 39	ltsubrpd 12733	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) < 𝑉)
56	53, 54, 55	qelioo 42974	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
57	51, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
58	51	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → 𝜑)
59	9, 40	readdcld 10935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
60	59	rexrd 10956	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*)
61	9, 39	ltaddrpd 12734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 < (𝑉 + 𝑌))
62	54, 60, 61	qelioo 42974	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
64	11	ad8antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑅 ∈ ℝ)
65		smfmullem3.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
66	1	ad8antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ)
67	9	ad8antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑉 ∈ ℝ)
68	8	ad8antr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
69		simp-8r 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ℚ)
70		simp-6r 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ ℚ)
71		simp-4r 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ℚ)
72		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ ℚ)
73		simp-7r 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈))
74		simp-5r 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
75		simpllr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
76		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
77	64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 6, 2	smfmullem2 44213	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
78	77	rexlimdva2 3215	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → (∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
79	63, 78	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
80	79	rexlimdva2 3215	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → (∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
81	57, 80	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
82	81	rexlimdva2 3215	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
83	50, 82	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
84	83	rexlimdva2 3215	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
85	45, 84	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064  {crab 3067  ifcif 4456   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255   ↑_m cmap 8573  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   − cmin 11135   / cdiv 11562  2c2 11958  3c3 11959  ℚcq 12617  ℝ⁺crp 12659  (,)cioo 13008  ...cfz 13168  abscabs 14873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-sup 9131  df-inf 9132  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-ioo 13012  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-seq 13650  df-exp 13711  df-hash 13973  df-word 14146  df-concat 14202  df-s1 14229  df-s2 14489  df-s3 14490  df-s4 14491  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875

This theorem is referenced by:  smfmullem4  44215