Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmullem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmullem3 45809
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem3.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
smfmullem3.k ๐พ = {๐‘ž โˆˆ (โ„š โ†‘m (0...3)) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1))โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))(๐‘ข ยท ๐‘ฃ) < ๐‘…}
smfmullem3.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„)
smfmullem3.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„)
smfmullem3.l (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰) < ๐‘…)
smfmullem3.x ๐‘‹ = ((๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) / (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))))
smfmullem3.y ๐‘Œ = if(1 โ‰ค ๐‘‹, 1, ๐‘‹)
Assertion
Ref Expression
smfmullem3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))))
Distinct variable groups:   ๐‘…,๐‘ž   ๐‘ˆ,๐‘ž,๐‘ข,๐‘ฃ   ๐‘‰,๐‘ž,๐‘ข,๐‘ฃ   ๐‘ข,๐‘Œ,๐‘ฃ   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฃ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ž)   ๐‘…(๐‘ฃ,๐‘ข)   ๐พ(๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ž)   ๐‘‹(๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ž)   ๐‘Œ(๐‘ž)

Proof of Theorem smfmullem3
Dummy variables ๐‘ ๐‘Ÿ ๐‘  ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfmullem3.u . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„)
2 smfmullem3.y . . . . . . . 8 ๐‘Œ = if(1 โ‰ค ๐‘‹, 1, ๐‘‹)
32a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ = if(1 โ‰ค ๐‘‹, 1, ๐‘‹))
4 1rp 12983 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„+
54a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
6 smfmullem3.x . . . . . . . . . 10 ๐‘‹ = ((๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) / (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))))
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = ((๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) / (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)))))
8 smfmullem3.l . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰) < ๐‘…)
9 smfmullem3.v . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„)
101, 9remulcld 11249 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„)
11 smfmullem3.r . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
12 difrp 13017 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ˆ ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ˆ ยท ๐‘‰) < ๐‘… โ†” (๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„+))
1310, 11, 12syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ ยท ๐‘‰) < ๐‘… โ†” (๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„+))
148, 13mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„+)
15 1re 11219 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
171recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
1817abscld 15388 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘ˆ) โˆˆ โ„)
199recnd 11247 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
2019abscld 15388 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘‰) โˆˆ โ„)
2118, 20readdcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)) โˆˆ โ„)
2216, 21readdcld 11248 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))) โˆˆ โ„)
23 0re 11221 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
255rpgt0d 13024 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
26 0red 11222 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2717absge0d 15396 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐‘ˆ))
2819absge0d 15396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐‘‰))
2918, 20addge01d 11807 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (absโ€˜๐‘‰) โ†” (absโ€˜๐‘ˆ) โ‰ค ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))))
3028, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘ˆ) โ‰ค ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)))
3126, 18, 21, 27, 30letrd 11376 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)))
3216, 21addge01d 11807 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)) โ†” 1 โ‰ค (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)))))
3331, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))))
3424, 16, 22, 25, 33ltletrd 11379 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))))
3522, 34elrpd 13018 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))) โˆˆ โ„+)
3614, 35rpdivcld 13038 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) / (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)))) โˆˆ โ„+)
377, 36eqeltrd 2832 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
385, 37ifcld 4575 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ if(1 โ‰ค ๐‘‹, 1, ๐‘‹) โˆˆ โ„+)
393, 38eqeltrd 2832 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
4039rpred 13021 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
411, 40resubcld 11647 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
4241rexrd 11269 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„*)
431rexrd 11269 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„*)
441, 39ltsubrpd 13053 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ) < ๐‘ˆ)
4542, 43, 44qelioo 44559 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ))
461, 40readdcld 11248 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ + ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
4746rexrd 11269 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ + ๐‘Œ) โˆˆ โ„*)
481, 39ltaddrpd 13054 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ < (๐‘ˆ + ๐‘Œ))
4943, 47, 48qelioo 44559 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ)))
5049ad2antrr 723 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ)))
51 simp-4l 780 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐œ‘)
529, 40resubcld 11647 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
5352rexrd 11269 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„*)
549rexrd 11269 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„*)
559, 39ltsubrpd 13053 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ) < ๐‘‰)
5653, 54, 55qelioo 44559 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„š ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰))
5751, 56syl 17 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„š ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰))
5851ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โ†’ ๐œ‘)
599, 40readdcld 11248 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰ + ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
6059rexrd 11269 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰ + ๐‘Œ) โˆˆ โ„*)
619, 39ltaddrpd 13054 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ < (๐‘‰ + ๐‘Œ))
6254, 60, 61qelioo 44559 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„š ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ)))
6358, 62syl 17 . . . . . . . 8 (((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„š ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ)))
6411ad8antr 737 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
65 smfmullem3.k . . . . . . . . . 10 ๐พ = {๐‘ž โˆˆ (โ„š โ†‘m (0...3)) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1))โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))(๐‘ข ยท ๐‘ฃ) < ๐‘…}
661ad8antr 737 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„)
679ad8antr 737 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„)
688ad8antr 737 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰) < ๐‘…)
69 simp-8r 789 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
70 simp-6r 785 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š)
71 simp-4r 781 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„š)
72 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„š)
73 simp-7r 787 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ))
74 simp-5r 783 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ)))
75 simpllr 773 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰))
76 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ)))
7764, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 6, 2smfmullem2 45808 . . . . . . . . 9 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))))
7877rexlimdva2 3156 . . . . . . . 8 (((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„š ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3)))))
7963, 78mpd 15 . . . . . . 7 (((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))))
8079rexlimdva2 3156 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„š ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3)))))
8157, 80mpd 15 . . . . 5 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))))
8281rexlimdva2 3156 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3)))))
8350, 82mpd 15 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))))
8483rexlimdva2 3156 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3)))))
8545, 84mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ€wral 3060  โˆƒwrex 3069  {crab 3431  ifcif 4529   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412   โ†‘m cmap 8823  โ„cr 11112  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253   โ‰ค cle 11254   โˆ’ cmin 11449   / cdiv 11876  2c2 12272  3c3 12273  โ„šcq 12937  โ„+crp 12979  (,)cioo 13329  ...cfz 13489  abscabs 15186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-sup 9440  df-inf 9441  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-ioo 13333  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-seq 13972  df-exp 14033  df-hash 14296  df-word 14470  df-concat 14526  df-s1 14551  df-s2 14804  df-s3 14805  df-s4 14806  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188
This theorem is referenced by:  smfmullem4  45810
  Copyright terms: Public domain W3C validator