Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmullem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmullem3 46749
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem3.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem3.k 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem3.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem3.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem3.l (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
smfmullem3.x 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem3.y 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
Assertion
Ref Expression
smfmullem3 (𝜑 → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑞   𝑈,𝑞,𝑢,𝑣   𝑉,𝑞,𝑢,𝑣   𝑢,𝑌,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑌(𝑞)

Proof of Theorem smfmullem3
Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfmullem3.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
2 smfmullem3.y . . . . . . . 8 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
4 1rp 13036 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
6 smfmullem3.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
8 smfmullem3.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
9 smfmullem3.v . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
101, 9remulcld 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
11 smfmullem3.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
12 difrp 13071 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
148, 13mpbid 232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+)
15 1re 11259 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
171recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
1817abscld 15472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
199recnd 11287 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
2019abscld 15472 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
2118, 20readdcld 11288 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
2216, 21readdcld 11288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
23 0re 11261 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
255rpgt0d 13078 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
26 0red 11262 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2717absge0d 15480 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
2819absge0d 15480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
2918, 20addge01d 11849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
3028, 29mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
3126, 18, 21, 27, 30letrd 11416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
3216, 21addge01d 11849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
3331, 32mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
3424, 16, 22, 25, 33ltletrd 11419 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
3522, 34elrpd 13072 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ+)
3614, 35rpdivcld 13092 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ+)
377, 36eqeltrd 2839 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
385, 37ifcld 4577 . . . . . . 7 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ+)
393, 38eqeltrd 2839 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
4039rpred 13075 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
411, 40resubcld 11689 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ)
4241rexrd 11309 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ*)
431rexrd 11309 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
441, 39ltsubrpd 13107 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑌) < 𝑈)
4542, 43, 44qelioo 45499 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
461, 40readdcld 11288 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
4746rexrd 11309 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*)
481, 39ltaddrpd 13108 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < (𝑈 + 𝑌))
4943, 47, 48qelioo 45499 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
5049ad2antrr 726 . . . 4 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
51 simp-4l 783 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝜑)
529, 40resubcld 11689 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ)
5352rexrd 11309 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ*)
549rexrd 11309 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ ℝ*)
559, 39ltsubrpd 13107 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉𝑌) < 𝑉)
5653, 54, 55qelioo 45499 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
5751, 56syl 17 . . . . . 6 (((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
5851ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → 𝜑)
599, 40readdcld 11288 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
6059rexrd 11309 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*)
619, 39ltaddrpd 13108 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 < (𝑉 + 𝑌))
6254, 60, 61qelioo 45499 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
6358, 62syl 17 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
6411ad8antr 740 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑅 ∈ ℝ)
65 smfmullem3.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
661ad8antr 740 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ)
679ad8antr 740 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑉 ∈ ℝ)
688ad8antr 740 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
69 simp-8r 792 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ℚ)
70 simp-6r 788 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ ℚ)
71 simp-4r 784 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ℚ)
72 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ ℚ)
73 simp-7r 790 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
74 simp-5r 786 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
75 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
76 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
7764, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 6, 2smfmullem2 46748 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
7877rexlimdva2 3155 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → (∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
7963, 78mpd 15 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
8079rexlimdva2 3155 . . . . . 6 (((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → (∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8157, 80mpd 15 . . . . 5 (((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
8281rexlimdva2 3155 . . . 4 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8350, 82mpd 15 . . 3 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
8483rexlimdva2 3155 . 2 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8545, 84mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  3c3 12320  cq 12988  +crp 13032  (,)cioo 13384  ...cfz 13544  abscabs 15270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-ioo 13388  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-exp 14100  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-s2 14884  df-s3 14885  df-s4 14886  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272
This theorem is referenced by:  smfmullem4  46750
  Copyright terms: Public domain W3C validator