Theorem smfmullem3 47221

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmullem3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem3.k	⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem3.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem3.l	⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
smfmullem3.x	⊢ 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem3.y	⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
smfmullem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑞   𝑈,𝑞,𝑢,𝑣   𝑉,𝑞,𝑢,𝑣   𝑢,𝑌,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑌(𝑞)

Proof of Theorem smfmullem3

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem3.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
2		smfmullem3.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
4		1rp 12946	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
6		smfmullem3.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
8		smfmullem3.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
9		smfmullem3.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
10	1, 9	remulcld 11175	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
11		smfmullem3.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
12		difrp 12982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
13	10, 11, 12	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
14	8, 13	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+)
15		1re 11144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
17	1	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
18	17	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
19	9	recnd 11173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
20	19	abscld 15401	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
21	18, 20	readdcld 11174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
22	16, 21	readdcld 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
23		0re 11146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25	5	rpgt0d 12989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
26		0red 11147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27	17	absge0d 15409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
28	19	absge0d 15409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
29	18, 20	addge01d 11738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
30	28, 29	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
31	26, 18, 21, 27, 30	letrd 11303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
32	16, 21	addge01d 11738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
33	31, 32	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
34	24, 16, 22, 25, 33	ltletrd 11306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
35	22, 34	elrpd 12983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ+)
36	14, 35	rpdivcld 13003	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ+)
37	7, 36	eqeltrd 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
38	5, 37	ifcld 4513	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ+)
39	3, 38	eqeltrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 12986	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41	1, 40	resubcld 11578	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ)
42	41	rexrd 11195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ*)
43	1	rexrd 11195	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
44	1, 39	ltsubrpd 13018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) < 𝑈)
45	42, 43, 44	qelioo 45976	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈))
46	1, 40	readdcld 11174	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
47	46	rexrd 11195	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*)
48	1, 39	ltaddrpd 13019	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝑈 + 𝑌))
49	43, 47, 48	qelioo 45976	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
50	49	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
51		simp-4l 783	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝜑)
52	9, 40	resubcld 11578	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ)
53	52	rexrd 11195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ*)
54	9	rexrd 11195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ*)
55	9, 39	ltsubrpd 13018	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) < 𝑉)
56	53, 54, 55	qelioo 45976	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
57	51, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
58	51	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → 𝜑)
59	9, 40	readdcld 11174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
60	59	rexrd 11195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*)
61	9, 39	ltaddrpd 13019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 < (𝑉 + 𝑌))
62	54, 60, 61	qelioo 45976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
64	11	ad8antr 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑅 ∈ ℝ)
65		smfmullem3.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
66	1	ad8antr 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ)
67	9	ad8antr 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑉 ∈ ℝ)
68	8	ad8antr 741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
69		simp-8r 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ℚ)
70		simp-6r 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ ℚ)
71		simp-4r 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ℚ)
72		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ ℚ)
73		simp-7r 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈))
74		simp-5r 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
75		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
76		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
77	64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 6, 2	smfmullem2 47220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
78	77	rexlimdva2 3140	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → (∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
79	63, 78	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
80	79	rexlimdva2 3140	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → (∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
81	57, 80	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
82	81	rexlimdva2 3140	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
83	50, 82	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
84	83	rexlimdva2 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
85	45, 84	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {crab 3389  ifcif 4466   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377   / cdiv 11807  2c2 12236  3c3 12237  ℚcq 12898  ℝ⁺crp 12942  (,)cioo 13298  ...cfz 13461  abscabs 15196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-ioo 13302  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-s4 14812  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198

This theorem is referenced by:  smfmullem4  47222