Theorem smfmullem3 44327

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmullem3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem3.k	⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem3.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem3.l	⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
smfmullem3.x	⊢ 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem3.y	⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
smfmullem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑞   𝑈,𝑞,𝑢,𝑣   𝑉,𝑞,𝑢,𝑣   𝑢,𝑌,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑌(𝑞)

Proof of Theorem smfmullem3

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem3.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
2		smfmullem3.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
4		1rp 12734	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
6		smfmullem3.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
8		smfmullem3.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
9		smfmullem3.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
10	1, 9	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
11		smfmullem3.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
12		difrp 12768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
14	8, 13	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+)
15		1re 10975	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
17	1	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
18	17	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
19	9	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
20	19	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
21	18, 20	readdcld 11004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
22	16, 21	readdcld 11004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
23		0re 10977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25	5	rpgt0d 12775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
26		0red 10978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27	17	absge0d 15156	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
28	19	absge0d 15156	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
29	18, 20	addge01d 11563	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
30	28, 29	mpbid 231	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
31	26, 18, 21, 27, 30	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
32	16, 21	addge01d 11563	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
33	31, 32	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
34	24, 16, 22, 25, 33	ltletrd 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
35	22, 34	elrpd 12769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ+)
36	14, 35	rpdivcld 12789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ+)
37	7, 36	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
38	5, 37	ifcld 4505	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ+)
39	3, 38	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 12772	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41	1, 40	resubcld 11403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ)
42	41	rexrd 11025	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ*)
43	1	rexrd 11025	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
44	1, 39	ltsubrpd 12804	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) < 𝑈)
45	42, 43, 44	qelioo 43084	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈))
46	1, 40	readdcld 11004	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
47	46	rexrd 11025	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*)
48	1, 39	ltaddrpd 12805	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝑈 + 𝑌))
49	43, 47, 48	qelioo 43084	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
50	49	ad2antrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
51		simp-4l 780	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝜑)
52	9, 40	resubcld 11403	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ)
53	52	rexrd 11025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ*)
54	9	rexrd 11025	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ*)
55	9, 39	ltsubrpd 12804	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) < 𝑉)
56	53, 54, 55	qelioo 43084	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
57	51, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
58	51	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → 𝜑)
59	9, 40	readdcld 11004	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
60	59	rexrd 11025	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*)
61	9, 39	ltaddrpd 12805	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 < (𝑉 + 𝑌))
62	54, 60, 61	qelioo 43084	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
64	11	ad8antr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑅 ∈ ℝ)
65		smfmullem3.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
66	1	ad8antr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ)
67	9	ad8antr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑉 ∈ ℝ)
68	8	ad8antr 737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
69		simp-8r 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ℚ)
70		simp-6r 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ ℚ)
71		simp-4r 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ℚ)
72		simplr 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ ℚ)
73		simp-7r 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈))
74		simp-5r 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
75		simpllr 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
76		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
77	64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 6, 2	smfmullem2 44326	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
78	77	rexlimdva2 3216	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → (∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
79	63, 78	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
80	79	rexlimdva2 3216	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → (∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
81	57, 80	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
82	81	rexlimdva2 3216	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
83	50, 82	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
84	83	rexlimdva2 3216	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
85	45, 84	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3065  {crab 3068  ifcif 4459   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275   ↑_m cmap 8615  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  2c2 12028  3c3 12029  ℚcq 12688  ℝ⁺crp 12730  (,)cioo 13079  ...cfz 13239  abscabs 14945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-ioo 13083  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-s1 14301  df-s2 14561  df-s3 14562  df-s4 14563  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947

This theorem is referenced by:  smfmullem4  44328