Theorem smfmullem3 43999

Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfmullem3.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem3.k	⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem3.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem3.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem3.l	⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
smfmullem3.x	⊢ 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem3.y	⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
smfmullem3	⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))

Distinct variable groups:   𝑅,𝑞   𝑈,𝑞,𝑢,𝑣   𝑉,𝑞,𝑢,𝑣   𝑢,𝑌,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑌(𝑞)

Proof of Theorem smfmullem3

Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfmullem3.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ)
2		smfmullem3.y	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
3	2	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
4		1rp 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ+
5	4	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
6		smfmullem3.x	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
7	6	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
8		smfmullem3.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
9		smfmullem3.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ)
10	1, 9	remulcld 10863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
11		smfmullem3.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ)
12		difrp 12624	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
13	10, 11, 12	syl2anc 587	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
14	8, 13	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+)
15		1re 10833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℝ
16	15	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
17	1	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ)
18	17	abscld 15000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
19	9	recnd 10861	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ)
20	19	abscld 15000	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
21	18, 20	readdcld 10862	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
22	16, 21	readdcld 10862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
23		0re 10835	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℝ
24	23	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
25	5	rpgt0d 12631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 < 1)
26		0red 10836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
27	17	absge0d 15008	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
28	19	absge0d 15008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
29	18, 20	addge01d 11420	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
30	28, 29	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
31	26, 18, 21, 27, 30	letrd 10989	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
32	16, 21	addge01d 11420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
33	31, 32	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
34	24, 16, 22, 25, 33	ltletrd 10992	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
35	22, 34	elrpd 12625	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ+)
36	14, 35	rpdivcld 12645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ+)
37	7, 36	eqeltrd 2838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ+)
38	5, 37	ifcld 4485	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ+)
39	3, 38	eqeltrd 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ+)
40	39	rpred 12628	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
41	1, 40	resubcld 11260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ)
42	41	rexrd 10883	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ*)
43	1	rexrd 10883	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ*)
44	1, 39	ltsubrpd 12660	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) < 𝑈)
45	42, 43, 44	qelioo 42759	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈))
46	1, 40	readdcld 10862	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
47	46	rexrd 10883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*)
48	1, 39	ltaddrpd 12661	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝑈 + 𝑌))
49	43, 47, 48	qelioo 42759	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
50	49	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
51		simp-4l 783	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝜑)
52	9, 40	resubcld 11260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ)
53	52	rexrd 10883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ*)
54	9	rexrd 10883	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ*)
55	9, 39	ltsubrpd 12660	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) < 𝑉)
56	53, 54, 55	qelioo 42759	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
57	51, 56	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
58	51	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → 𝜑)
59	9, 40	readdcld 10862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
60	59	rexrd 10883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*)
61	9, 39	ltaddrpd 12661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑉 < (𝑉 + 𝑌))
62	54, 60, 61	qelioo 42759	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
63	58, 62	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
64	11	ad8antr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑅 ∈ ℝ)
65		smfmullem3.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
66	1	ad8antr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ)
67	9	ad8antr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑉 ∈ ℝ)
68	8	ad8antr 740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
69		simp-8r 792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ℚ)
70		simp-6r 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ ℚ)
71		simp-4r 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ℚ)
72		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ ℚ)
73		simp-7r 790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈))
74		simp-5r 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
75		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉))
76		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
77	64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 6, 2	smfmullem2 43998	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
78	77	rexlimdva2 3206	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → (∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
79	63, 78	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
80	79	rexlimdva2 3206	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → (∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
81	57, 80	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
82	81	rexlimdva2 3206	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
83	50, 82	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
84	83	rexlimdva2 3206	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
85	45, 84	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∀wral 3061  ∃wrex 3062  {crab 3065  ifcif 4439   class class class wbr 5053  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213   ↑_m cmap 8508  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734   < clt 10867   ≤ cle 10868   − cmin 11062   / cdiv 11489  2c2 11885  3c3 11886  ℚcq 12544  ℝ⁺crp 12586  (,)cioo 12935  ...cfz 13095  abscabs 14797

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-ioo 12939  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-s1 14153  df-s2 14413  df-s3 14414  df-s4 14415  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799

This theorem is referenced by:  smfmullem4  44000