| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | smfmullem3.u |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ) |
| 2 | | smfmullem3.y |
. . . . . . . 8
⊢ 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) |
| 3 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)) |
| 4 | | 1rp 13038 |
. . . . . . . . 9
⊢ 1 ∈
ℝ+ |
| 5 | 4 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ+) |
| 6 | | smfmullem3.x |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) |
| 7 | 6 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))) |
| 8 | | smfmullem3.l |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅) |
| 9 | | smfmullem3.v |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℝ) |
| 10 | 1, 9 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ) |
| 11 | | smfmullem3.r |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℝ) |
| 12 | | difrp 13073 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈
ℝ+)) |
| 13 | 10, 11, 12 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈
ℝ+)) |
| 14 | 8, 13 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈
ℝ+) |
| 15 | | 1re 11261 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 1 ∈
ℝ |
| 16 | 15 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 1 ∈
ℝ) |
| 17 | 1 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℂ) |
| 18 | 17 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈
ℝ) |
| 19 | 9 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ ℂ) |
| 20 | 19 | abscld 15475 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈
ℝ) |
| 21 | 18, 20 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ) |
| 22 | 16, 21 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ) |
| 23 | | 0re 11263 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 24 | 23 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
| 25 | 5 | rpgt0d 13080 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 0 < 1) |
| 26 | | 0red 11264 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
| 27 | 17 | absge0d 15483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈)) |
| 28 | 19 | absge0d 15483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉)) |
| 29 | 18, 20 | addge01d 11851 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) |
| 30 | 28, 29 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) |
| 31 | 26, 18, 21, 27, 30 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) |
| 32 | 16, 21 | addge01d 11851 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))) |
| 33 | 31, 32 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → 1 ≤ (1 +
((abs‘𝑈) +
(abs‘𝑉)))) |
| 34 | 24, 16, 22, 25, 33 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 < (1 +
((abs‘𝑈) +
(abs‘𝑉)))) |
| 35 | 22, 34 | elrpd 13074 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈
ℝ+) |
| 36 | 14, 35 | rpdivcld 13094 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈
ℝ+) |
| 37 | 7, 36 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈
ℝ+) |
| 38 | 5, 37 | ifcld 4572 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈
ℝ+) |
| 39 | 3, 38 | eqeltrd 2841 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈
ℝ+) |
| 40 | 39 | rpred 13077 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
| 41 | 1, 40 | resubcld 11691 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈ ℝ) |
| 42 | 41 | rexrd 11311 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) ∈
ℝ*) |
| 43 | 1 | rexrd 11311 |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈
ℝ*) |
| 44 | 1, 39 | ltsubrpd 13109 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (𝑈 − 𝑌) < 𝑈) |
| 45 | 42, 43, 44 | qelioo 45559 |
. 2
⊢ (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) |
| 46 | 1, 40 | readdcld 11290 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ) |
| 47 | 46 | rexrd 11311 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈
ℝ*) |
| 48 | 1, 39 | ltaddrpd 13110 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑈 < (𝑈 + 𝑌)) |
| 49 | 43, 47, 48 | qelioo 45559 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) |
| 50 | 49 | ad2antrr 726 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) |
| 51 | | simp-4l 783 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝜑) |
| 52 | 9, 40 | resubcld 11691 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈ ℝ) |
| 53 | 52 | rexrd 11311 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) ∈
ℝ*) |
| 54 | 9 | rexrd 11311 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈
ℝ*) |
| 55 | 9, 39 | ltsubrpd 13109 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝑉 − 𝑌) < 𝑉) |
| 56 | 53, 54, 55 | qelioo 45559 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) |
| 57 | 51, 56 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) |
| 58 | 51 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → 𝜑) |
| 59 | 9, 40 | readdcld 11290 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ) |
| 60 | 59 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈
ℝ*) |
| 61 | 9, 39 | ltaddrpd 13110 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝑉 < (𝑉 + 𝑌)) |
| 62 | 54, 60, 61 | qelioo 45559 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) |
| 63 | 58, 62 | syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) |
| 64 | 11 | ad8antr 740 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑅 ∈ ℝ) |
| 65 | | smfmullem3.k |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3))
∣ ∀𝑢 ∈
((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅} |
| 66 | 1 | ad8antr 740 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ) |
| 67 | 9 | ad8antr 740 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑉 ∈ ℝ) |
| 68 | 8 | ad8antr 740 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅) |
| 69 | | simp-8r 792 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ℚ) |
| 70 | | simp-6r 788 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ ℚ) |
| 71 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ℚ) |
| 72 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ ℚ) |
| 73 | | simp-7r 790 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) |
| 74 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) |
| 75 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) |
| 76 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) |
| 77 | 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 6, 2 | smfmullem2 46807 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) |
| 78 | 77 | rexlimdva2 3157 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → (∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))) |
| 79 | 63, 78 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) |
| 80 | 79 | rexlimdva2 3157 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → (∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉 − 𝑌)(,)𝑉) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))) |
| 81 | 57, 80 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) |
| 82 | 81 | rexlimdva2 3157 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))) |
| 83 | 50, 82 | mpd 15 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) |
| 84 | 83 | rexlimdva2 3157 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈 − 𝑌)(,)𝑈) → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))) |
| 85 | 45, 84 | mpd 15 |
1
⊢ (𝜑 → ∃𝑞 ∈ 𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))) |