Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmullem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmullem3 45588
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem3.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
smfmullem3.k ๐พ = {๐‘ž โˆˆ (โ„š โ†‘m (0...3)) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1))โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))(๐‘ข ยท ๐‘ฃ) < ๐‘…}
smfmullem3.u (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„)
smfmullem3.v (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„)
smfmullem3.l (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰) < ๐‘…)
smfmullem3.x ๐‘‹ = ((๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) / (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))))
smfmullem3.y ๐‘Œ = if(1 โ‰ค ๐‘‹, 1, ๐‘‹)
Assertion
Ref Expression
smfmullem3 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))))
Distinct variable groups:   ๐‘…,๐‘ž   ๐‘ˆ,๐‘ž,๐‘ข,๐‘ฃ   ๐‘‰,๐‘ž,๐‘ข,๐‘ฃ   ๐‘ข,๐‘Œ,๐‘ฃ   ๐œ‘,๐‘ข,๐‘ฃ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ž)   ๐‘…(๐‘ฃ,๐‘ข)   ๐พ(๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ž)   ๐‘‹(๐‘ฃ,๐‘ข,๐‘ž)   ๐‘Œ(๐‘ž)

Proof of Theorem smfmullem3
Dummy variables ๐‘ ๐‘Ÿ ๐‘  ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfmullem3.u . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„)
2 smfmullem3.y . . . . . . . 8 ๐‘Œ = if(1 โ‰ค ๐‘‹, 1, ๐‘‹)
32a1i 11 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ = if(1 โ‰ค ๐‘‹, 1, ๐‘‹))
4 1rp 12980 . . . . . . . . 9 1 โˆˆ โ„+
54a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„+)
6 smfmullem3.x . . . . . . . . . 10 ๐‘‹ = ((๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) / (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))))
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ = ((๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) / (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)))))
8 smfmullem3.l . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰) < ๐‘…)
9 smfmullem3.v . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„)
101, 9remulcld 11246 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„)
11 smfmullem3.r . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
12 difrp 13014 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ˆ ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘ˆ ยท ๐‘‰) < ๐‘… โ†” (๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„+))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ˆ ยท ๐‘‰) < ๐‘… โ†” (๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„+))
148, 13mpbid 231 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„+)
15 1re 11216 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โˆˆ โ„)
171recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„‚)
1817abscld 15385 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘ˆ) โˆˆ โ„)
199recnd 11244 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
2019abscld 15385 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘‰) โˆˆ โ„)
2118, 20readdcld 11245 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)) โˆˆ โ„)
2216, 21readdcld 11245 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))) โˆˆ โ„)
23 0re 11218 . . . . . . . . . . . . 13 0 โˆˆ โ„
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
255rpgt0d 13021 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 0 < 1)
26 0red 11219 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2717absge0d 15393 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐‘ˆ))
2819absge0d 15393 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐‘‰))
2918, 20addge01d 11804 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (absโ€˜๐‘‰) โ†” (absโ€˜๐‘ˆ) โ‰ค ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))))
3028, 29mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (absโ€˜๐‘ˆ) โ‰ค ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)))
3126, 18, 21, 27, 30letrd 11373 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)))
3216, 21addge01d 11804 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)) โ†” 1 โ‰ค (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)))))
3331, 32mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ 1 โ‰ค (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))))
3424, 16, 22, 25, 33ltletrd 11376 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ 0 < (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))))
3522, 34elrpd 13015 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰))) โˆˆ โ„+)
3614, 35rpdivcld 13035 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘… โˆ’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰)) / (1 + ((absโ€˜๐‘ˆ) + (absโ€˜๐‘‰)))) โˆˆ โ„+)
377, 36eqeltrd 2833 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„+)
385, 37ifcld 4574 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ if(1 โ‰ค ๐‘‹, 1, ๐‘‹) โˆˆ โ„+)
393, 38eqeltrd 2833 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„+)
4039rpred 13018 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
411, 40resubcld 11644 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
4241rexrd 11266 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„*)
431rexrd 11266 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„*)
441, 39ltsubrpd 13050 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ) < ๐‘ˆ)
4542, 43, 44qelioo 44338 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ))
461, 40readdcld 11245 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ + ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
4746rexrd 11266 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ˆ + ๐‘Œ) โˆˆ โ„*)
481, 39ltaddrpd 13051 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ˆ < (๐‘ˆ + ๐‘Œ))
4943, 47, 48qelioo 44338 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ)))
5049ad2antrr 724 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ)))
51 simp-4l 781 . . . . . . 7 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐œ‘)
529, 40resubcld 11644 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
5352rexrd 11266 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„*)
549rexrd 11266 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„*)
559, 39ltsubrpd 13050 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ) < ๐‘‰)
5653, 54, 55qelioo 44338 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„š ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰))
5751, 56syl 17 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โ†’ โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„š ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰))
5851ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โ†’ ๐œ‘)
599, 40readdcld 11245 . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰ + ๐‘Œ) โˆˆ โ„)
6059rexrd 11266 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‰ + ๐‘Œ) โˆˆ โ„*)
619, 39ltaddrpd 13051 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‰ < (๐‘‰ + ๐‘Œ))
6254, 60, 61qelioo 44338 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„š ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ)))
6358, 62syl 17 . . . . . . . 8 (((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โ†’ โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„š ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ)))
6411ad8antr 738 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
65 smfmullem3.k . . . . . . . . . 10 ๐พ = {๐‘ž โˆˆ (โ„š โ†‘m (0...3)) โˆฃ โˆ€๐‘ข โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1))โˆ€๐‘ฃ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))(๐‘ข ยท ๐‘ฃ) < ๐‘…}
661ad8antr 738 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘ˆ โˆˆ โ„)
679ad8antr 738 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„)
688ad8antr 738 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ (๐‘ˆ ยท ๐‘‰) < ๐‘…)
69 simp-8r 790 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„š)
70 simp-6r 786 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š)
71 simp-4r 782 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ โ„š)
72 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„š)
73 simp-7r 788 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ))
74 simp-5r 784 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ)))
75 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰))
76 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ)))
7764, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 6, 2smfmullem2 45587 . . . . . . . . 9 (((((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ))) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))))
7877rexlimdva2 3157 . . . . . . . 8 (((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โ†’ (โˆƒ๐‘ง โˆˆ โ„š ๐‘ง โˆˆ (๐‘‰(,)(๐‘‰ + ๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3)))))
7963, 78mpd 15 . . . . . . 7 (((((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โˆง ๐‘  โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰)) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))))
8079rexlimdva2 3157 . . . . . 6 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โ†’ (โˆƒ๐‘  โˆˆ โ„š ๐‘  โˆˆ ((๐‘‰ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘‰) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3)))))
8157, 80mpd 15 . . . . 5 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ))) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))))
8281rexlimdva2 3157 . . . 4 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โ†’ (โˆƒ๐‘Ÿ โˆˆ โ„š ๐‘Ÿ โˆˆ (๐‘ˆ(,)(๐‘ˆ + ๐‘Œ)) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3)))))
8350, 82mpd 15 . . 3 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„š) โˆง ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ)) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))))
8483rexlimdva2 3157 . 2 (๐œ‘ โ†’ (โˆƒ๐‘ โˆˆ โ„š ๐‘ โˆˆ ((๐‘ˆ โˆ’ ๐‘Œ)(,)๐‘ˆ) โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3)))))
8545, 84mpd 15 1 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘ž โˆˆ ๐พ (๐‘ˆ โˆˆ ((๐‘žโ€˜0)(,)(๐‘žโ€˜1)) โˆง ๐‘‰ โˆˆ ((๐‘žโ€˜2)(,)(๐‘žโ€˜3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆ€wral 3061  โˆƒwrex 3070  {crab 3432  ifcif 4528   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   โ†‘m cmap 8822  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  2c2 12269  3c3 12270  โ„šcq 12934  โ„+crp 12976  (,)cioo 13326  ...cfz 13486  abscabs 15183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-ioo 13330  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-word 14467  df-concat 14523  df-s1 14548  df-s2 14801  df-s3 14802  df-s4 14803  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185
This theorem is referenced by:  smfmullem4  45589
  Copyright terms: Public domain W3C validator