Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfmullem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfmullem3 42934
Description: The multiplication of two sigma-measurable functions is measurable: this is the step (i) of the proof of Proposition 121E (d) of [Fremlin1] p. 37 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfmullem3.r (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
smfmullem3.k 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
smfmullem3.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
smfmullem3.v (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
smfmullem3.l (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
smfmullem3.x 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
smfmullem3.y 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
Assertion
Ref Expression
smfmullem3 (𝜑 → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
Distinct variable groups:   𝑅,𝑞   𝑈,𝑞,𝑢,𝑣   𝑉,𝑞,𝑢,𝑣   𝑢,𝑌,𝑣   𝜑,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑞)   𝑅(𝑣,𝑢)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑋(𝑣,𝑢,𝑞)   𝑌(𝑞)

Proof of Theorem smfmullem3
Dummy variables 𝑝 𝑟 𝑠 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfmullem3.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ ℝ)
2 smfmullem3.y . . . . . . . 8 𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋)
32a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 = if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋))
4 1rp 12383 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
54a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
6 smfmullem3.x . . . . . . . . . 10 𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
76a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑋 = ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
8 smfmullem3.l . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
9 smfmullem3.v . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑉 ∈ ℝ)
101, 9remulcld 10660 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ)
11 smfmullem3.r . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅 ∈ ℝ)
12 difrp 12417 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑈 · 𝑉) ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑈 · 𝑉) < 𝑅 ↔ (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+))
148, 13mpbid 233 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) ∈ ℝ+)
15 1re 10630 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
171recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑈 ∈ ℂ)
1817abscld 14786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘𝑈) ∈ ℝ)
199recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑉 ∈ ℂ)
2019abscld 14786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (abs‘𝑉) ∈ ℝ)
2118, 20readdcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ∈ ℝ)
2216, 21readdcld 10659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ)
23 0re 10632 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℝ
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
255rpgt0d 12424 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 1)
26 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2717absge0d 14794 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑈))
2819absge0d 14794 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘𝑉))
2918, 20addge01d 11217 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (0 ≤ (abs‘𝑉) ↔ (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
3028, 29mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (abs‘𝑈) ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
3126, 18, 21, 27, 30letrd 10786 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))
3216, 21addge01d 11217 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 ≤ ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)) ↔ 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))))
3331, 32mpbid 233 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 1 ≤ (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
3424, 16, 22, 25, 33ltletrd 10789 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))))
3522, 34elrpd 12418 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉))) ∈ ℝ+)
3614, 35rpdivcld 12438 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑅 − (𝑈 · 𝑉)) / (1 + ((abs‘𝑈) + (abs‘𝑉)))) ∈ ℝ+)
377, 36eqeltrd 2918 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ+)
385, 37ifcld 4515 . . . . . . 7 (𝜑 → if(1 ≤ 𝑋, 1, 𝑋) ∈ ℝ+)
393, 38eqeltrd 2918 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ+)
4039rpred 12421 . . . . 5 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
411, 40resubcld 11057 . . . 4 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ)
4241rexrd 10680 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑌) ∈ ℝ*)
431rexrd 10680 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
441, 39ltsubrpd 12453 . . 3 (𝜑 → (𝑈𝑌) < 𝑈)
4542, 43, 44qelioo 41687 . 2 (𝜑 → ∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
461, 40readdcld 10659 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ)
4746rexrd 10680 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑈 + 𝑌) ∈ ℝ*)
481, 39ltaddrpd 12454 . . . . . 6 (𝜑𝑈 < (𝑈 + 𝑌))
4943, 47, 48qelioo 41687 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
5049ad2antrr 722 . . . 4 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
51 simp-4l 779 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → 𝜑)
529, 40resubcld 11057 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ)
5352rexrd 10680 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉𝑌) ∈ ℝ*)
549rexrd 10680 . . . . . . . 8 (𝜑𝑉 ∈ ℝ*)
559, 39ltsubrpd 12453 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑉𝑌) < 𝑉)
5653, 54, 55qelioo 41687 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
5751, 56syl 17 . . . . . 6 (((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
5851ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → 𝜑)
599, 40readdcld 10659 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ)
6059rexrd 10680 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑉 + 𝑌) ∈ ℝ*)
619, 39ltaddrpd 12454 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑉 < (𝑉 + 𝑌))
6254, 60, 61qelioo 41687 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
6358, 62syl 17 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
6411ad8antr 736 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑅 ∈ ℝ)
65 smfmullem3.k . . . . . . . . . 10 𝐾 = {𝑞 ∈ (ℚ ↑m (0...3)) ∣ ∀𝑢 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1))∀𝑣 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))(𝑢 · 𝑣) < 𝑅}
661ad8antr 736 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑈 ∈ ℝ)
679ad8antr 736 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑉 ∈ ℝ)
688ad8antr 736 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → (𝑈 · 𝑉) < 𝑅)
69 simp-8r 788 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ℚ)
70 simp-6r 784 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ ℚ)
71 simp-4r 780 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ℚ)
72 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ ℚ)
73 simp-7r 786 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈))
74 simp-5r 782 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)))
75 simpllr 772 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉))
76 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)))
7764, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 6, 2smfmullem2 42933 . . . . . . . . 9 (((((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) ∧ 𝑧 ∈ ℚ) ∧ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌))) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
7877rexlimdva2 3292 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → (∃𝑧 ∈ ℚ 𝑧 ∈ (𝑉(,)(𝑉 + 𝑌)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
7963, 78mpd 15 . . . . . . 7 (((((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) ∧ 𝑠 ∈ ℚ) ∧ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
8079rexlimdva2 3292 . . . . . 6 (((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → (∃𝑠 ∈ ℚ 𝑠 ∈ ((𝑉𝑌)(,)𝑉) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8157, 80mpd 15 . . . . 5 (((((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) ∧ 𝑟 ∈ ℚ) ∧ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌))) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
8281rexlimdva2 3292 . . . 4 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → (∃𝑟 ∈ ℚ 𝑟 ∈ (𝑈(,)(𝑈 + 𝑌)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8350, 82mpd 15 . . 3 (((𝜑𝑝 ∈ ℚ) ∧ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈)) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
8483rexlimdva2 3292 . 2 (𝜑 → (∃𝑝 ∈ ℚ 𝑝 ∈ ((𝑈𝑌)(,)𝑈) → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3)))))
8545, 84mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑞𝐾 (𝑈 ∈ ((𝑞‘0)(,)(𝑞‘1)) ∧ 𝑉 ∈ ((𝑞‘2)(,)(𝑞‘3))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3143  wrex 3144  {crab 3147  ifcif 4470   class class class wbr 5063  cfv 6352  (class class class)co 7148  m cmap 8396  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  2c2 11681  3c3 11682  cq 12337  +crp 12379  (,)cioo 12728  ...cfz 12882  abscabs 14583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-sup 8895  df-inf 8896  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-4 11691  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-ioo 12732  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-word 13852  df-concat 13913  df-s1 13940  df-s2 14200  df-s3 14201  df-s4 14202  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585
This theorem is referenced by:  smfmullem4  42935
  Copyright terms: Public domain W3C validator