MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgmnncl 26519
Description: Closure of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmnncl ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem sgmnncl
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 12532 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2 sgmval2 26515 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴))
31, 2sylan 581 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴))
4 fzfid 13887 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1...𝐵) ∈ Fin)
5 dvdsssfz1 16208 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ⊆ (1...𝐵))
65adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ⊆ (1...𝐵))
74, 6ssfid 9217 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ∈ Fin)
8 elrabi 3643 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} → 𝑘 ∈ ℕ)
9 simpl 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10 nnexpcl 13989 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐴) ∈ ℕ)
118, 9, 10syl2anr 598 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵}) → (𝑘𝐴) ∈ ℕ)
1211nnzd 12534 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵}) → (𝑘𝐴) ∈ ℤ)
137, 12fsumzcl 15628 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℤ)
14 nnz 12528 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
15 iddvds 16160 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵𝐵)
17 breq1 5112 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐵 → (𝑝𝐵𝐵𝐵))
1817rspcev 3583 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝𝐵)
1916, 18mpdan 686 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝𝐵)
20 rabn0 4349 . . . . . . 7 ({𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝𝐵)
2119, 20sylibr 233 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ≠ ∅)
2221adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ≠ ∅)
2311nnrpd 12963 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵}) → (𝑘𝐴) ∈ ℝ+)
247, 22, 23fsumrpcl 15630 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℝ+)
2524rpgt0d 12968 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 < Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴))
26 elnnz 12517 . . 3 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴)))
2713, 25, 26sylanbrc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℕ)
283, 27eqeltrd 2834 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940  wrex 3070  {crab 3406  wss 3914  c0 4286   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  0cc0 11059  1c1 11060   < clt 11197  cn 12161  0cn0 12421  cz 12507  ...cfz 13433  cexp 13976  Σcsu 15579  cdvds 16144   σ csgm 26468
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-mod 13784  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-dvds 16145  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254  df-log 25935  df-cxp 25936  df-sgm 26474
This theorem is referenced by:  perfectlem1  26600  perfectlem2  26601  perfectALTVlem1  46003  perfectALTVlem2  46004
  Copyright terms: Public domain W3C validator