Theorem sgmnncl 26324

Description: Closure of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgmnncl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem sgmnncl

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12371	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		sgmval2 26320	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴))
3	1, 2	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴))
4		fzfid 13721	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1...𝐵) ∈ Fin)
5		dvdsssfz1 16055	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
6	5	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
7	4, 6	ssfid 9070	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
8		elrabi 3620	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} → 𝑘 ∈ ℕ)
9		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10		nnexpcl 13823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘↑𝐴) ∈ ℕ)
11	8, 9, 10	syl2anr 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → (𝑘↑𝐴) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12453	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → (𝑘↑𝐴) ∈ ℤ)
13	7, 12	fsumzcl 15475	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℤ)
14		nnz 12370	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
15		iddvds 16007	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∥ 𝐵)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∥ 𝐵)
17		breq1 5080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝐵 → (𝑝 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵))
18	17	rspcev 3563	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝 ∥ 𝐵)
19	16, 18	mpdan 683	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝 ∥ 𝐵)
20		rabn0 4322	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝 ∥ 𝐵)
21	19, 20	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ≠ ∅)
22	21	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ≠ ∅)
23	11	nnrpd 12798	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → (𝑘↑𝐴) ∈ ℝ+)
24	7, 22, 23	fsumrpcl 15477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℝ+)
25	24	rpgt0d 12803	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴))
26		elnnz 12357	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴)))
27	13, 25, 26	sylanbrc 582	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℕ)
28	3, 27	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2101   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068  {crab 3221   ⊆ wss 3889  ∅c0 4259   class class class wbr 5077  (class class class)co 7295  0cc0 10899  1c1 10900   < clt 11037  ℕcn 12001  ℕ₀cn0 12261  ℤcz 12347  ...cfz 13267  ↑cexp 13810  Σcsu 15425   ∥ cdvds 15991   σ csgm 26273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2103  ax-9 2111  ax-10 2132  ax-11 2149  ax-12 2166  ax-ext 2704  ax-rep 5212  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7608  ax-inf2 9427  ax-cnex 10955  ax-resscn 10956  ax-1cn 10957  ax-icn 10958  ax-addcl 10959  ax-addrcl 10960  ax-mulcl 10961  ax-mulrcl 10962  ax-mulcom 10963  ax-addass 10964  ax-mulass 10965  ax-distr 10966  ax-i2m1 10967  ax-1ne0 10968  ax-1rid 10969  ax-rnegex 10970  ax-rrecex 10971  ax-cnre 10972  ax-pre-lttri 10973  ax-pre-lttrn 10974  ax-pre-ltadd 10975  ax-pre-mulgt0 10976  ax-pre-sup 10977  ax-addf 10978  ax-mulf 10979

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2063  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2884  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3222  df-reu 3223  df-rab 3224  df-v 3436  df-sbc 3719  df-csb 3835  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3908  df-nul 4260  df-if 4463  df-pw 4538  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4842  df-int 4883  df-iun 4929  df-iin 4930  df-br 5078  df-opab 5140  df-mpt 5161  df-tr 5195  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-se 5547  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6399  df-fun 6449  df-fn 6450  df-f 6451  df-f1 6452  df-fo 6453  df-f1o 6454  df-fv 6455  df-isom 6456  df-riota 7252  df-ov 7298  df-oprab 7299  df-mpo 7300  df-of 7553  df-om 7733  df-1st 7851  df-2nd 7852  df-supp 7998  df-frecs 8117  df-wrecs 8148  df-recs 8222  df-rdg 8261  df-1o 8317  df-2o 8318  df-er 8518  df-map 8637  df-pm 8638  df-ixp 8706  df-en 8754  df-dom 8755  df-sdom 8756  df-fin 8757  df-fsupp 9157  df-fi 9198  df-sup 9229  df-inf 9230  df-oi 9297  df-card 9725  df-pnf 11039  df-mnf 11040  df-xr 11041  df-ltxr 11042  df-le 11043  df-sub 11235  df-neg 11236  df-div 11661  df-nn 12002  df-2 12064  df-3 12065  df-4 12066  df-5 12067  df-6 12068  df-7 12069  df-8 12070  df-9 12071  df-n0 12262  df-z 12348  df-dec 12466  df-uz 12611  df-q 12717  df-rp 12759  df-xneg 12876  df-xadd 12877  df-xmul 12878  df-ioo 13111  df-ioc 13112  df-ico 13113  df-icc 13114  df-fz 13268  df-fzo 13411  df-fl 13540  df-mod 13618  df-seq 13750  df-exp 13811  df-fac 14016  df-bc 14045  df-hash 14073  df-shft 14806  df-cj 14838  df-re 14839  df-im 14840  df-sqrt 14974  df-abs 14975  df-limsup 15208  df-clim 15225  df-rlim 15226  df-sum 15426  df-ef 15805  df-sin 15807  df-cos 15808  df-pi 15810  df-dvds 15992  df-struct 16876  df-sets 16893  df-slot 16911  df-ndx 16923  df-base 16941  df-ress 16970  df-plusg 17003  df-mulr 17004  df-starv 17005  df-sca 17006  df-vsca 17007  df-ip 17008  df-tset 17009  df-ple 17010  df-ds 17012  df-unif 17013  df-hom 17014  df-cco 17015  df-rest 17161  df-topn 17162  df-0g 17180  df-gsum 17181  df-topgen 17182  df-pt 17183  df-prds 17186  df-xrs 17241  df-qtop 17246  df-imas 17247  df-xps 17249  df-mre 17323  df-mrc 17324  df-acs 17326  df-mgm 18354  df-sgrp 18403  df-mnd 18414  df-submnd 18459  df-mulg 18729  df-cntz 18951  df-cmn 19416  df-psmet 20617  df-xmet 20618  df-met 20619  df-bl 20620  df-mopn 20621  df-fbas 20622  df-fg 20623  df-cnfld 20626  df-top 22071  df-topon 22088  df-topsp 22110  df-bases 22124  df-cld 22198  df-ntr 22199  df-cls 22200  df-nei 22277  df-lp 22315  df-perf 22316  df-cn 22406  df-cnp 22407  df-haus 22494  df-tx 22741  df-hmeo 22934  df-fil 23025  df-fm 23117  df-flim 23118  df-flf 23119  df-xms 23501  df-ms 23502  df-tms 23503  df-cncf 24069  df-limc 25058  df-dv 25059  df-log 25740  df-cxp 25741  df-sgm 26279

This theorem is referenced by:  perfectlem1  26405  perfectlem2  26406  perfectALTVlem1  45213  perfectALTVlem2  45214