Theorem sgmnncl 26379

Description: Closure of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
sgmnncl	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem sgmnncl

Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12423	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℤ)
2		sgmval2 26375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴))
3	1, 2	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴))
4		fzfid 13773	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (1...𝐵) ∈ Fin)
5		dvdsssfz1 16106	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
6	5	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ⊆ (1...𝐵))
7	4, 6	ssfid 9111	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ∈ Fin)
8		elrabi 3628	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} → 𝑘 ∈ ℕ)
9		simpl 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10		nnexpcl 13875	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘↑𝐴) ∈ ℕ)
11	8, 9, 10	syl2anr 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → (𝑘↑𝐴) ∈ ℕ)
12	11	nnzd 12505	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → (𝑘↑𝐴) ∈ ℤ)
13	7, 12	fsumzcl 15526	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℤ)
14		nnz 12422	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
15		iddvds 16058	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∥ 𝐵)
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∥ 𝐵)
17		breq1 5090	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = 𝐵 → (𝑝 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 ∥ 𝐵))
18	17	rspcev 3570	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∥ 𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝 ∥ 𝐵)
19	16, 18	mpdan 684	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝 ∥ 𝐵)
20		rabn0 4330	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝 ∥ 𝐵)
21	19, 20	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ≠ ∅)
22	21	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} ≠ ∅)
23	11	nnrpd 12850	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵}) → (𝑘↑𝐴) ∈ ℝ+)
24	7, 22, 23	fsumrpcl 15528	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℝ+)
25	24	rpgt0d 12855	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 < Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴))
26		elnnz 12409	. . 3 ⊢ (Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴)))
27	13, 25, 26	sylanbrc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝 ∥ 𝐵} (𝑘↑𝐴) ∈ ℕ)
28	3, 27	eqeltrd 2838	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071  {crab 3404   ⊆ wss 3897  ∅c0 4267   class class class wbr 5087  (class class class)co 7317  0cc0 10951  1c1 10952   < clt 11089  ℕcn 12053  ℕ₀cn0 12313  ℤcz 12399  ...cfz 13319  ↑cexp 13862  Σcsu 15476   ∥ cdvds 16042   σ csgm 26328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-inf2 9477  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-pre-sup 11029  ax-addf 11030  ax-mulf 11031

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-iin 4940  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-se 5564  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-isom 6475  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-of 7575  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-supp 8027  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-2o 8347  df-er 8548  df-map 8667  df-pm 8668  df-ixp 8736  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fsupp 9206  df-fi 9247  df-sup 9278  df-inf 9279  df-oi 9346  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-div 11713  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-q 12769  df-rp 12811  df-xneg 12928  df-xadd 12929  df-xmul 12930  df-ioo 13163  df-ioc 13164  df-ico 13165  df-icc 13166  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-fl 13592  df-mod 13670  df-seq 13802  df-exp 13863  df-fac 14068  df-bc 14097  df-hash 14125  df-shft 14857  df-cj 14889  df-re 14890  df-im 14891  df-sqrt 15025  df-abs 15026  df-limsup 15259  df-clim 15276  df-rlim 15277  df-sum 15477  df-ef 15856  df-sin 15858  df-cos 15859  df-pi 15861  df-dvds 16043  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-starv 17054  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-ip 17057  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ds 17061  df-unif 17062  df-hom 17063  df-cco 17064  df-rest 17210  df-topn 17211  df-0g 17229  df-gsum 17230  df-topgen 17231  df-pt 17232  df-prds 17235  df-xrs 17290  df-qtop 17295  df-imas 17296  df-xps 17298  df-mre 17372  df-mrc 17373  df-acs 17375  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-submnd 18508  df-mulg 18777  df-cntz 18999  df-cmn 19463  df-psmet 20672  df-xmet 20673  df-met 20674  df-bl 20675  df-mopn 20676  df-fbas 20677  df-fg 20678  df-cnfld 20681  df-top 22126  df-topon 22143  df-topsp 22165  df-bases 22179  df-cld 22253  df-ntr 22254  df-cls 22255  df-nei 22332  df-lp 22370  df-perf 22371  df-cn 22461  df-cnp 22462  df-haus 22549  df-tx 22796  df-hmeo 22989  df-fil 23080  df-fm 23172  df-flim 23173  df-flf 23174  df-xms 23556  df-ms 23557  df-tms 23558  df-cncf 24124  df-limc 25113  df-dv 25114  df-log 25795  df-cxp 25796  df-sgm 26334

This theorem is referenced by:  perfectlem1  26460  perfectlem2  26461  perfectALTVlem1  45438  perfectALTVlem2  45439