MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sgmnncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sgmnncl 25441
Description: Closure of the divisor function. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
sgmnncl ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) ∈ ℕ)

Proof of Theorem sgmnncl
Dummy variables 𝑘 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 11816 . . 3 (𝐴 ∈ ℕ0𝐴 ∈ ℤ)
2 sgmval2 25437 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴))
31, 2sylan 572 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) = Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴))
4 fzfid 13154 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (1...𝐵) ∈ Fin)
5 dvdsssfz1 15526 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ⊆ (1...𝐵))
65adantl 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ⊆ (1...𝐵))
74, 6ssfid 8534 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ∈ Fin)
8 elrabi 3583 . . . . . 6 (𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} → 𝑘 ∈ ℕ)
9 simpl 475 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℕ0)
10 nnexpcl 13255 . . . . . 6 ((𝑘 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ0) → (𝑘𝐴) ∈ ℕ)
118, 9, 10syl2anr 588 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵}) → (𝑘𝐴) ∈ ℕ)
1211nnzd 11897 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵}) → (𝑘𝐴) ∈ ℤ)
137, 12fsumzcl 14950 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℤ)
14 nnz 11815 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
15 iddvds 15481 . . . . . . . . 9 (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵𝐵)
1614, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵𝐵)
17 breq1 4928 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐵 → (𝑝𝐵𝐵𝐵))
1817rspcev 3528 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝐵𝐵) → ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝𝐵)
1916, 18mpdan 675 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝𝐵)
20 rabn0 4219 . . . . . . 7 ({𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ≠ ∅ ↔ ∃𝑝 ∈ ℕ 𝑝𝐵)
2119, 20sylibr 226 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ≠ ∅)
2221adantl 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} ≠ ∅)
2311nnrpd 12244 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) ∧ 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵}) → (𝑘𝐴) ∈ ℝ+)
247, 22, 23fsumrpcl 14952 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℝ+)
2524rpgt0d 12249 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → 0 < Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴))
26 elnnz 11801 . . 3 𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℕ ↔ (Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℤ ∧ 0 < Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴)))
2713, 25, 26sylanbrc 575 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → Σ𝑘 ∈ {𝑝 ∈ ℕ ∣ 𝑝𝐵} (𝑘𝐴) ∈ ℕ)
283, 27eqeltrd 2859 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 σ 𝐵) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387   = wceq 1508  wcel 2051  wne 2960  wrex 3082  {crab 3085  wss 3822  c0 4172   class class class wbr 4925  (class class class)co 6974  0cc0 10333  1c1 10334   < clt 10472  cn 11437  0cn0 11705  cz 11791  ...cfz 12706  cexp 13242  Σcsu 14901  cdvds 15465   σ csgm 25390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409  ax-pre-mulgt0 10410  ax-pre-sup 10411  ax-addf 10412  ax-mulf 10413
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-fal 1521  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-iin 4791  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-of 7225  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-supp 7632  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-2o 7904  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-pm 8207  df-ixp 8258  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-fsupp 8627  df-fi 8668  df-sup 8699  df-inf 8700  df-oi 8767  df-card 9160  df-cda 9386  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478  df-sub 10670  df-neg 10671  df-div 11097  df-nn 11438  df-2 11501  df-3 11502  df-4 11503  df-5 11504  df-6 11505  df-7 11506  df-8 11507  df-9 11508  df-n0 11706  df-z 11792  df-dec 11910  df-uz 12057  df-q 12161  df-rp 12203  df-xneg 12322  df-xadd 12323  df-xmul 12324  df-ioo 12556  df-ioc 12557  df-ico 12558  df-icc 12559  df-fz 12707  df-fzo 12848  df-fl 12975  df-mod 13051  df-seq 13183  df-exp 13243  df-fac 13447  df-bc 13476  df-hash 13504  df-shft 14285  df-cj 14317  df-re 14318  df-im 14319  df-sqrt 14453  df-abs 14454  df-limsup 14687  df-clim 14704  df-rlim 14705  df-sum 14902  df-ef 15279  df-sin 15281  df-cos 15282  df-pi 15284  df-dvds 15466  df-struct 16339  df-ndx 16340  df-slot 16341  df-base 16343  df-sets 16344  df-ress 16345  df-plusg 16432  df-mulr 16433  df-starv 16434  df-sca 16435  df-vsca 16436  df-ip 16437  df-tset 16438  df-ple 16439  df-ds 16441  df-unif 16442  df-hom 16443  df-cco 16444  df-rest 16550  df-topn 16551  df-0g 16569  df-gsum 16570  df-topgen 16571  df-pt 16572  df-prds 16575  df-xrs 16629  df-qtop 16634  df-imas 16635  df-xps 16637  df-mre 16727  df-mrc 16728  df-acs 16730  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-submnd 17816  df-mulg 18024  df-cntz 18230  df-cmn 18680  df-psmet 20254  df-xmet 20255  df-met 20256  df-bl 20257  df-mopn 20258  df-fbas 20259  df-fg 20260  df-cnfld 20263  df-top 21221  df-topon 21238  df-topsp 21260  df-bases 21273  df-cld 21346  df-ntr 21347  df-cls 21348  df-nei 21425  df-lp 21463  df-perf 21464  df-cn 21554  df-cnp 21555  df-haus 21642  df-tx 21889  df-hmeo 22082  df-fil 22173  df-fm 22265  df-flim 22266  df-flf 22267  df-xms 22648  df-ms 22649  df-tms 22650  df-cncf 23204  df-limc 24182  df-dv 24183  df-log 24856  df-cxp 24857  df-sgm 25396
This theorem is referenced by:  perfectlem1  25522  perfectlem2  25523  perfectALTVlem1  43288  perfectALTVlem2  43289
  Copyright terms: Public domain W3C validator