Theorem fsumlt 14907

Description: If every term in one finite sum is less than the corresponding term in another, then the first sum is less than the second. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumlt.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumlt.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
fsumlt.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
fsumlt.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
fsumlt.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 < 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
fsumlt	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝐶(𝑘)

Proof of Theorem fsumlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumlt.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
2		fsumlt.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ ∅)
3		fsumlt.5	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 < 𝐶)
4		fsumlt.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℝ)
5		fsumlt.4	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℝ)
6		difrp 12153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ+))
7	4, 5, 6	syl2anc 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ+))
8	3, 7	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ+)
9	1, 2, 8	fsumrpcl 14846	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ+)
10	9	rpgt0d 12160	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 − 𝐵))
11	5	recnd 10386	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
12	4	recnd 10386	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
13	1, 11, 12	fsumsub 14895	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 (𝐶 − 𝐵) = (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
14	10, 13	breqtrd 4900	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 < (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵))
15	1, 4	fsumrecl 14843	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ ℝ)
16	1, 5	fsumrecl 14843	. . 3 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ∈ ℝ)
17	15, 16	posdifd 10940	. 2 ⊢ (𝜑 → (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 ↔ 0 < (Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶 − Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵)))
18	14, 17	mpbird 249	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 < Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  ∅c0 4145   class class class wbr 4874  (class class class)co 6906  Fincfn 8223  ℝcr 10252  0cc0 10253   < clt 10392   − cmin 10586  ℝ⁺crp 12113  Σcsu 14794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-oi 8685  df-card 9079  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-seq 13097  df-exp 13156  df-hash 13412  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-clim 14597  df-sum 14795

This theorem is referenced by:  lebnumlem3  23133  rrndstprj2  34173  stoweidlem11  41023  stoweidlem26  41038  fourierdlem73  41191  rrndistlt  41302  hoiqssbllem2  41632