Theorem bccl2 14276

Description: A binomial coefficient, in its standard domain, is a positive integer. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bccl2	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)

Proof of Theorem bccl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 13566	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elfzelz 13469	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		bccl 14275	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
5		bcrpcl 14261	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
6	5	rpgt0d 12980	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 < (𝑁C𝐾))
7		elnnnn0b 12472	. 2 ⊢ ((𝑁C𝐾) ∈ ℕ ↔ ((𝑁C𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝑁C𝐾)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  0cc0 11029   < clt 11170  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ...cfz 13452  Ccbc 14255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-seq 13955  df-fac 14227  df-bc 14256

This theorem is referenced by:  permnn  14279  binom11  15788  binom1dif  15789  bpolydiflem  16010  efaddlem  16049  sylow1lem1  19564  srgbinomlem3  20200  basellem2  27059  basellem3  27060  basellem5  27062  chtublem  27188  bposlem1  27261  bposlem3  27263  bposlem5  27265  bposlem6  27266  chebbnd1lem1  27446  bcm1n  32883  ballotth  34698  bccl2d  42444  lcmineqlem6  42487  bcled  42631  bcle2d  42632  mccllem  46045