Theorem bccl2 13746

Description: A binomial coefficient, in its standard domain, is a positive integer. (Contributed by NM, 3-Jan-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
bccl2	⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)

Proof of Theorem bccl2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz3nn0 13063	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
2		elfzelz 12969	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 𝐾 ∈ ℤ)
3		bccl 13745	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 587	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ0)
5		bcrpcl 13731	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℝ+)
6	5	rpgt0d 12488	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → 0 < (𝑁C𝐾))
7		elnnnn0b 11991	. 2 ⊢ ((𝑁C𝐾) ∈ ℕ ↔ ((𝑁C𝐾) ∈ ℕ0 ∧ 0 < (𝑁C𝐾)))
8	4, 6, 7	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝐾 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝐾) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5036  (class class class)co 7156  0cc0 10588   < clt 10726  ℕcn 11687  ℕ₀cn0 11947  ℤcz 12033  ...cfz 12952  Ccbc 13725

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-seq 13432  df-fac 13697  df-bc 13726

This theorem is referenced by:  permnn  13749  binom11  15248  binom1dif  15249  bpolydiflem  15469  efaddlem  15507  sylow1lem1  18803  srgbinomlem3  19373  basellem2  25779  basellem3  25780  basellem5  25782  chtublem  25907  bposlem1  25980  bposlem3  25982  bposlem5  25984  bposlem6  25985  chebbnd1lem1  26165  bcm1n  30652  ballotth  32035  bccl2d  39593  lcmineqlem6  39635  mccllem  42640