Theorem efopnlem1 26163

Description: Lemma for efopn 26165. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efopnlem1	⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) < π)

Proof of Theorem efopnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
2		rpxr 12982	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
3	2	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
4		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5	4	cnbl0 24289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
6	3, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
7	1, 6	eleqtrrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝐴 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
8		absf 15283	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
9		ffn 6717	. . . . . . . 8 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
10		elpreima 7059	. . . . . . . 8 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅))))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅)))
12	11	simplbi 498	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	7, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	imcld 15141	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11241	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
16	15	abscld 15382	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
17		rpre 12981	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
18	17	ad2antrr 724	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
19		pire 25967	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → π ∈ ℝ)
21	13	abscld 15382	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
22		absimle 15255	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))
23	13, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))
24	11	simprbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅))
25	7, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅))
26		0re 11215	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		elico2 13387	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑅)))
28	26, 3, 27	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → ((abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑅)))
29	25, 28	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑅))
30	29	simp3d 1144	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘𝐴) < 𝑅)
31	16, 21, 18, 23, 30	lelttrd 11371	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) < 𝑅)
32		simplr 767	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑅 < π)
33	16, 18, 20, 31, 32	lttrd 11374	1 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) < π)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ^◡ccnv 5675   “ cima 5679   ∘ ccom 5680   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108  0cc0 11109  ℝ^*cxr 11246   < clt 11247   ≤ cle 11248   − cmin 11443  ℝ⁺crp 12973  [,)cico 13325  ℑcim 15044  abscabs 15180  πcpi 16009  ballcbl 20930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383

This theorem is referenced by:  efopnlem2  26164