MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efopnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efopnlem1 26034
Description: Lemma for efopn 26036. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
efopnlem1 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΄)) < Ο€)

Proof of Theorem efopnlem1
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
2 rpxr 12932 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ*)
4 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
54cnbl0 24160 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ* β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
63, 5syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) = (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅))
71, 6eleqtrrd 2837 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ 𝐴 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)))
8 absf 15231 . . . . . . . 8 abs:β„‚βŸΆβ„
9 ffn 6672 . . . . . . . 8 (abs:β„‚βŸΆβ„ β†’ abs Fn β„‚)
10 elpreima 7012 . . . . . . . 8 (abs Fn β„‚ β†’ (𝐴 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) ∈ (0[,)𝑅))))
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐴 ∈ β„‚ ∧ (absβ€˜π΄) ∈ (0[,)𝑅)))
1211simplbi 499 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
137, 12syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1413imcld 15089 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (β„‘β€˜π΄) ∈ ℝ)
1514recnd 11191 . . 3 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (β„‘β€˜π΄) ∈ β„‚)
1615abscld 15330 . 2 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΄)) ∈ ℝ)
17 rpre 12931 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+ β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
1817ad2antrr 725 . 2 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ 𝑅 ∈ ℝ)
19 pire 25838 . . 3 Ο€ ∈ ℝ
2019a1i 11 . 2 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ Ο€ ∈ ℝ)
2113abscld 15330 . . 3 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ ℝ)
22 absimle 15203 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΄)) ≀ (absβ€˜π΄))
2313, 22syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΄)) ≀ (absβ€˜π΄))
2411simprbi 498 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β—‘abs β€œ (0[,)𝑅)) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ (0[,)𝑅))
257, 24syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (absβ€˜π΄) ∈ (0[,)𝑅))
26 0re 11165 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
27 elico2 13337 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) β†’ ((absβ€˜π΄) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄) ∧ (absβ€˜π΄) < 𝑅)))
2826, 3, 27sylancr 588 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ ((absβ€˜π΄) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄) ∧ (absβ€˜π΄) < 𝑅)))
2925, 28mpbid 231 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ ((absβ€˜π΄) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜π΄) ∧ (absβ€˜π΄) < 𝑅))
3029simp3d 1145 . . 3 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (absβ€˜π΄) < 𝑅)
3116, 21, 18, 23, 30lelttrd 11321 . 2 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΄)) < 𝑅)
32 simplr 768 . 2 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ 𝑅 < Ο€)
3316, 18, 20, 31, 32lttrd 11324 1 (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < Ο€) ∧ 𝐴 ∈ (0(ballβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))𝑅)) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜π΄)) < Ο€)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5109  β—‘ccnv 5636   β€œ cima 5640   ∘ ccom 5641   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  β„+crp 12923  [,)cico 13275  β„‘cim 14992  abscabs 15128  Ο€cpi 15957  ballcbl 20806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-fac 14183  df-bc 14212  df-hash 14240  df-shft 14961  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-ef 15958  df-sin 15960  df-cos 15961  df-pi 15963  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  efopnlem2  26035
  Copyright terms: Public domain W3C validator