Theorem efopnlem1 26606

Description: Lemma for efopn 26608. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
efopnlem1	⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) < π)

Proof of Theorem efopnlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
2		rpxr 13013	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ*)
3	2	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
4		eqid 2725	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5	4	cnbl0 24706	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ* → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
6	3, 5	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (◡abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
7	1, 6	eleqtrrd 2828	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝐴 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)))
8		absf 15314	. . . . . . . 8 ⊢ abs:ℂ⟶ℝ
9		ffn 6715	. . . . . . . 8 ⊢ (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
10		elpreima 7060	. . . . . . . 8 ⊢ (abs Fn ℂ → (𝐴 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅))))
11	8, 9, 10	mp2b 10	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅)))
12	11	simplbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	7, 12	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	13	imcld 15172	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
15	14	recnd 11270	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
16	15	abscld 15413	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
17		rpre 13012	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
18	17	ad2antrr 724	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
19		pire 26409	. . 3 ⊢ π ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → π ∈ ℝ)
21	13	abscld 15413	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
22		absimle 15286	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))
23	13, 22	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))
24	11	simprbi 495	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (◡abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅))
25	7, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅))
26		0re 11244	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
27		elico2 13418	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑅)))
28	26, 3, 27	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → ((abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑅)))
29	25, 28	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑅))
30	29	simp3d 1141	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘𝐴) < 𝑅)
31	16, 21, 18, 23, 30	lelttrd 11400	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) < 𝑅)
32		simplr 767	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑅 < π)
33	16, 18, 20, 31, 32	lttrd 11403	1 ⊢ (((𝑅 ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) < π)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  ^◡ccnv 5669   “ cima 5673   ∘ ccom 5674   Fn wfn 6536  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  ℂcc 11134  ℝcr 11135  0cc0 11136  ℝ^*cxr 11275   < clt 11276   ≤ cle 11277   − cmin 11472  ℝ⁺crp 13004  [,)cico 13356  ℑcim 15075  abscabs 15211  πcpi 16040  ballcbl 21268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-inf2 9662  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213  ax-pre-sup 11214  ax-addf 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-iin 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-2o 8484  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-fi 9432  df-sup 9463  df-inf 9464  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13122  df-xadd 13123  df-xmul 13124  df-ioo 13358  df-ioc 13359  df-ico 13360  df-icc 13361  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-fl 13787  df-seq 13997  df-exp 14057  df-fac 14263  df-bc 14292  df-hash 14320  df-shft 15044  df-cj 15076  df-re 15077  df-im 15078  df-sqrt 15212  df-abs 15213  df-limsup 15445  df-clim 15462  df-rlim 15463  df-sum 15663  df-ef 16041  df-sin 16043  df-cos 16044  df-pi 16046  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-starv 17245  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-unif 17253  df-hom 17254  df-cco 17255  df-rest 17401  df-topn 17402  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-topgen 17422  df-pt 17423  df-prds 17426  df-xrs 17481  df-qtop 17486  df-imas 17487  df-xps 17489  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-mulg 19026  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-psmet 21273  df-xmet 21274  df-met 21275  df-bl 21276  df-mopn 21277  df-fbas 21278  df-fg 21279  df-cnfld 21282  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22865  df-cld 22939  df-ntr 22940  df-cls 22941  df-nei 23018  df-lp 23056  df-perf 23057  df-cn 23147  df-cnp 23148  df-haus 23235  df-tx 23482  df-hmeo 23675  df-fil 23766  df-fm 23858  df-flim 23859  df-flf 23860  df-xms 24242  df-ms 24243  df-tms 24244  df-cncf 24814  df-limc 25811  df-dv 25812

This theorem is referenced by:  efopnlem2  26607