MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efopnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efopnlem1 25939
Description: Lemma for efopn 25941. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Apr-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
efopnlem1 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) < π)

Proof of Theorem efopnlem1
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
2 rpxr 12854 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ*)
32ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ*)
4 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
54cnbl0 24065 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ ℝ* → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
63, 5syl 17 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs “ (0[,)𝑅)) = (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅))
71, 6eleqtrrd 2842 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝐴 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)))
8 absf 15158 . . . . . . . 8 abs:ℂ⟶ℝ
9 ffn 6664 . . . . . . . 8 (abs:ℂ⟶ℝ → abs Fn ℂ)
10 elpreima 7004 . . . . . . . 8 (abs Fn ℂ → (𝐴 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅))))
118, 9, 10mp2b 10 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ (abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅)))
1211simplbi 499 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
137, 12syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1413imcld 15015 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
1514recnd 11117 . . 3 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
1615abscld 15257 . 2 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ∈ ℝ)
17 rpre 12853 . . 3 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
1817ad2antrr 725 . 2 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑅 ∈ ℝ)
19 pire 25743 . . 3 π ∈ ℝ
2019a1i 11 . 2 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → π ∈ ℝ)
2113abscld 15257 . . 3 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
22 absimle 15130 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))
2313, 22syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) ≤ (abs‘𝐴))
2411simprbi 498 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (abs “ (0[,)𝑅)) → (abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅))
257, 24syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅))
26 0re 11091 . . . . . 6 0 ∈ ℝ
27 elico2 13258 . . . . . 6 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ*) → ((abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑅)))
2826, 3, 27sylancr 588 . . . . 5 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → ((abs‘𝐴) ∈ (0[,)𝑅) ↔ ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑅)))
2925, 28mpbid 231 . . . 4 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → ((abs‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ (abs‘𝐴) < 𝑅))
3029simp3d 1145 . . 3 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘𝐴) < 𝑅)
3116, 21, 18, 23, 30lelttrd 11247 . 2 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) < 𝑅)
32 simplr 768 . 2 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → 𝑅 < π)
3316, 18, 20, 31, 32lttrd 11250 1 (((𝑅 ∈ ℝ+𝑅 < π) ∧ 𝐴 ∈ (0(ball‘(abs ∘ − ))𝑅)) → (abs‘(ℑ‘𝐴)) < π)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5104  ccnv 5630  cima 5634  ccom 5635   Fn wfn 6487  wf 6488  cfv 6492  (class class class)co 7350  cc 10983  cr 10984  0cc0 10985  *cxr 11122   < clt 11123  cle 11124  cmin 11319  +crp 12845  [,)cico 13196  cim 14918  abscabs 15054  πcpi 15885  ballcbl 20712
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12553  df-uz 12698  df-q 12804  df-rp 12846  df-xneg 12963  df-xadd 12964  df-xmul 12965  df-ioo 13198  df-ioc 13199  df-ico 13200  df-icc 13201  df-fz 13355  df-fzo 13498  df-fl 13627  df-seq 13837  df-exp 13898  df-fac 14103  df-bc 14132  df-hash 14160  df-shft 14887  df-cj 14919  df-re 14920  df-im 14921  df-sqrt 15055  df-abs 15056  df-limsup 15289  df-clim 15306  df-rlim 15307  df-sum 15507  df-ef 15886  df-sin 15888  df-cos 15889  df-pi 15891  df-struct 16955  df-sets 16972  df-slot 16990  df-ndx 17002  df-base 17020  df-ress 17049  df-plusg 17082  df-mulr 17083  df-starv 17084  df-sca 17085  df-vsca 17086  df-ip 17087  df-tset 17088  df-ple 17089  df-ds 17091  df-unif 17092  df-hom 17093  df-cco 17094  df-rest 17240  df-topn 17241  df-0g 17259  df-gsum 17260  df-topgen 17261  df-pt 17262  df-prds 17265  df-xrs 17320  df-qtop 17325  df-imas 17326  df-xps 17328  df-mre 17402  df-mrc 17403  df-acs 17405  df-mgm 18433  df-sgrp 18482  df-mnd 18493  df-submnd 18538  df-mulg 18808  df-cntz 19032  df-cmn 19499  df-psmet 20717  df-xmet 20718  df-met 20719  df-bl 20720  df-mopn 20721  df-fbas 20722  df-fg 20723  df-cnfld 20726  df-top 22171  df-topon 22188  df-topsp 22210  df-bases 22224  df-cld 22298  df-ntr 22299  df-cls 22300  df-nei 22377  df-lp 22415  df-perf 22416  df-cn 22506  df-cnp 22507  df-haus 22594  df-tx 22841  df-hmeo 23034  df-fil 23125  df-fm 23217  df-flim 23218  df-flf 23219  df-xms 23601  df-ms 23602  df-tms 23603  df-cncf 24169  df-limc 25158  df-dv 25159
This theorem is referenced by:  efopnlem2  25940
  Copyright terms: Public domain W3C validator