MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muladdmodid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muladdmodid 13881
Description: The sum of a positive real number less than an upper bound and the product of an integer and the upper bound is the positive real number modulo the upper bound. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
muladdmodid ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด)

Proof of Theorem muladdmodid
StepHypRef Expression
1 0red 11222 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ 0 โˆˆ โ„)
2 rpxr 12988 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„*)
3 elico2 13393 . . . . 5 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„*) โ†’ (๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)))
41, 2, 3syl2anc 583 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)))
54adantl 481 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€) โ†” (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)))
6 zcn 12568 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7 rpcn 12989 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
8 mulcl 11198 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
96, 7, 8syl2an 595 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
109adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„‚)
11 recn 11204 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
12113ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
1410, 13addcomd 11421 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) = (๐ด + (๐‘ ยท ๐‘€)))
1514oveq1d 7427 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ((๐ด + (๐‘ ยท ๐‘€)) mod ๐‘€))
16 simp1 1135 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
1716adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
18 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
1918adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
20 simpll 764 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
21 modcyc 13876 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐‘€)) mod ๐‘€) = (๐ด mod ๐‘€))
2217, 19, 20, 21syl3anc 1370 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ ((๐ด + (๐‘ ยท ๐‘€)) mod ๐‘€) = (๐ด mod ๐‘€))
2318, 16anim12ci 613 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+))
24 3simpc 1149 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€))
2524adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€))
26 modid 13866 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = ๐ด)
2723, 25, 26syl2anc 583 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ (๐ด mod ๐‘€) = ๐ด)
2815, 22, 273eqtrd 2775 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด)
2928ex 412 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ด < ๐‘€) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด))
305, 29sylbid 239 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด))
31303impia 1116 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+ โˆง ๐ด โˆˆ (0[,)๐‘€)) โ†’ (((๐‘ ยท ๐‘€) + ๐ด) mod ๐‘€) = ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  โ„‚cc 11112  โ„cr 11113  0cc0 11114   + caddc 11117   ยท cmul 11119  โ„*cxr 11252   < clt 11253   โ‰ค cle 11254  โ„คcz 12563  โ„+crp 12979  [,)cico 13331   mod cmo 13839
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-ico 13335  df-fl 13762  df-mod 13840
This theorem is referenced by:  modmuladd  13883  addmodid  13889  mod42tp1mod8  46569
  Copyright terms: Public domain W3C validator