MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muladdmodid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muladdmodid 13948
Description: The sum of a positive real number less than an upper bound and the product of an integer and the upper bound is the positive real number modulo the upper bound. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
muladdmodid ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem muladdmodid
StepHypRef Expression
1 0red 11262 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
2 rpxr 13042 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℝ*)
3 elico2 13448 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
41, 2, 3syl2anc 584 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
54adantl 481 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
6 zcn 12616 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7 rpcn 13043 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℂ)
8 mulcl 11237 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
96, 7, 8syl2an 596 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
11 recn 11243 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12113ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
1312adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1410, 13addcomd 11461 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → ((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) = (𝐴 + (𝑁 · 𝑀)))
1514oveq1d 7446 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀))
16 simp1 1135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
1716adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
1918adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
20 simpll 767 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
21 modcyc 13943 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
2217, 19, 20, 21syl3anc 1370 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
2318, 16anim12ci 614 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
24 3simpc 1149 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀))
2524adantl 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀))
26 modid 13933 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
2723, 25, 26syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
2815, 22, 273eqtrd 2779 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
2928ex 412 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴))
305, 29sylbid 240 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴))
31303impia 1116 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cz 12611  +crp 13032  [,)cico 13386   mod cmo 13906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fl 13829  df-mod 13907
This theorem is referenced by:  modmuladd  13951  addmodid  13957  mod42tp1mod8  47527
  Copyright terms: Public domain W3C validator