MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muladdmodid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muladdmodid 13363
Description: The sum of a positive real number less than an upper bound and the product of an integer and the upper bound is the positive real number modulo the upper bound. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
muladdmodid ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem muladdmodid
StepHypRef Expression
1 0red 10715 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
2 rpxr 12474 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℝ*)
3 elico2 12878 . . . . 5 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
41, 2, 3syl2anc 587 . . . 4 (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
54adantl 485 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)))
6 zcn 12060 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7 rpcn 12475 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℂ)
8 mulcl 10692 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
96, 7, 8syl2an 599 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
109adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
11 recn 10698 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12113ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
1312adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
1410, 13addcomd 10913 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → ((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) = (𝐴 + (𝑁 · 𝑀)))
1514oveq1d 7179 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀))
16 simp1 1137 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
1716adantl 485 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
1918adantr 484 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
20 simpll 767 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
21 modcyc 13358 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
2217, 19, 20, 21syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
2318, 16anim12ci 617 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
24 3simpc 1151 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀))
2524adantl 485 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀))
26 modid 13348 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
2723, 25, 26syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
2815, 22, 273eqtrd 2777 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
2928ex 416 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 < 𝑀) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴))
305, 29sylbid 243 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴))
31303impia 1118 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113   class class class wbr 5027  (class class class)co 7164  cc 10606  cr 10607  0cc0 10608   + caddc 10611   · cmul 10613  *cxr 10745   < clt 10746  cle 10747  cz 12055  +crp 12465  [,)cico 12816   mod cmo 13321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-ico 12820  df-fl 13246  df-mod 13322
This theorem is referenced by:  modmuladd  13365  addmodid  13371  mod42tp1mod8  44572
  Copyright terms: Public domain W3C validator