Theorem muladdmodid 14053

Description: The sum of a positive real number less than an upper bound and the product of an integer and the upper bound is the positive real number modulo the upper bound. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
muladdmodid	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem muladdmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11311	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
2		rpxr 13130	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ*)
3		elico2 13541	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
5	4	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
6		zcn 12698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		rpcn 13131	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		mulcl 11284	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
10	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
11		recn 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	10, 13	addcomd 11512	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → ((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) = (𝐴 + (𝑁 · 𝑀)))
15	14	oveq1d 7435	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀))
16		simp1 1154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
20		simpll 779	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
21		modcyc 14046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
23	18, 16	anim12ci 626	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
24		3simpc 1168	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
25	24	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
26		modid 14036	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
27	23, 25, 26	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
28	15, 22, 27	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
29	28	ex 418	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴))
30	5, 29	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴))
31	30	3impia 1135	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   + caddc 11203   · cmul 11205  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℤcz 12693  ℝ⁺crp 13120  [,)cico 13478   mod cmo 14009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fl 13932  df-mod 14010

This theorem is used by:  modmuladd  14056  addmodid  14062  mod42tp1mod8  48687