Theorem muladdmodid 13814

Description: The sum of a positive real number less than an upper bound and the product of an integer and the upper bound is the positive real number modulo the upper bound. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
muladdmodid	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem muladdmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 11112	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
2		rpxr 12897	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ*)
3		elico2 13307	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
6		zcn 12470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		rpcn 12898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		mulcl 11087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
10	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
11		recn 11093	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	10, 13	addcomd 11312	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → ((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) = (𝐴 + (𝑁 · 𝑀)))
15	14	oveq1d 7361	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀))
16		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
19	18	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
20		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
21		modcyc 13807	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
23	18, 16	anim12ci 614	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
24		3simpc 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
25	24	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
26		modid 13797	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
27	23, 25, 26	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
28	15, 22, 27	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
29	28	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴))
30	5, 29	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴))
31	30	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5091  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℝcr 11002  0cc0 11003   + caddc 11006   · cmul 11008  ℝ^*cxr 11142   < clt 11143   ≤ cle 11144  ℤcz 12465  ℝ⁺crp 12887  [,)cico 13244   mod cmo 13770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-pre-sup 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-rp 12888  df-ico 13248  df-fl 13693  df-mod 13771

This theorem is referenced by:  modmuladd  13817  addmodid  13823  mod42tp1mod8  47632