Theorem muladdmodid 13363

Description: The sum of a positive real number less than an upper bound and the product of an integer and the upper bound is the positive real number modulo the upper bound. (Contributed by AV, 5-Jul-2020.)

Assertion

Ref	Expression
muladdmodid	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Proof of Theorem muladdmodid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0red 10715	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 0 ∈ ℝ)
2		rpxr 12474	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℝ*)
3		elico2 12878	. . . . 5 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
4	1, 2, 3	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
5	4	adantl 485	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)))
6		zcn 12060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
7		rpcn 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ+ → 𝑀 ∈ ℂ)
8		mulcl 10692	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
9	6, 7, 8	syl2an 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
10	9	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝑁 · 𝑀) ∈ ℂ)
11		recn 10698	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	10, 13	addcomd 10913	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → ((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) = (𝐴 + (𝑁 · 𝑀)))
15	14	oveq1d 7179	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀))
16		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) → 𝐴 ∈ ℝ)
17	16	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
18		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ+)
19	18	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
20		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → 𝑁 ∈ ℤ)
21		modcyc 13358	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
22	17, 19, 20, 21	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → ((𝐴 + (𝑁 · 𝑀)) mod 𝑀) = (𝐴 mod 𝑀))
23	18, 16	anim12ci 617	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+))
24		3simpc 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
25	24	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀))
26		modid 13348	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
27	23, 25, 26	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (𝐴 mod 𝑀) = 𝐴)
28	15, 22, 27	3eqtrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)
29	28	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴))
30	5, 29	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (𝐴 ∈ (0[,)𝑀) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴))
31	30	3impia 1118	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+ ∧ 𝐴 ∈ (0[,)𝑀)) → (((𝑁 · 𝑀) + 𝐴) mod 𝑀) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5027  (class class class)co 7164  ℂcc 10606  ℝcr 10607  0cc0 10608   + caddc 10611   · cmul 10613  ℝ^*cxr 10745   < clt 10746   ≤ cle 10747  ℤcz 12055  ℝ⁺crp 12465  [,)cico 12816   mod cmo 13321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-sup 8972  df-inf 8973  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-rp 12466  df-ico 12820  df-fl 13246  df-mod 13322

This theorem is referenced by:  modmuladd  13365  addmodid  13371  mod42tp1mod8  44572