Theorem saddisj 16172

Description: The sum of disjoint sequences is the union of the sequences. (In this case, there are no carried bits.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
saddisj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
saddisj	⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem saddisj

Dummy variables 𝑘 𝑐 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saddisj.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		saddisj.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		sadcl 16169	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
5	4	sseld 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
6	1, 2	unssd 4120	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℕ0)
7	6	sseld 3920	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
8	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
9	2	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
10		saddisj.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
11	10	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑥 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑥 − 1))))
13		simpr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14	8, 9, 11, 12, 13	saddisjlem 16171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
15	14	ex 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))))
16	5, 7, 15	pm5.21ndd 381	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
17	16	eqrdv 2736	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539  caddwcad 1608   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ifcif 4459   ↦ cmpt 5157  (class class class)co 7275   ∈ cmpo 7277  1_oc1o 8290  2_oc2o 8291  0cc0 10871  1c1 10872   − cmin 11205  ℕ₀cn0 12233  seqcseq 13721   sadd csad 16127

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1507  df-tru 1542  df-fal 1552  df-had 1595  df-cad 1609  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-seq 13722  df-sad 16158

This theorem is referenced by:  sadid1  16175  bitsres  16180