Theorem saddisj 16644

Description: The sum of disjoint sequences is the union of the sequences. (In this case, there are no carried bits.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
saddisj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
saddisj	⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem saddisj

Dummy variables 𝑘 𝑐 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saddisj.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		saddisj.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		sadcl 16641	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
5	4	sseld 3908	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
6	1, 2	unssd 4189	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℕ0)
7	6	sseld 3908	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
8	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
9	2	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
10		saddisj.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
11	10	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑥 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑥 − 1))))
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14	8, 9, 11, 12, 13	saddisjlem 16643	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
15	14	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))))
16	5, 7, 15	pm5.21ndd 382	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
17	16	eqrdv 2758	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569  caddwcad 1638   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   ∩ cin 4088   ∪ cun 4148  ∅c0 4277  ifcif 4481   ↦ cmpt 5185  (class class class)co 7424   ∈ cmpo 7426  1_oc1o 8477  2_oc2o 8478  0cc0 11207  1c1 11208   − cmin 11548  ℕ₀cn0 12613  seqcseq 14151   sadd csad 16599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1541  df-tru 1572  df-fal 1582  df-had 1623  df-cad 1639  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-n0 12614  df-z 12701  df-uz 12973  df-fz 13647  df-seq 14152  df-sad 16630

This theorem is used by:  sadid1  16647  bitsres  16652