Theorem saddisj 16435

Description: The sum of disjoint sequences is the union of the sequences. (In this case, there are no carried bits.) (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
saddisj.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
saddisj.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
saddisj.3	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)

Assertion

Ref	Expression
saddisj	⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Proof of Theorem saddisj

Dummy variables 𝑘 𝑐 𝑚 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		saddisj.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℕ0)
2		saddisj.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℕ0)
3		sadcl 16432	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℕ0 ∧ 𝐵 ⊆ ℕ0) → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) ⊆ ℕ0)
5	4	sseld 3945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
6	1, 2	unssd 4155	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∪ 𝐵) ⊆ ℕ0)
7	6	sseld 3945	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵) → 𝑘 ∈ ℕ0))
8	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ⊆ ℕ0)
9	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐵 ⊆ ℕ0)
10		saddisj.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
11	10	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴 ∩ 𝐵) = ∅)
12		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑥 − 1)))) = seq0((𝑐 ∈ 2o, 𝑚 ∈ ℕ0 ↦ if(cadd(𝑚 ∈ 𝐴, 𝑚 ∈ 𝐵, ∅ ∈ 𝑐), 1o, ∅)), (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑥 = 0, ∅, (𝑥 − 1))))
13		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
14	8, 9, 11, 12, 13	saddisjlem 16434	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
15	14	ex 412	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵))))
16	5, 7, 15	pm5.21ndd 379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (𝐴 sadd 𝐵) ↔ 𝑘 ∈ (𝐴 ∪ 𝐵)))
17	16	eqrdv 2727	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 sadd 𝐵) = (𝐴 ∪ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  caddwcad 1606   ∈ wcel 2109   ∪ cun 3912   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914  ∅c0 4296  ifcif 4488   ↦ cmpt 5188  (class class class)co 7387   ∈ cmpo 7389  1_oc1o 8427  2_oc2o 8428  0cc0 11068  1c1 11069   − cmin 11405  ℕ₀cn0 12442  seqcseq 13966   sadd csad 16390

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-had 1594  df-cad 1607  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-seq 13967  df-sad 16421

This theorem is referenced by:  sadid1  16438  bitsres  16443