Theorem seqcaopr 13045

Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqcaopr.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqcaopr.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
seqcaopr.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
seqcaopr.4	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
seqcaopr.5	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
seqcaopr.6	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝑆)
seqcaopr.7	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))

Assertion

Ref	Expression
seqcaopr	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝜑   𝑘,𝑀   + ,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑁

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem seqcaopr

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqcaopr.1	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
2	1	caovclg 7024	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
3		simpl 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝜑)
4		simprrl 799	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝑐 ∈ 𝑆)
5		simprlr 798	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝑏 ∈ 𝑆)
6		seqcaopr.2	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
7	6	caovcomg 7027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆)) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
8	3, 4, 5, 7	syl12anc 865	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
9	8	oveq1d 6857	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑))
10		simprrr 800	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝑑 ∈ 𝑆)
11		seqcaopr.3	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
12	11	caovassg 7030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆)) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
13	3, 4, 5, 10, 12	syl13anc 1491	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
14	11	caovassg 7030	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
15	3, 5, 4, 10, 14	syl13anc 1491	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
16	9, 13, 15	3eqtr3d 2807	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
17	16	oveq2d 6858	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
18		simprll 797	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → 𝑎 ∈ 𝑆)
19	1	caovclg 7024	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑏 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆)) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
20	3, 5, 10, 19	syl12anc 865	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
21	11	caovassg 7030	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑐 ∈ 𝑆 ∧ (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
22	3, 18, 4, 20, 21	syl13anc 1491	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
23	1	caovclg 7024	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆)) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
24	23	adantrl 707	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
25	11	caovassg 7030	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆 ∧ (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
26	3, 18, 5, 24, 25	syl13anc 1491	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
27	17, 22, 26	3eqtr4d 2809	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝑆) ∧ (𝑐 ∈ 𝑆 ∧ 𝑑 ∈ 𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)))
28		seqcaopr.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
29		seqcaopr.5	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑘) ∈ 𝑆)
30		seqcaopr.6	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝑆)
31		seqcaopr.7	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻‘𝑘) = ((𝐹‘𝑘) + (𝐺‘𝑘)))
32	2, 2, 27, 28, 29, 30, 31	seqcaopr2 13044	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 384   ∧ w3a 1107   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  ‘cfv 6068  (class class class)co 6842  ℤ_≥cuz 11886  ...cfz 12533  seqcseq 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009

This theorem is referenced by:  seradd  13050  prodfmul  14907  mulgnn0di  18497  lgsdir  25348  lgsdi  25350