MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcaopr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqcaopr 14010
Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqcaopr.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
seqcaopr.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
seqcaopr.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqcaopr.5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
seqcaopr.6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑆)
seqcaopr.7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
seqcaopr (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝜑   𝑘,𝑀   + ,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem seqcaopr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr.1 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
21caovclg 7596 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
3 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝜑)
4 simprrl 778 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑐𝑆)
5 simprlr 777 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑏𝑆)
6 seqcaopr.2 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
76caovcomg 7599 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑆𝑏𝑆)) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
83, 4, 5, 7syl12anc 834 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
98oveq1d 7420 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑))
10 simprrr 779 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑑𝑆)
11 seqcaopr.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1211caovassg 7602 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑆𝑏𝑆𝑑𝑆)) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
133, 4, 5, 10, 12syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
1411caovassg 7602 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑆𝑐𝑆𝑑𝑆)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
153, 5, 4, 10, 14syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
169, 13, 153eqtr3d 2774 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
1716oveq2d 7421 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
18 simprll 776 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑎𝑆)
191caovclg 7596 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑆𝑑𝑆)) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
203, 5, 10, 19syl12anc 834 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
2111caovassg 7602 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑐𝑆 ∧ (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
223, 18, 4, 20, 21syl13anc 1369 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
231caovclg 7596 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆)) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
2423adantrl 713 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
2511caovassg 7602 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆 ∧ (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
263, 18, 5, 24, 25syl13anc 1369 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
2717, 22, 263eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)))
28 seqcaopr.4 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
29 seqcaopr.5 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
30 seqcaopr.6 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑆)
31 seqcaopr.7 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
322, 2, 27, 28, 29, 30, 31seqcaopr2 14009 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6537  (class class class)co 7405  cuz 12826  ...cfz 13490  seqcseq 13972
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973
This theorem is referenced by:  seradd  14015  prodfmul  15842  mulgnn0di  19745
  Copyright terms: Public domain W3C validator