Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqcaopr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqcaopr 13403
 Description: The sum of two infinite series (generalized to an arbitrary commutative and associative operation). (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 30-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
seqcaopr.1 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
seqcaopr.2 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
seqcaopr.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
seqcaopr.4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
seqcaopr.5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
seqcaopr.6 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑆)
seqcaopr.7 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
Assertion
Ref Expression
seqcaopr (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑘,𝐹   𝑘,𝐺   𝑘,𝐻   𝑥,𝑘,𝑦,𝑧,𝜑   𝑘,𝑀   + ,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑆,𝑘,𝑥,𝑦,𝑧   𝑘,𝑁
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐺(𝑥,𝑦,𝑧)   𝐻(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑀(𝑥,𝑦,𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem seqcaopr
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 seqcaopr.1 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆)
21caovclg 7320 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆)) → (𝑎 + 𝑏) ∈ 𝑆)
3 simpl 486 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝜑)
4 simprrl 780 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑐𝑆)
5 simprlr 779 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑏𝑆)
6 seqcaopr.2 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆)) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
76caovcomg 7323 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑆𝑏𝑆)) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
83, 4, 5, 7syl12anc 835 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑐 + 𝑏) = (𝑏 + 𝑐))
98oveq1d 7150 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑))
10 simprrr 781 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑑𝑆)
11 seqcaopr.3 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑦𝑆𝑧𝑆)) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
1211caovassg 7326 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑆𝑏𝑆𝑑𝑆)) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
133, 4, 5, 10, 12syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑐 + 𝑏) + 𝑑) = (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)))
1411caovassg 7326 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑆𝑐𝑆𝑑𝑆)) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
153, 5, 4, 10, 14syl13anc 1369 . . . . 5 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑑) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
169, 13, 153eqtr3d 2841 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑐 + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑏 + (𝑐 + 𝑑)))
1716oveq2d 7151 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
18 simprll 778 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → 𝑎𝑆)
191caovclg 7320 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑏𝑆𝑑𝑆)) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
203, 5, 10, 19syl12anc 835 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)
2111caovassg 7326 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑐𝑆 ∧ (𝑏 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
223, 18, 4, 20, 21syl13anc 1369 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑐 + (𝑏 + 𝑑))))
231caovclg 7320 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆)) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
2423adantrl 715 . . . 4 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)
2511caovassg 7326 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝑆 ∧ (𝑐 + 𝑑) ∈ 𝑆)) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
263, 18, 5, 24, 25syl13anc 1369 . . 3 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)) = (𝑎 + (𝑏 + (𝑐 + 𝑑))))
2717, 22, 263eqtr4d 2843 . 2 ((𝜑 ∧ ((𝑎𝑆𝑏𝑆) ∧ (𝑐𝑆𝑑𝑆))) → ((𝑎 + 𝑐) + (𝑏 + 𝑑)) = ((𝑎 + 𝑏) + (𝑐 + 𝑑)))
28 seqcaopr.4 . 2 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
29 seqcaopr.5 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹𝑘) ∈ 𝑆)
30 seqcaopr.6 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐺𝑘) ∈ 𝑆)
31 seqcaopr.7 . 2 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐻𝑘) = ((𝐹𝑘) + (𝐺𝑘)))
322, 2, 27, 28, 29, 30, 31seqcaopr2 13402 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐻)‘𝑁) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq𝑀( + , 𝐺)‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℤ≥cuz 12231  ...cfz 12885  seqcseq 13364 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365 This theorem is referenced by:  seradd  13408  prodfmul  15238  mulgnn0di  18939
 Copyright terms: Public domain W3C validator