Theorem seqp1d 13982

Description: Value of the sequence builder function at a successor, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by AV, 3-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqp1d.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqp1d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
seqp1d.3	⊢ 𝐾 = (𝑁 + 1)
seqp1d.4	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
seqp1d.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
seqp1d	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem seqp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqp1d.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑁 + 1)
2	1	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
4		seqp1d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
5		seqp1d.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrdi 2843	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		seqp1 13980	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
9		seqp1d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
10	1	fveq2i 6894	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘(𝑁 + 1))
11		seqp1d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝐵)
12	10, 11	eqtr3id 2786	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = 𝐵)
13	9, 12	oveq12d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐴 + 𝐵))
14	3, 8, 13	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  1c1 11110   + caddc 11112  ℤ_≥cuz 12821  seqcseq 13965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966

This theorem is referenced by:  seqp1iOLD  13983  climcndslem2  15795  ege2le3  16032  efgt1p2  16056  efgt1p  16057  ovolunlem1a  25012  itcoval1  47339  itcoval2  47340  itcoval3  47341  itcovalsuc  47343  ackvalsuc1mpt  47354