Theorem seqp1d 14009

Description: Value of the sequence builder function at a successor, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by AV, 3-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqp1d.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqp1d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
seqp1d.3	⊢ 𝐾 = (𝑁 + 1)
seqp1d.4	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
seqp1d.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
seqp1d	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem seqp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqp1d.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑁 + 1)
2	1	fveq2i 6894	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
4		seqp1d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
5		seqp1d.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrdi 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		seqp1 14007	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
9		seqp1d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
10	1	fveq2i 6894	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘(𝑁 + 1))
11		seqp1d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝐵)
12	10, 11	eqtr3id 2781	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = 𝐵)
13	9, 12	oveq12d 7432	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐴 + 𝐵))
14	3, 8, 13	3eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1c1 11133   + caddc 11135  ℤ_≥cuz 12846  seqcseq 13992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12237  df-n0 12497  df-z 12583  df-uz 12847  df-seq 13993

This theorem is referenced by:  climcndslem2  15822  ege2le3  16060  efgt1p2  16084  efgt1p  16085  ovolunlem1a  25418  itcoval1  47708  itcoval2  47709  itcoval3  47710  itcovalsuc  47712  ackvalsuc1mpt  47723