Theorem seqp1d 13920

Description: Value of the sequence builder function at a successor, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by AV, 3-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqp1d.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqp1d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
seqp1d.3	⊢ 𝐾 = (𝑁 + 1)
seqp1d.4	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
seqp1d.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
seqp1d	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem seqp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqp1d.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑁 + 1)
2	1	fveq2i 6820	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
4		seqp1d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
5		seqp1d.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrdi 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		seqp1 13918	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
9		seqp1d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
10	1	fveq2i 6820	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘(𝑁 + 1))
11		seqp1d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝐵)
12	10, 11	eqtr3id 2780	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = 𝐵)
13	9, 12	oveq12d 7359	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐴 + 𝐵))
14	3, 8, 13	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  1c1 11002   + caddc 11004  ℤ_≥cuz 12727  seqcseq 13903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-seq 13904

This theorem is referenced by:  climcndslem2  15752  ege2le3  15992  efgt1p2  16018  efgt1p  16019  ovolunlem1a  25419  itcoval1  48695  itcoval2  48696  itcoval3  48697  itcovalsuc  48699  ackvalsuc1mpt  48710