Theorem seqp1d 14201

Description: Value of the sequence builder function at a successor, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by AV, 3-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
seqp1d.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
seqp1d.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
seqp1d.3	⊢ 𝐾 = (𝑁 + 1)
seqp1d.4	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
seqp1d.5	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
seqp1d	⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem seqp1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqp1d.3	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (𝑁 + 1)
2	1	fveq2i 6919	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
4		seqp1d.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
5		seqp1d.1	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
6	4, 5	eleqtrdi 2874	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		seqp1 14199	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
8	6, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
9		seqp1d.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
10	1	fveq2i 6919	. . . 4 ⊢ (𝐹‘𝐾) = (𝐹‘(𝑁 + 1))
11		seqp1d.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐾) = 𝐵)
12	10, 11	eqtr3id 2812	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = 𝐵)
13	9, 12	oveq12d 7469	. 2 ⊢ (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐴 + 𝐵))
14	3, 8, 13	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  1c1 11240   + caddc 11242  ℤ_≥cuz 13005  seqcseq 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185

This theorem is used by:  climcndslem2  16063  ege2le3  16300  efgt1p2  16326  efgt1p  16327  ovolunlem1a  25872  itcoval1  50106  itcoval2  50107  itcoval3  50108  itcovalsuc  50110  ackvalsuc1mpt  50121