Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqp1d Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqp1d 13401
 Description: Value of the sequence builder function at a successor, deduction form. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Apr-2014.) (Revised by AV, 3-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
seqp1d.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
seqp1d.2 (𝜑𝑁𝑍)
seqp1d.3 𝐾 = (𝑁 + 1)
seqp1d.4 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
seqp1d.5 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝐵)
Assertion
Ref Expression
seqp1d (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem seqp1d
StepHypRef Expression
1 seqp1d.3 . . . 4 𝐾 = (𝑁 + 1)
21fveq2i 6658 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1))
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
4 seqp1d.2 . . . 4 (𝜑𝑁𝑍)
5 seqp1d.1 . . . 4 𝑍 = (ℤ𝑀)
64, 5eleqtrdi 2900 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
7 seqp1 13399 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
9 seqp1d.4 . . 3 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = 𝐴)
101fveq2i 6658 . . . 4 (𝐹𝐾) = (𝐹‘(𝑁 + 1))
11 seqp1d.5 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝐾) = 𝐵)
1210, 11syl5eqr 2847 . . 3 (𝜑 → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = 𝐵)
139, 12oveq12d 7163 . 2 (𝜑 → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐴 + 𝐵))
143, 8, 133eqtrd 2837 1 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝐾) = (𝐴 + 𝐵))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  1c1 10545   + caddc 10547  ℤ≥cuz 12251  seqcseq 13384 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-seq 13385 This theorem is referenced by:  seqp1iOLD  13402  climcndslem2  15217  ege2le3  15455  efgt1p2  15479  efgt1p  15480  ovolunlem1a  24141  itcoval1  45243  itcoval2  45244  itcoval3  45245  itcovalsuc  45247  ackvalsuc1mpt  45258
 Copyright terms: Public domain W3C validator