MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  seqp1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem seqp1 13921
Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
seqp1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem seqp1
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12768 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ𝑀) = (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
32eleq2d 2823 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
4 seqeq1 13909 . . . . . . 7 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → seq𝑀( + , 𝐹) = seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹))
54fveq1d 6844 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
64fveq1d 6844 . . . . . . 7 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁))
76oveq2d 7373 . . . . . 6 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁)))
85, 7eqeq12d 2752 . . . . 5 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁))))
93, 8imbi12d 344 . . . 4 (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁)))))
10 0z 12510 . . . . . 6 0 ∈ ℤ
1110elimel 4555 . . . . 5 if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
12 eqid 2736 . . . . 5 (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
13 fvex 6855 . . . . 5 (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
14 eqid 2736 . . . . 5 (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
1514seqval 13917 . . . . 5 seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
1611, 12, 13, 14, 15uzrdgsuci 13865 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁)))
179, 16dedth 4544 . . 3 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
181, 17mpcom 38 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
19 elex 3463 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ V)
20 fvex 6855 . . 3 (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V
21 fvoveq1 7380 . . . . 5 (𝑧 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
2221oveq2d 7373 . . . 4 (𝑧 = 𝑁 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
23 oveq1 7364 . . . 4 (𝑤 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) → (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
24 eqid 2736 . . . 4 (𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
25 ovex 7390 . . . 4 ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ V
2622, 23, 24, 25ovmpo 7515 . . 3 ((𝑁 ∈ V ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V) → (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
2719, 20, 26sylancl 586 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
2818, 27eqtrd 2776 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  ifcif 4486  cop 4592  cmpt 5188  cres 5635  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  ωcom 7802  reccrdg 8355  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054  cz 12499  cuz 12763  seqcseq 13906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907
This theorem is referenced by:  seqexw  13922  seqp1d  13923  seqm1  13925  seqcl2  13926  seqfveq2  13930  seqshft2  13934  sermono  13940  seqsplit  13941  seqcaopr3  13943  seqf1olem2a  13946  seqf1olem2  13948  seqid2  13954  seqhomo  13955  ser1const  13964  expp1  13974  facp1  14178  seqcoll  14363  relexpsucnnr  14910  climserle  15547  iseraltlem2  15567  iseraltlem3  15568  climcndslem1  15734  climcndslem2  15735  clim2prod  15773  prodfn0  15779  prodfrec  15780  ntrivcvgfvn0  15784  ruclem7  16118  sadcp1  16335  smupp1  16360  seq1st  16447  algrp1  16450  eulerthlem2  16654  pcmpt  16764  gsumsplit1r  18542  gsumprval  18543  mulgfval  18874  mulgnnp1  18884  ovolunlem1a  24860  voliunlem1  24914  volsup  24920  dvnp1  25289  bposlem5  26636  opsqrlem5  31086  esumfzf  32668  esumpcvgval  32677  sseqp1  32995  rrvsum  33054  gsumnunsn  33153  iprodefisumlem  34313  faclimlem1  34316  heiborlem4  36273  heiborlem6  36275  fmul01  43811  fmuldfeqlem1  43813  stoweidlem3  44234  wallispilem4  44299  wallispi2lem1  44302  wallispi2lem2  44303
  Copyright terms: Public domain W3C validator