Theorem seqp1 14040

Description: Value of the sequence builder function at a successor. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seqp1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem seqp1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12866	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2		fveq2 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (ℤ≥‘𝑀) = (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
3	2	eleq2d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
4		seqeq1 14028	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → seq𝑀( + , 𝐹) = seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹))
5	4	fveq1d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)))
6	4	fveq1d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) = (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁))
7	6	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁)))
8	5, 7	eqeq12d 2750	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) ↔ (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁))))
9	3, 8	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁)))))
10		0z 12608	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℤ
11	10	elimel 4577	. . . . 5 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
12		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
13		fvex 6900	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
14		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
15	14	seqval 14036	. . . . 5 ⊢ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
16	11, 12, 13, 14, 15	uzrdgsuci 13984	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) → (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘𝑁)))
17	9, 16	dedth 4566	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁))))
18	1, 17	mpcom 38	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
19		elex 3485	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ V)
20		fvex 6900	. . 3 ⊢ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V
21		fvoveq1 7437	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝐹‘(𝑧 + 1)) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
22	21	oveq2d 7430	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝑁 → (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))) = (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
23		oveq1 7421	. . . 4 ⊢ (𝑤 = (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) → (𝑤 + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
24		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1)))) = (𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))
25		ovex 7447	. . . 4 ⊢ ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) ∈ V
26	22, 23, 24, 25	ovmpo 7576	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ V ∧ (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ V) → (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
27	19, 20, 26	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))(seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
28	18, 27	eqtrd 2769	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘(𝑁 + 1)) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3464  ifcif 4507  ⟨cop 4614   ↦ cmpt 5207   ↾ cres 5669  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∈ cmpo 7416  ωcom 7870  reccrdg 8432  0cc0 11138  1c1 11139   + caddc 11141  ℤcz 12597  ℤ_≥cuz 12861  seqcseq 14025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7871  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-er 8728  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12862  df-seq 14026

This theorem is referenced by:  seqexw  14041  seqp1d  14042  seqm1  14043  seqcl2  14044  seqfveq2  14048  seqshft2  14052  sermono  14058  seqsplit  14059  seqcaopr3  14061  seqf1olem2a  14064  seqf1olem2  14066  seqid2  14072  seqhomo  14073  ser1const  14082  expp1  14092  facp1  14300  seqcoll  14486  relexpsucnnr  15047  climserle  15682  iseraltlem2  15702  iseraltlem3  15703  climcndslem1  15868  climcndslem2  15869  clim2prod  15907  prodfn0  15913  prodfrec  15914  ntrivcvgfvn0  15918  ruclem7  16255  sadcp1  16475  smupp1  16500  seq1st  16591  algrp1  16594  eulerthlem2  16802  pcmpt  16913  gsumsplit1r  18674  gsumprval  18675  mulgfval  19061  mulgnnp1  19074  ovolunlem1a  25486  voliunlem1  25540  volsup  25546  dvnp1  25916  bposlem5  27287  opsqrlem5  32110  esumfzf  34011  esumpcvgval  34020  sseqp1  34338  rrvsum  34397  gsumnunsn  34497  iprodefisumlem  35681  faclimlem1  35684  heiborlem4  37762  heiborlem6  37764  fmul01  45540  fmuldfeqlem1  45542  stoweidlem3  45963  wallispilem4  46028  wallispi2lem1  46031  wallispi2lem2  46032