Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalsuc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itcovalsuc 47440
Description: The value of the function that returns the n-th iterate of a function with regard to composition at a successor. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcovalsuc ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
Distinct variable group:   𝑔,𝐹,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔,𝑗)   𝑉(𝑔,𝑗)   π‘Œ(𝑔,𝑗)
Proof of Theorem itcovalsuc
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
2 itcoval 47434 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (IterCompβ€˜πΉ) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))))
32fveq1d 6892 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜(π‘Œ + 1)))
41, 3syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜(π‘Œ + 1)))
5 nn0uz 12868 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6 simp2 1135 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ π‘Œ ∈ β„•0)
7 eqid 2730 . . 3 (π‘Œ + 1) = (π‘Œ + 1)
82adantr 479 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0) β†’ (IterCompβ€˜πΉ) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))))
98fveq1d 6892 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜π‘Œ))
109eqeq1d 2732 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0) β†’ (((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺 ↔ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜π‘Œ) = 𝐺))
1110biimp3a 1467 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜π‘Œ) = 𝐺)
12 eqidd 2731 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))
13 nn0p1gt0 12505 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ β„•0 β†’ 0 < (π‘Œ + 1))
14133ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ 0 < (π‘Œ + 1))
1514gt0ne0d 11782 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (π‘Œ + 1) β‰  0)
1615adantr 479 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ (π‘Œ + 1) β‰  0)
17 neeq1 3001 . . . . . . . 8 (𝑖 = (π‘Œ + 1) β†’ (𝑖 β‰  0 ↔ (π‘Œ + 1) β‰  0))
1817adantl 480 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ (𝑖 β‰  0 ↔ (π‘Œ + 1) β‰  0))
1916, 18mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ 𝑖 β‰  0)
2019neneqd 2943 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ Β¬ 𝑖 = 0)
2120iffalsed 4538 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
22 peano2nn0 12516 . . . . 5 (π‘Œ ∈ β„•0 β†’ (π‘Œ + 1) ∈ β„•0)
23223ad2ant2 1132 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (π‘Œ + 1) ∈ β„•0)
2412, 21, 23, 1fvmptd 7004 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))β€˜(π‘Œ + 1)) = 𝐹)
255, 6, 7, 11, 24seqp1d 13987 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜(π‘Œ + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
264, 25eqtrd 2770 1 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  Vcvv 3472  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   I cid 5572  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252  β„•0cn0 12476  seqcseq 13970  IterCompcitco 47430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-seq 13971  df-itco 47432
This theorem is referenced by:  itcovalsucov  47441
  Copyright terms: Public domain W3C validator