Theorem itcovalsuc 49024

Description: The value of the function that returns the n-th iterate of a function with regard to composition at a successor. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcovalsuc	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))

Distinct variable group:   𝑔,𝐹,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔,𝑗)   𝑉(𝑔,𝑗)   𝑌(𝑔,𝑗)

Proof of Theorem itcovalsuc

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		itcoval 49018	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
3	2	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘(𝑌 + 1)))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘(𝑌 + 1)))
5		nn0uz 12801	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝑌 ∈ ℕ0)
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑌 + 1) = (𝑌 + 1)
8	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
9	8	fveq1d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘𝑌))
10	9	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺 ↔ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘𝑌) = 𝐺))
11	10	biimp3a 1472	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘𝑌) = 𝐺)
12		eqidd 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
13		nn0p1gt0 12442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑌 + 1))
14	13	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 0 < (𝑌 + 1))
15	14	gt0ne0d 11713	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑌 + 1) ≠ 0)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → (𝑌 + 1) ≠ 0)
17		neeq1 2995	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑌 + 1) → (𝑖 ≠ 0 ↔ (𝑌 + 1) ≠ 0))
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → (𝑖 ≠ 0 ↔ (𝑌 + 1) ≠ 0))
19	16, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → 𝑖 ≠ 0)
20	19	neneqd 2938	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → ¬ 𝑖 = 0)
21	20	iffalsed 4492	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
22		peano2nn0 12453	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
23	22	3ad2ant2 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
24	12, 21, 23, 1	fvmptd 6957	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘(𝑌 + 1)) = 𝐹)
25	5, 6, 7, 11, 24	seqp1d 13953	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
26	4, 25	eqtrd 2772	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  Vcvv 3442  ifcif 4481   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   I cid 5526  dom cdm 5632   ↾ cres 5634   ∘ ccom 5636  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∈ cmpo 7370  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178  ℕ₀cn0 12413  seqcseq 13936  IterCompcitco 49014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-itco 49016

This theorem is referenced by:  itcovalsucov  49025