Theorem itcovalsuc 46743

Description: The value of the function that returns the n-th iterate of a function with regard to composition at a successor. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcovalsuc	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))

Distinct variable group:   𝑔,𝐹,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔,𝑗)   𝑉(𝑔,𝑗)   𝑌(𝑔,𝑗)

Proof of Theorem itcovalsuc

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		itcoval 46737	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
3	2	fveq1d 6844	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘(𝑌 + 1)))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘(𝑌 + 1)))
5		nn0uz 12805	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝑌 ∈ ℕ0)
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑌 + 1) = (𝑌 + 1)
8	2	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
9	8	fveq1d 6844	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘𝑌))
10	9	eqeq1d 2738	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺 ↔ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘𝑌) = 𝐺))
11	10	biimp3a 1469	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘𝑌) = 𝐺)
12		eqidd 2737	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
13		nn0p1gt0 12442	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑌 + 1))
14	13	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 0 < (𝑌 + 1))
15	14	gt0ne0d 11719	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑌 + 1) ≠ 0)
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → (𝑌 + 1) ≠ 0)
17		neeq1 3006	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑌 + 1) → (𝑖 ≠ 0 ↔ (𝑌 + 1) ≠ 0))
18	17	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → (𝑖 ≠ 0 ↔ (𝑌 + 1) ≠ 0))
19	16, 18	mpbird 256	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → 𝑖 ≠ 0)
20	19	neneqd 2948	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → ¬ 𝑖 = 0)
21	20	iffalsed 4497	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
22		peano2nn0 12453	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
23	22	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
24	12, 21, 23, 1	fvmptd 6955	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘(𝑌 + 1)) = 𝐹)
25	5, 6, 7, 11, 24	seqp1d 13923	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
26	4, 25	eqtrd 2776	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445  ifcif 4486   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   I cid 5530  dom cdm 5633   ↾ cres 5635   ∘ ccom 5637  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   < clt 11189  ℕ₀cn0 12413  seqcseq 13906  IterCompcitco 46733

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-seq 13907  df-itco 46735

This theorem is referenced by:  itcovalsucov  46744