Theorem itcovalsuc 49597

Description: The value of the function that returns the n-th iterate of a function with regard to composition at a successor. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcovalsuc	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))

Distinct variable group:   𝑔,𝐹,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔, 𝑗)   𝑉(𝑔, 𝑗)   𝑌(𝑔, 𝑗)

Proof of Theorem itcovalsuc

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1154	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		itcoval 49591	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
3	2	fveq1d 6880	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘(𝑌 + 1)))
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘(𝑌 + 1)))
5		nn0uz 12925	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		simp2 1155	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝑌 ∈ ℕ0)
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (𝑌 + 1) = (𝑌 + 1)
8	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
9	8	fveq1d 6880	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘𝑌))
10	9	eqeq1d 2762	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺 ↔ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘𝑌) = 𝐺))
11	10	biimp3a 1498	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘𝑌) = 𝐺)
12		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
13		nn0p1gt0 12557	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑌 + 1))
14	13	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 0 < (𝑌 + 1))
15	14	gt0ne0d 11802	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑌 + 1) ≠ 0)
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → (𝑌 + 1) ≠ 0)
17		neeq1 3017	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑌 + 1) → (𝑖 ≠ 0 ↔ (𝑌 + 1) ≠ 0))
18	17	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → (𝑖 ≠ 0 ↔ (𝑌 + 1) ≠ 0))
19	16, 18	mpbird 260	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → 𝑖 ≠ 0)
20	19	neneqd 2960	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → ¬ 𝑖 = 0)
21	20	iffalsed 4493	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
22		peano2nn0 12568	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
23	22	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
24	12, 21, 23, 1	fvmptd 6994	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘(𝑌 + 1)) = 𝐹)
25	5, 6, 7, 11, 24	seqp1d 14082	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
26	4, 25	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  Vcvv 3450  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   I cid 5549  dom cdm 5655   ↾ cres 5657   ∘ ccom 5659  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   < clt 11267  ℕ₀cn0 12528  seqcseq 14065  IterCompcitco 49587

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-itco 49589

This theorem is used by:  itcovalsucov  49598