Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalsuc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itcovalsuc 46906
Description: The value of the function that returns the n-th iterate of a function with regard to composition at a successor. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcovalsuc ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
Distinct variable group:   𝑔,𝐹,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔,𝑗)   𝑉(𝑔,𝑗)   π‘Œ(𝑔,𝑗)
Proof of Theorem itcovalsuc
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
2 itcoval 46900 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (IterCompβ€˜πΉ) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))))
32fveq1d 6864 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜(π‘Œ + 1)))
41, 3syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜(π‘Œ + 1)))
5 nn0uz 12829 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6 simp2 1137 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ π‘Œ ∈ β„•0)
7 eqid 2731 . . 3 (π‘Œ + 1) = (π‘Œ + 1)
82adantr 481 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0) β†’ (IterCompβ€˜πΉ) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))))
98fveq1d 6864 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜π‘Œ))
109eqeq1d 2733 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0) β†’ (((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺 ↔ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜π‘Œ) = 𝐺))
1110biimp3a 1469 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜π‘Œ) = 𝐺)
12 eqidd 2732 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))
13 nn0p1gt0 12466 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ β„•0 β†’ 0 < (π‘Œ + 1))
14133ad2ant2 1134 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ 0 < (π‘Œ + 1))
1514gt0ne0d 11743 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (π‘Œ + 1) β‰  0)
1615adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ (π‘Œ + 1) β‰  0)
17 neeq1 3002 . . . . . . . 8 (𝑖 = (π‘Œ + 1) β†’ (𝑖 β‰  0 ↔ (π‘Œ + 1) β‰  0))
1817adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ (𝑖 β‰  0 ↔ (π‘Œ + 1) β‰  0))
1916, 18mpbird 256 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ 𝑖 β‰  0)
2019neneqd 2944 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ Β¬ 𝑖 = 0)
2120iffalsed 4517 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
22 peano2nn0 12477 . . . . 5 (π‘Œ ∈ β„•0 β†’ (π‘Œ + 1) ∈ β„•0)
23223ad2ant2 1134 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (π‘Œ + 1) ∈ β„•0)
2412, 21, 23, 1fvmptd 6975 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))β€˜(π‘Œ + 1)) = 𝐹)
255, 6, 7, 11, 24seqp1d 13948 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜(π‘Œ + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
264, 25eqtrd 2771 1 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2939  Vcvv 3459  ifcif 4506   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5208   I cid 5550  dom cdm 5653   β†Ύ cres 5655   ∘ ccom 5657  β€˜cfv 6516  (class class class)co 7377   ∈ cmpo 7379  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11213  β„•0cn0 12437  seqcseq 13931  IterCompcitco 46896
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-nn 12178  df-n0 12438  df-z 12524  df-uz 12788  df-seq 13932  df-itco 46898
This theorem is referenced by:  itcovalsucov  46907
  Copyright terms: Public domain W3C validator