Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itcovalsuc Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem itcovalsuc 47353
Description: The value of the function that returns the n-th iterate of a function with regard to composition at a successor. (Contributed by AV, 4-May-2024.)
Assertion
Ref Expression
itcovalsuc ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
Distinct variable group:   𝑔,𝐹,𝑗
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔,𝑗)   𝑉(𝑔,𝑗)   π‘Œ(𝑔,𝑗)
Proof of Theorem itcovalsuc
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ 𝐹 ∈ 𝑉)
2 itcoval 47347 . . . 4 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ (IterCompβ€˜πΉ) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))))
32fveq1d 6894 . . 3 (𝐹 ∈ 𝑉 β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜(π‘Œ + 1)))
41, 3syl 17 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜(π‘Œ + 1)))
5 nn0uz 12864 . . 3 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
6 simp2 1138 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ π‘Œ ∈ β„•0)
7 eqid 2733 . . 3 (π‘Œ + 1) = (π‘Œ + 1)
82adantr 482 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0) β†’ (IterCompβ€˜πΉ) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))))
98fveq1d 6894 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜π‘Œ))
109eqeq1d 2735 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0) β†’ (((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺 ↔ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜π‘Œ) = 𝐺))
1110biimp3a 1470 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜π‘Œ) = 𝐺)
12 eqidd 2734 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))
13 nn0p1gt0 12501 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ β„•0 β†’ 0 < (π‘Œ + 1))
14133ad2ant2 1135 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ 0 < (π‘Œ + 1))
1514gt0ne0d 11778 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (π‘Œ + 1) β‰  0)
1615adantr 482 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ (π‘Œ + 1) β‰  0)
17 neeq1 3004 . . . . . . . 8 (𝑖 = (π‘Œ + 1) β†’ (𝑖 β‰  0 ↔ (π‘Œ + 1) β‰  0))
1817adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ (𝑖 β‰  0 ↔ (π‘Œ + 1) β‰  0))
1916, 18mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ 𝑖 β‰  0)
2019neneqd 2946 . . . . 5 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ Β¬ 𝑖 = 0)
2120iffalsed 4540 . . . 4 (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (π‘Œ + 1)) β†’ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
22 peano2nn0 12512 . . . . 5 (π‘Œ ∈ β„•0 β†’ (π‘Œ + 1) ∈ β„•0)
23223ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (π‘Œ + 1) ∈ β„•0)
2412, 21, 23, 1fvmptd 7006 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹))β€˜(π‘Œ + 1)) = 𝐹)
255, 6, 7, 11, 24seqp1d 13983 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ β„•0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I β†Ύ dom 𝐹), 𝐹)))β€˜(π‘Œ + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
264, 25eqtrd 2773 1 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ β„•0 ∧ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜π‘Œ) = 𝐺) β†’ ((IterCompβ€˜πΉ)β€˜(π‘Œ + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  Vcvv 3475  ifcif 4529   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   I cid 5574  dom cdm 5677   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   < clt 11248  β„•0cn0 12472  seqcseq 13966  IterCompcitco 47343
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-itco 47345
This theorem is referenced by:  itcovalsucov  47354
  Copyright terms: Public domain W3C validator