Theorem itcovalsuc 48660

Description: The value of the function that returns the n-th iterate of a function with regard to composition at a successor. (Contributed by AV, 4-May-2024.)

Assertion

Ref	Expression
itcovalsuc	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))

Distinct variable group:   𝑔,𝐹,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐺(𝑔,𝑗)   𝑉(𝑔,𝑗)   𝑌(𝑔,𝑗)

Proof of Theorem itcovalsuc

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		itcoval 48654	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
3	2	fveq1d 6863	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘(𝑌 + 1)))
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘(𝑌 + 1)))
5		nn0uz 12842	. . 3 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
6		simp2 1137	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 𝑌 ∈ ℕ0)
7		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑌 + 1) = (𝑌 + 1)
8	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → (IterComp‘𝐹) = seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))))
9	8	fveq1d 6863	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘𝑌))
10	9	eqeq1d 2732	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0) → (((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺 ↔ (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘𝑌) = 𝐺))
11	10	biimp3a 1471	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘𝑌) = 𝐺)
12		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)) = (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))
13		nn0p1gt0 12478	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑌 + 1))
14	13	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → 0 < (𝑌 + 1))
15	14	gt0ne0d 11749	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑌 + 1) ≠ 0)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → (𝑌 + 1) ≠ 0)
17		neeq1 2988	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = (𝑌 + 1) → (𝑖 ≠ 0 ↔ (𝑌 + 1) ≠ 0))
18	17	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → (𝑖 ≠ 0 ↔ (𝑌 + 1) ≠ 0))
19	16, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → 𝑖 ≠ 0)
20	19	neneqd 2931	. . . . 5 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → ¬ 𝑖 = 0)
21	20	iffalsed 4502	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) ∧ 𝑖 = (𝑌 + 1)) → if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹) = 𝐹)
22		peano2nn0 12489	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ ℕ0 → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
23	22	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (𝑌 + 1) ∈ ℕ0)
24	12, 21, 23, 1	fvmptd 6978	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹))‘(𝑌 + 1)) = 𝐹)
25	5, 6, 7, 11, 24	seqp1d 13990	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → (seq0((𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔)), (𝑖 ∈ ℕ0 ↦ if(𝑖 = 0, ( I ↾ dom 𝐹), 𝐹)))‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))
26	4, 25	eqtrd 2765	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ ℕ0 ∧ ((IterComp‘𝐹)‘𝑌) = 𝐺) → ((IterComp‘𝐹)‘(𝑌 + 1)) = (𝐺(𝑔 ∈ V, 𝑗 ∈ V ↦ (𝐹 ∘ 𝑔))𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  Vcvv 3450  ifcif 4491   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191   I cid 5535  dom cdm 5641   ↾ cres 5643   ∘ ccom 5645  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∈ cmpo 7392  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215  ℕ₀cn0 12449  seqcseq 13973  IterCompcitco 48650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-itco 48652

This theorem is referenced by:  itcovalsucov  48661