Theorem srngf1o 20820

Description: The involution function in a star ring is a bijection. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
srngcnv.i	⊢ ∗ = (*rf‘𝑅)
srngf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
srngf1o	⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ∗ :𝐵–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem srngf1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
2		srngcnv.i	. . . 4 ⊢ ∗ = (*rf‘𝑅)
3	1, 2	srngrhm 20817	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ∗ ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)))
4		srngf1o.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
5		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘(oppr‘𝑅)) = (Base‘(oppr‘𝑅))
6	4, 5	rhmf 20455	. . 3 ⊢ ( ∗ ∈ (𝑅 RingHom (oppr‘𝑅)) → ∗ :𝐵⟶(Base‘(oppr‘𝑅)))
7		ffn 6655	. . 3 ⊢ ( ∗ :𝐵⟶(Base‘(oppr‘𝑅)) → ∗ Fn 𝐵)
8	3, 6, 7	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ∗ Fn 𝐵)
9	2	srngcnv 20819	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ∗ = ◡ ∗ )
10	9	fneq1d 6578	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ( ∗ Fn 𝐵 ↔ ◡ ∗ Fn 𝐵))
11	8, 10	mpbid 233	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ◡ ∗ Fn 𝐵)
12		dff1o4 6775	. 2 ⊢ ( ∗ :𝐵–1-1-onto→𝐵 ↔ ( ∗ Fn 𝐵 ∧ ◡ ∗ Fn 𝐵))
13	8, 11, 12	sylanbrc 589	1 ⊢ (𝑅 ∈ *-Ring → ∗ :𝐵–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ^◡ccnv 5617   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  –1-1-onto→wf1o 6484  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  opp_rcoppr 20307   RingHom crh 20440  *_rfcstf 20809  *-Ringcsr 20810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mhm 18742  df-ghm 19179  df-mgp 20113  df-ur 20154  df-ring 20207  df-rhm 20443  df-srng 20812

This theorem is referenced by:  srngcl  20821  srngnvl  20822  iporthcom  21610