Theorem omoe 16410

Description: The difference of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omoe	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem omoe

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16387	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2		odd2np1 16387	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
3	1, 2	bi2anan9 649	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵)))
4		reeanv 3237	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
5		2z 12614	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		zsubcl 12624	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 − 𝑏) ∈ ℤ)
7		dvdsmul1 16323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑎 − 𝑏) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · (𝑎 − 𝑏)))
8	5, 6, 7	sylancr 598	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · (𝑎 − 𝑏)))
9		zcn 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
10		zcn 12584	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
11		2cn 12304	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		mulcl 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
13	11, 12	mpan 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
14		mulcl 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
15	11, 14	mpan 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
16		ax-1cn 11146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		pnpcan2 11486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
18	16, 17	mp3an3 1474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
19	13, 15, 18	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
20		subdi 11635	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 − 𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
21	11, 20	mp3an1 1472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 − 𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
22	19, 21	eqtr4d 2803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) = (2 · (𝑎 − 𝑏)))
23	9, 10, 22	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) = (2 · (𝑎 − 𝑏)))
24	8, 23	breqtrrd 5132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)))
25		oveq12 7409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) = (𝐴 − 𝐵))
26	25	breq2d 5116	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) ↔ 2 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
27	24, 26	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
28	27	rexlimivv 3207	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))
29	4, 28	sylbir 238	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))
30	3, 29	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
31	30	imp 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))
32	31	an4s 672	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   − cmin 11429  2c2 12283  ℤcz 12579   ∥ cdvds 16298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-n0 12493  df-z 12580  df-dvds 16299

This theorem is referenced by:  oddprm  16858  pythagtriplem13  16875  gausslemma2dlem1a  27483  lgsquad2lem1  27502  lgsquad3  27505  jm2.22  43579  jm2.23  43580