Theorem omoe 16293

Description: The difference of two odds is even. (Contributed by Scott Fenton, 7-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omoe	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))

Proof of Theorem omoe

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odd2np1 16270	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐴 ↔ ∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴))
2		odd2np1 16270	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (¬ 2 ∥ 𝐵 ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
3	1, 2	bi2anan9 639	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵)))
4		reeanv 3207	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵))
5		2z 12525	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		zsubcl 12535	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝑎 − 𝑏) ∈ ℤ)
7		dvdsmul1 16206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ (𝑎 − 𝑏) ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · (𝑎 − 𝑏)))
8	5, 6, 7	sylancr 588	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (2 · (𝑎 − 𝑏)))
9		zcn 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ ℤ → 𝑎 ∈ ℂ)
10		zcn 12495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℤ → 𝑏 ∈ ℂ)
11		2cn 12222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℂ
12		mulcl 11112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
13	11, 12	mpan 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ ℂ → (2 · 𝑎) ∈ ℂ)
14		mulcl 11112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
15	11, 14	mpan 691	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (2 · 𝑏) ∈ ℂ)
16		ax-1cn 11086	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		pnpcan2 11423	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
18	16, 17	mp3an3 1453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝑎) ∈ ℂ ∧ (2 · 𝑏) ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
19	13, 15, 18	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
20		subdi 11572	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 − 𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
21	11, 20	mp3an1 1451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (2 · (𝑎 − 𝑏)) = ((2 · 𝑎) − (2 · 𝑏)))
22	19, 21	eqtr4d 2773	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) = (2 · (𝑎 − 𝑏)))
23	9, 10, 22	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) = (2 · (𝑎 − 𝑏)))
24	8, 23	breqtrrd 5125	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)))
25		oveq12 7367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) = (𝐴 − 𝐵))
26	25	breq2d 5109	. . . . . . 7 ⊢ ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → (2 ∥ (((2 · 𝑎) + 1) − ((2 · 𝑏) + 1)) ↔ 2 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
27	24, 26	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → ((((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
28	27	rexlimivv 3177	. . . . 5 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤ ∃𝑏 ∈ ℤ (((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))
29	4, 28	sylbir 235	. . . 4 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤ ((2 · 𝑎) + 1) = 𝐴 ∧ ∃𝑏 ∈ ℤ ((2 · 𝑏) + 1) = 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))
30	3, 29	biimtrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
31	30	imp 406	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) ∧ (¬ 2 ∥ 𝐴 ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))
32	31	an4s 661	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ ¬ 2 ∥ 𝐵)) → 2 ∥ (𝐴 − 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3059   class class class wbr 5097  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  1c1 11029   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  2c2 12202  ℤcz 12490   ∥ cdvds 16181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-dvds 16182

This theorem is referenced by:  oddprm  16740  pythagtriplem13  16757  gausslemma2dlem1a  27334  lgsquad2lem1  27353  lgsquad3  27356  jm2.22  43274  jm2.23  43275