MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmulconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmulconst 16104
Description: Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmulconst (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” ((๐ถ ยท ๐ด) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod (๐ถ ยท ๐‘€))))

Proof of Theorem modmulconst
StepHypRef Expression
1 nnz 12455 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
21adantl 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 zsubcl 12475 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
433adant3 1132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
54adantr 481 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
6 nnz 12455 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
7 nnne0 12120 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โ‰  0)
86, 7jca 512 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โ‰  0))
983ad2ant3 1135 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โ‰  0))
109adantr 481 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โ‰  0))
11 dvdscmulr 16101 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
1211bicomd 222 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” (๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
132, 5, 10, 12syl3anc 1371 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” (๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
14 zcn 12437 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
15 zcn 12437 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
16 nncn 12094 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1714, 15, 163anim123i 1151 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
18 3anrot 1100 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
1917, 18sylibr 233 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
20 subdi 11521 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)))
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)))
2221adantr 481 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)))
2322breq2d 5115 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†” (๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
2413, 23bitrd 278 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” (๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
25 simpr 485 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
26 simp1 1136 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2726adantr 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
28 simp2 1137 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2928adantr 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
30 moddvds 16081 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
3125, 27, 29, 30syl3anc 1371 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
32 simpl3 1193 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
3332, 25nnmulcld 12139 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
3463ad2ant3 1135 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
3534, 26zmulcld 12545 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
3635adantr 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
3734, 28zmulcld 12545 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
3837adantr 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
39 moddvds 16081 . . 3 (((๐ถ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) โ†” (๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
4033, 36, 38, 39syl3anc 1371 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) โ†” (๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
4124, 31, 403bitr4d 310 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” ((๐ถ ยท ๐ด) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod (๐ถ ยท ๐‘€))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5103  (class class class)co 7349  โ„‚cc 10982  0cc0 10984   ยท cmul 10989   โˆ’ cmin 11318  โ„•cn 12086  โ„คcz 12432   mod cmo 13702   โˆฅ cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-sup 9311  df-inf 9312  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fl 13625  df-mod 13703  df-dvds 16071
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator