MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  modmulconst Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem modmulconst 16105
Description: Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
modmulconst (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” ((๐ถ ยท ๐ด) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod (๐ถ ยท ๐‘€))))

Proof of Theorem modmulconst
StepHypRef Expression
1 nnz 12456 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
21adantl 483 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
3 zsubcl 12476 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
433adant3 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
54adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค)
6 nnz 12456 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
7 nnne0 12121 . . . . . . 7 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โ‰  0)
86, 7jca 513 . . . . . 6 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โ‰  0))
983ad2ant3 1136 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โ‰  0))
109adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โ‰  0))
11 dvdscmulr 16102 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
1211bicomd 222 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด โˆ’ ๐ต) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โ‰  0)) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” (๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
132, 5, 10, 12syl3anc 1372 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” (๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต))))
14 zcn 12438 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
15 zcn 12438 . . . . . . . 8 (๐ต โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
16 nncn 12095 . . . . . . . 8 (๐ถ โˆˆ โ„• โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
1714, 15, 163anim123i 1152 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
18 3anrot 1101 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†” (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
1917, 18sylibr 233 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
20 subdi 11522 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)))
2119, 20syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)))
2221adantr 482 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) = ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต)))
2322breq2d 5116 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ (๐ถ ยท (๐ด โˆ’ ๐ต)) โ†” (๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
2413, 23bitrd 279 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” (๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
25 simpr 486 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
26 simp1 1137 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
2726adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„ค)
28 simp2 1138 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
2928adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
30 moddvds 16082 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
3125, 27, 29, 30syl3anc 1372 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” ๐‘€ โˆฅ (๐ด โˆ’ ๐ต)))
32 simpl3 1194 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„•)
3332, 25nnmulcld 12140 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
3463ad2ant3 1136 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„ค)
3534, 26zmulcld 12546 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
3635adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค)
3734, 28zmulcld 12546 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
3837adantr 482 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค)
39 moddvds 16082 . . 3 (((๐ถ ยท ๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (๐ถ ยท ๐ด) โˆˆ โ„ค โˆง (๐ถ ยท ๐ต) โˆˆ โ„ค) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) โ†” (๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
4033, 36, 38, 39syl3anc 1372 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐ถ ยท ๐ด) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) โ†” (๐ถ ยท ๐‘€) โˆฅ ((๐ถ ยท ๐ด) โˆ’ (๐ถ ยท ๐ต))))
4124, 31, 403bitr4d 311 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ถ โˆˆ โ„•) โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐ด mod ๐‘€) = (๐ต mod ๐‘€) โ†” ((๐ถ ยท ๐ด) mod (๐ถ ยท ๐‘€)) = ((๐ถ ยท ๐ต) mod (๐ถ ยท ๐‘€))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2942   class class class wbr 5104  (class class class)co 7350  โ„‚cc 10983  0cc0 10985   ยท cmul 10990   โˆ’ cmin 11319  โ„•cn 12087  โ„คcz 12433   mod cmo 13703   โˆฅ cdvds 16071
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-sup 9312  df-inf 9313  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-n0 12348  df-z 12434  df-uz 12697  df-rp 12845  df-fl 13626  df-mod 13704  df-dvds 16072
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator