Theorem modmulconst 16307

Description: Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmulconst	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀))))

Proof of Theorem modmulconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12617	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12642	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
6		nnz 12617	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
7		nnne0 12282	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
11		dvdscmulr 16304	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
12	11	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵))))
13	2, 5, 10, 12	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵))))
14		zcn 12601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
15		zcn 12601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
16		nncn 12256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	3anim123i 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
18		3anrot 1099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
19	17, 18	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
20		subdi 11678	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
23	22	breq2d 5135	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
24	13, 23	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
25		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
26		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
28		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		moddvds 16283	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
31	25, 27, 29, 30	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
32		simpl3 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℕ)
33	32, 25	nnmulcld 12301	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝑀) ∈ ℕ)
34	6	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
35	34, 26	zmulcld 12711	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
36	35	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
37	34, 28	zmulcld 12711	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
39		moddvds 16283	. . 3 ⊢ (((𝐶 · 𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ) → (((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
40	33, 36, 38, 39	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
41	24, 31, 40	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   class class class wbr 5123  (class class class)co 7413  ℂcc 11135  0cc0 11137   · cmul 11142   − cmin 11474  ℕcn 12248  ℤcz 12596   mod cmo 13891   ∥ cdvds 16272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-sup 9464  df-inf 9465  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13017  df-fl 13814  df-mod 13892  df-dvds 16273

This theorem is referenced by: (None)