Theorem modmulconst 16213

Description: Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmulconst	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀))))

Proof of Theorem modmulconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12507	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12531	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
6		nnz 12507	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
7		nnne0 12177	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
9	8	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
11		dvdscmulr 16209	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
12	11	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵))))
13	2, 5, 10, 12	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵))))
14		zcn 12491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
15		zcn 12491	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
16		nncn 12151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	3anim123i 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
18		3anrot 1099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
19	17, 18	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
20		subdi 11568	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
22	21	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
23	22	breq2d 5108	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
24	13, 23	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
25		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
26		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
28		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		moddvds 16188	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
31	25, 27, 29, 30	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
32		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℕ)
33	32, 25	nnmulcld 12196	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝑀) ∈ ℕ)
34	6	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
35	34, 26	zmulcld 12600	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
36	35	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
37	34, 28	zmulcld 12600	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
38	37	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
39		moddvds 16188	. . 3 ⊢ (((𝐶 · 𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ) → (((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
40	33, 36, 38, 39	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
41	24, 31, 40	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024   · cmul 11029   − cmin 11362  ℕcn 12143  ℤcz 12486   mod cmo 13787   ∥ cdvds 16177

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-sup 9343  df-inf 9344  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-n0 12400  df-z 12487  df-uz 12750  df-rp 12904  df-fl 13710  df-mod 13788  df-dvds 16178

This theorem is referenced by: (None)