Theorem modmulconst 15997

Description: Constant multiplication in a modulo operation, see theorem 5.3 in [ApostolNT] p. 108. (Contributed by AV, 21-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modmulconst	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀))))

Proof of Theorem modmulconst

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnz 12342	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12362	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
4	3	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
5	4	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ)
6		nnz 12342	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℤ)
7		nnne0 12007	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ≠ 0)
8	6, 7	jca 512	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
9	8	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
10	9	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0))
11		dvdscmulr 15994	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → ((𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
12	11	bicomd 222	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐴 − 𝐵) ∈ ℤ ∧ (𝐶 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ≠ 0)) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵))))
13	2, 5, 10, 12	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵))))
14		zcn 12324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
15		zcn 12324	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → 𝐵 ∈ ℂ)
16		nncn 11981	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℂ)
17	14, 15, 16	3anim123i 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
18		3anrot 1099	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ↔ (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
19	17, 18	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
20		subdi 11408	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
21	19, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
22	21	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) = ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵)))
23	22	breq2d 5086	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐶 · 𝑀) ∥ (𝐶 · (𝐴 − 𝐵)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
24	13, 23	bitrd 278	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
25		simpr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝑀 ∈ ℕ)
26		simp1 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
27	26	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
28		simp2 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
29	28	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℤ)
30		moddvds 15974	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
31	25, 27, 29, 30	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ 𝑀 ∥ (𝐴 − 𝐵)))
32		simpl3 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℕ)
33	32, 25	nnmulcld 12026	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝑀) ∈ ℕ)
34	6	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → 𝐶 ∈ ℤ)
35	34, 26	zmulcld 12432	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
36	35	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ)
37	34, 28	zmulcld 12432	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
38	37	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ)
39		moddvds 15974	. . 3 ⊢ (((𝐶 · 𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝐶 · 𝐴) ∈ ℤ ∧ (𝐶 · 𝐵) ∈ ℤ) → (((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
40	33, 36, 38, 39	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀)) ↔ (𝐶 · 𝑀) ∥ ((𝐶 · 𝐴) − (𝐶 · 𝐵))))
41	24, 31, 40	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐶 ∈ ℕ) ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐴 mod 𝑀) = (𝐵 mod 𝑀) ↔ ((𝐶 · 𝐴) mod (𝐶 · 𝑀)) = ((𝐶 · 𝐵) mod (𝐶 · 𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876   − cmin 11205  ℕcn 11973  ℤcz 12319   mod cmo 13589   ∥ cdvds 15963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fl 13512  df-mod 13590  df-dvds 15964

This theorem is referenced by: (None)