Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  tgrpopr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem tgrpopr 39239
Description: The group operation of the translation group is function composition. (Contributed by NM, 5-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
tgrpset.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
tgrpset.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tgrpset.g 𝐺 = ((TGrpβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
tgrp.o + = (+gβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
tgrpopr ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ + = (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
Distinct variable groups:   𝑓,𝑔,𝐾   𝑇,𝑓,𝑔   𝑓,π‘Š,𝑔
Allowed substitution hints:   + (𝑓,𝑔)   𝐺(𝑓,𝑔)   𝐻(𝑓,𝑔)   𝑉(𝑓,𝑔)

Proof of Theorem tgrpopr
StepHypRef Expression
1 tgrpset.h . . . 4 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 tgrpset.t . . . 4 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 tgrpset.g . . . 4 𝐺 = ((TGrpβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
41, 2, 3tgrpset 39237 . . 3 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ 𝐺 = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‡βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩})
54fveq2d 6851 . 2 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‡βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}))
6 tgrp.o . 2 + = (+gβ€˜πΊ)
72fvexi 6861 . . . 4 𝑇 ∈ V
87, 7mpoex 8017 . . 3 (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V
9 eqid 2737 . . . 4 {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‡βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩} = {⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‡βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}
109grpplusg 17176 . . 3 ((𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) ∈ V β†’ (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‡βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩}))
118, 10ax-mp 5 . 2 (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)) = (+gβ€˜{⟨(Baseβ€˜ndx), π‘‡βŸ©, ⟨(+gβ€˜ndx), (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔))⟩})
125, 6, 113eqtr4g 2802 1 ((𝐾 ∈ 𝑉 ∧ π‘Š ∈ 𝐻) β†’ + = (𝑓 ∈ 𝑇, 𝑔 ∈ 𝑇 ↦ (𝑓 ∘ 𝑔)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3448  {cpr 4593  βŸ¨cop 4597   ∘ ccom 5642  β€˜cfv 6501   ∈ cmpo 7364  ndxcnx 17072  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  LHypclh 38476  LTrncltrn 38593  TGrpctgrp 39234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-tgrp 39235
This theorem is referenced by:  tgrpov  39240
  Copyright terms: Public domain W3C validator