Theorem umgrbi 29133

Description: Show that an unordered pair is a valid edge in a multigraph. (Contributed by AV, 9-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrbi.x	⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
umgrbi.y	⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
umgrbi.n	⊢ 𝑋 ≠ 𝑌

Assertion

Ref	Expression
umgrbi	⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Distinct variable groups:   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋   𝑥,𝑌

Proof of Theorem umgrbi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrbi.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 ∈ 𝑉
2		umgrbi.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 ∈ 𝑉
3		prssi 4826	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
4	1, 2, 3	mp2an 692	. . 3 ⊢ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉
5		prex 5443	. . . 4 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ V
6	5	elpw 4609	. . 3 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ↔ {𝑋, 𝑌} ⊆ 𝑉)
7	4, 6	mpbir 231	. 2 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉
8		umgrbi.n	. . . 4 ⊢ 𝑋 ≠ 𝑌
9		hashprg 14431	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ (♯‘{𝑋, 𝑌}) = 2))
10	8, 9	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (♯‘{𝑋, 𝑌}) = 2)
11	1, 2, 10	mp2an 692	. 2 ⊢ (♯‘{𝑋, 𝑌}) = 2
12		fveqeq2 6916	. . 3 ⊢ (𝑥 = {𝑋, 𝑌} → ((♯‘𝑥) = 2 ↔ (♯‘{𝑋, 𝑌}) = 2))
13	12	elrab 3695	. 2 ⊢ ({𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} ↔ ({𝑋, 𝑌} ∈ 𝒫 𝑉 ∧ (♯‘{𝑋, 𝑌}) = 2))
14	7, 11, 13	mpbir2an 711	1 ⊢ {𝑋, 𝑌} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433   ⊆ wss 3963  𝒫 cpw 4605  {cpr 4633  ‘cfv 6563  2c2 12319  ♯chash 14366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367

This theorem is referenced by:  konigsbergiedgw  30277