Theorem hashprg 13748

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		elsni 4576	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
3	2	eqcomd 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
4	3	necon3ai 3039	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5		snfi 8586	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
6		hashunsng 13745	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1)))
7	6	imp 409	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
8	5, 7	mpanr1 701	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
9	1, 4, 8	syl2an 597	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
10		hashsng 13722	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)
11	10	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴}) = 1)
12	11	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴}) = 1)
13	12	oveq1d 7163	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((♯‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
14	9, 13	eqtrd 2854	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
15		df-pr 4562	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
16	15	fveq2i 6666	. . 3 ⊢ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
17		df-2 11692	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2879	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
19		1ne2 11837	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 1 ≠ 2)
21	11, 20	eqnetrd 3081	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴}) ≠ 2)
22		dfsn2 4572	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
23		preq2 4662	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
24	22, 23	syl5req 2867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
25	24	fveq2d 6667	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘{𝐴}))
26	25	neeq1d 3073	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (♯‘{𝐴}) ≠ 2))
27	21, 26	syl5ibrcom 249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
28	27	necon2d 3037	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴 ≠ 𝐵))
29	28	imp 409	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	18, 29	impbida 799	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014   ∪ cun 3932  {csn 4559  {cpr 4561  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Fincfn 8501  1c1 10530   + caddc 10532  2c2 11684  ♯chash 13682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-dju 9322  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-hash 13683

This theorem is referenced by:  hashprb  13750  prhash2ex  13752  hashfun  13790  hash2exprb  13821  nehash2  13824  hashtpg  13835  elss2prb  13837  wrdlen2i  14296  isnzr2hash  20029  upgrex  26869  umgrbi  26878  usgr1e  27019  usgrexmplef  27033  cusgrexilem2  27216  cusgrfilem1  27229  umgr2v2e  27299  vdegp1bi  27311  eulerpathpr  28011  ccfldextdgrr  31050  coinflipprob  31730  cusgredgex  32361  subfacp1lem1  32419  poimirlem9  34893  fourierdlem54  42435  fourierdlem102  42483  fourierdlem103  42484  fourierdlem104  42485  fourierdlem114  42495  prpair  43653  prproropf1olem1  43655  paireqne  43663  prprspr2  43670  reuprpr  43675