Theorem hashprg 14540

Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)

Assertion

Ref	Expression
hashprg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝐵 ∈ 𝑊)
2		elsni 4600	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
3	2	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
4	3	necon3ai 2980	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ≠ 𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5		snfi 9072	. . . . . 6 ⊢ {𝐴} ∈ Fin
6		hashunsng 14537	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑊 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1)))
7	6	imp 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
8	5, 7	mpanr1 716	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
9	1, 4, 8	syl2an 608	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
10		hashsng 14514	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴}) = 1)
12	11	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴}) = 1)
13	12	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → ((♯‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
14	9, 13	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
15		df-pr 4586	. . . 4 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
16	15	fveq2i 6888	. . 3 ⊢ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
17		df-2 12406	. . 3 ⊢ 2 = (1 + 1)
18	14, 16, 17	3eqtr4g 2820	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ 𝐴 ≠ 𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
19		1ne2 12554	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ 2
20	19	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 1 ≠ 2)
21	11, 20	eqnetrd 3022	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (♯‘{𝐴}) ≠ 2)
22		dfsn2 4596	. . . . . . . 8 ⊢ {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
23		preq2 4694	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
24	22, 23	eqtr2id 2808	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
25	24	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘{𝐴}))
26	25	neeq1d 3014	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (♯‘{𝐴}) ≠ 2))
27	21, 26	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
28	27	necon2d 2978	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴 ≠ 𝐵))
29	28	imp 412	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴 ≠ 𝐵)
30	18, 29	impbida 813	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   ∪ cun 4149  {csn 4583  {cpr 4585  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Fincfn 8974  1c1 11202   + caddc 11204  2c2 12398  ♯chash 14475

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-oadd 8481  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-dju 9983  df-card 10021  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-n0 12608  df-z 12695  df-uz 12967  df-fz 13641  df-hash 14476

This theorem is used by:  hashprb  14542  prhash2ex  14544  hashfun  14583  hash2exprb  14617  nehash2  14620  hashtpg  14631  elss2prb  14634  hash3tpexb  14640  wrdlen2i  15094  isnzr2hash  20771  upgrex  29671  umgrbi  29680  usgr1e  29827  usgrexmplef  29841  cusgrexilem2  30024  cusgrfilem1  30037  umgr2v2e  30107  vdegp1bi  30119  eulerpathpr  30842  drngidlhash  34026  ccfldextdgrr  34347  coinflipprob  35155  cusgredgex  35975  subfacp1lem1  36013  poimirlem9  38623  fourierdlem54  47246  fourierdlem102  47294  fourierdlem103  47295  fourierdlem104  47296  fourierdlem114  47306  prpair  48659  prproropf1olem1  48661  paireqne  48669  prprspr2  48676  reuprpr  48681  stgrusgra  49133  gpgusgralem  49230