MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashprg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashprg 14430
Description: The size of an unordered pair. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 5-May-2016.) (Revised by AV, 18-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
hashprg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))

Proof of Theorem hashprg
StepHypRef Expression
1 simpr 484 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝐵𝑊)
2 elsni 4647 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐵 = 𝐴)
32eqcomd 2740 . . . . . 6 (𝐵 ∈ {𝐴} → 𝐴 = 𝐵)
43necon3ai 2962 . . . . 5 (𝐴𝐵 → ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})
5 snfi 9081 . . . . . 6 {𝐴} ∈ Fin
6 hashunsng 14427 . . . . . . 7 (𝐵𝑊 → (({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1)))
76imp 406 . . . . . 6 ((𝐵𝑊 ∧ ({𝐴} ∈ Fin ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴})) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
85, 7mpanr1 703 . . . . 5 ((𝐵𝑊 ∧ ¬ 𝐵 ∈ {𝐴}) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
91, 4, 8syl2an 596 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = ((♯‘{𝐴}) + 1))
10 hashsng 14404 . . . . . . 7 (𝐴𝑉 → (♯‘{𝐴}) = 1)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (♯‘{𝐴}) = 1)
1211adantr 480 . . . . 5 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴}) = 1)
1312oveq1d 7445 . . . 4 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → ((♯‘{𝐴}) + 1) = (1 + 1))
149, 13eqtrd 2774 . . 3 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵})) = (1 + 1))
15 df-pr 4633 . . . 4 {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
1615fveq2i 6909 . . 3 (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘({𝐴} ∪ {𝐵}))
17 df-2 12326 . . 3 2 = (1 + 1)
1814, 16, 173eqtr4g 2799 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ 𝐴𝐵) → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2)
19 1ne2 12471 . . . . . . 7 1 ≠ 2
2019a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 1 ≠ 2)
2111, 20eqnetrd 3005 . . . . 5 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (♯‘{𝐴}) ≠ 2)
22 dfsn2 4643 . . . . . . . 8 {𝐴} = {𝐴, 𝐴}
23 preq2 4738 . . . . . . . 8 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐴} = {𝐴, 𝐵})
2422, 23eqtr2id 2787 . . . . . . 7 (𝐴 = 𝐵 → {𝐴, 𝐵} = {𝐴})
2524fveq2d 6910 . . . . . 6 (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) = (♯‘{𝐴}))
2625neeq1d 2997 . . . . 5 (𝐴 = 𝐵 → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2 ↔ (♯‘{𝐴}) ≠ 2))
2721, 26syl5ibrcom 247 . . . 4 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 = 𝐵 → (♯‘{𝐴, 𝐵}) ≠ 2))
2827necon2d 2960 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → ((♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2 → 𝐴𝐵))
2928imp 406 . 2 (((𝐴𝑉𝐵𝑊) ∧ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2) → 𝐴𝐵)
3018, 29impbida 801 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵 ↔ (♯‘{𝐴, 𝐵}) = 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  cun 3960  {csn 4630  {cpr 4632  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  1c1 11153   + caddc 11155  2c2 12318  chash 14365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-hash 14366
This theorem is referenced by:  hashprb  14432  prhash2ex  14434  hashfun  14472  hash2exprb  14506  nehash2  14509  hashtpg  14520  elss2prb  14523  hash3tpexb  14529  wrdlen2i  14977  isnzr2hash  20535  upgrex  29123  umgrbi  29132  usgr1e  29276  usgrexmplef  29290  cusgrexilem2  29473  cusgrfilem1  29487  umgr2v2e  29557  vdegp1bi  29569  eulerpathpr  30268  drngidlhash  33441  ccfldextdgrr  33696  coinflipprob  34460  cusgredgex  35105  subfacp1lem1  35163  poimirlem9  37615  fourierdlem54  46115  fourierdlem102  46163  fourierdlem103  46164  fourierdlem104  46165  fourierdlem114  46175  prpair  47425  prproropf1olem1  47427  paireqne  47435  prprspr2  47442  reuprpr  47447  stgrusgra  47861  gpgusgralem  47945
  Copyright terms: Public domain W3C validator