Theorem konigsbergiedgw 30234

Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedgw	⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12524	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 13646	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		1nn0 12522	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1le3 12457	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 3
6		elfz2nn0 13640	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
7	4, 1, 5, 6	mpbir3an 1342	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0...3)
8		0ne1 12316	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9	3, 7, 8	umgrbi 29085	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11		2nn0 12523	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		2re 12319	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		3re 12325	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
14		2lt3 12417	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
15	12, 13, 14	ltleii 11363	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
16		elfz2nn0 13640	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
17	11, 1, 15, 16	mpbir3an 1342	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (0...3)
18		0ne2 12452	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
19	3, 17, 18	umgrbi 29085	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
21		nn0fz0 13647	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
22	1, 21	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (0...3)
23		3ne0 12351	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
24	23	necomi 2987	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
25	3, 22, 24	umgrbi 29085	. . . . 5 ⊢ {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
27		1ne2 12453	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
28	7, 17, 27	umgrbi 29085	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
30	12, 14	ltneii 11353	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
31	17, 22, 30	umgrbi 29085	. . . . 5 ⊢ {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
33	10, 20, 26, 29, 29, 32, 32	s7cld 14900	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
34	33	mptru 1547	. 2 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
35		konigsberg.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
37	36	pweqi 4596	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
38	37	rabeqi 3434	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
39	38	wrdeqi 14560	. 2 ⊢ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
40	34, 35, 39	3eltr4i 2848	1 ⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Syntax hints:   = wceq 1540  ⊤wtru 1541   ∈ wcel 2109  {crab 3420  𝒫 cpw 4580  {cpr 4608  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   ≤ cle 11275  2c2 12300  3c3 12301  ℕ₀cn0 12506  ...cfz 13529  ♯chash 14353  Word cword 14536  ⟨“cs7 14870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-oadd 8489  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-dju 9920  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12507  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-hash 14354  df-word 14537  df-concat 14594  df-s1 14619  df-s2 14872  df-s3 14873  df-s4 14874  df-s5 14875  df-s6 14876  df-s7 14877

This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpr  30235  konigsbergumgr  30237