Theorem konigsbergiedgw 30879

Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedgw	⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12651	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 13785	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		1nn0 12649	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1le3 12584	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 3
6		elfz2nn0 13779	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
7	4, 1, 5, 6	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0...3)
8		0ne1 12441	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9	3, 7, 8	umgrbi 29709	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11		2nn0 12650	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		2re 12444	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		3re 12450	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
14		2lt3 12543	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
15	12, 13, 14	ltleii 11460	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
16		elfz2nn0 13779	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
17	11, 1, 15, 16	mpbir3an 1360	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (0...3)
18		0ne2 12579	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
19	3, 17, 18	umgrbi 29709	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
21		nn0fz0 13786	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
22	1, 21	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (0...3)
23		3ne0 12479	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
24	23	necomi 3013	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
25	3, 22, 24	umgrbi 29709	. . . . 5 ⊢ {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
27		1ne2 12580	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
28	7, 17, 27	umgrbi 29709	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
30	12, 14	ltneii 11450	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
31	17, 22, 30	umgrbi 29709	. . . . 5 ⊢ {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
33	10, 20, 26, 29, 29, 32, 32	s7cld 15055	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
34	33	mptru 1577	. 2 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
35		konigsberg.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
37	36	pweqi 4576	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
38	37	rabeqi 3429	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
39	38	wrdeqi 14709	. 2 ⊢ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
40	34, 35, 39	3eltr4i 2877	1 ⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  {crab 3416  𝒫 cpw 4560  {cpr 4590  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  0cc0 11227  1c1 11228   ≤ cle 11371  2c2 12424  3c3 12425  ℕ₀cn0 12633  ...cfz 13666  ♯chash 14501  Word cword 14685  ⟨“cs7 15025

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-oadd 8508  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-dju 10009  df-card 10047  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-hash 14502  df-word 14686  df-concat 14743  df-s1 14770  df-s2 15027  df-s3 15028  df-s4 15029  df-s5 15030  df-s6 15031  df-s7 15032

This theorem is used by:  konigsbergssiedgwpr  30880  konigsbergumgr  30882