Theorem konigsbergiedgw 30318

Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedgw	⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12455	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 13578	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		1nn0 12453	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1le3 12388	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 3
6		elfz2nn0 13572	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
7	4, 1, 5, 6	mpbir3an 1343	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0...3)
8		0ne1 12252	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9	3, 7, 8	umgrbi 29170	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11		2nn0 12454	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		2re 12255	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		3re 12261	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
14		2lt3 12348	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
15	12, 13, 14	ltleii 11269	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
16		elfz2nn0 13572	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
17	11, 1, 15, 16	mpbir3an 1343	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (0...3)
18		0ne2 12383	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
19	3, 17, 18	umgrbi 29170	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
21		nn0fz0 13579	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
22	1, 21	mpbi 230	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (0...3)
23		3ne0 12287	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
24	23	necomi 2987	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
25	3, 22, 24	umgrbi 29170	. . . . 5 ⊢ {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
27		1ne2 12384	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
28	7, 17, 27	umgrbi 29170	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
30	12, 14	ltneii 11259	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
31	17, 22, 30	umgrbi 29170	. . . . 5 ⊢ {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
33	10, 20, 26, 29, 29, 32, 32	s7cld 14838	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
34	33	mptru 1549	. 2 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
35		konigsberg.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
37	36	pweqi 4558	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
38	37	rabeqi 3403	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
39	38	wrdeqi 14499	. 2 ⊢ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
40	34, 35, 39	3eltr4i 2850	1 ⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Syntax hints:   = wceq 1542  ⊤wtru 1543   ∈ wcel 2114  {crab 3390  𝒫 cpw 4542  {cpr 4570  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  0cc0 11038  1c1 11039   ≤ cle 11180  2c2 12236  3c3 12237  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461  ♯chash 14292  Word cword 14475  ⟨“cs7 14808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-oadd 8409  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-hash 14293  df-word 14476  df-concat 14533  df-s1 14559  df-s2 14810  df-s3 14811  df-s4 14812  df-s5 14813  df-s6 14814  df-s7 14815

This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpr  30319  konigsbergumgr  30321