MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  konigsbergiedgw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem konigsbergiedgw 28037
Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
konigsberg.v 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸
Assertion
Ref Expression
konigsbergiedgw 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
Distinct variable group:   𝑥,𝑉
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgw
StepHypRef Expression
1 3nn0 11907 . . . . . . 7 3 ∈ ℕ0
2 0elfz 13003 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ (0...3)
4 1nn0 11905 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
5 1le3 11841 . . . . . . 7 1 ≤ 3
6 elfz2nn0 12997 . . . . . . 7 (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
74, 1, 5, 6mpbir3an 1338 . . . . . 6 1 ∈ (0...3)
8 0ne1 11700 . . . . . 6 0 ≠ 1
93, 7, 8umgrbi 26898 . . . . 5 {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
109a1i 11 . . . 4 (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11 2nn0 11906 . . . . . . 7 2 ∈ ℕ0
12 2re 11703 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ
13 3re 11709 . . . . . . . 8 3 ∈ ℝ
14 2lt3 11801 . . . . . . . 8 2 < 3
1512, 13, 14ltleii 10756 . . . . . . 7 2 ≤ 3
16 elfz2nn0 12997 . . . . . . 7 (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
1711, 1, 15, 16mpbir3an 1338 . . . . . 6 2 ∈ (0...3)
18 0ne2 11836 . . . . . 6 0 ≠ 2
193, 17, 18umgrbi 26898 . . . . 5 {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2019a1i 11 . . . 4 (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
21 nn0fz0 13004 . . . . . . 7 (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
221, 21mpbi 233 . . . . . 6 3 ∈ (0...3)
23 3ne0 11735 . . . . . . 7 3 ≠ 0
2423necomi 3044 . . . . . 6 0 ≠ 3
253, 22, 24umgrbi 26898 . . . . 5 {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2625a1i 11 . . . 4 (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
27 1ne2 11837 . . . . . 6 1 ≠ 2
287, 17, 27umgrbi 26898 . . . . 5 {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
2928a1i 11 . . . 4 (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3012, 14ltneii 10746 . . . . . 6 2 ≠ 3
3117, 22, 30umgrbi 26898 . . . . 5 {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
3231a1i 11 . . . 4 (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3310, 20, 26, 29, 29, 32, 32s7cld 14233 . . 3 (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
3433mptru 1545 . 2 ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
35 konigsberg.e . 2 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36 konigsberg.v . . . . 5 𝑉 = (0...3)
3736pweqi 4518 . . . 4 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
3837rabeqi 3432 . . 3 {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
3938wrdeqi 13884 . 2 Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
4034, 35, 393eltr4i 2906 1 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1538  wtru 1539  wcel 2112  {crab 3113  𝒫 cpw 4500  {cpr 4530  cop 4534   class class class wbr 5033  cfv 6328  (class class class)co 7139  0cc0 10530  1c1 10531  cle 10669  2c2 11684  3c3 11685  0cn0 11889  ...cfz 12889  chash 13690  Word cword 13861  ⟨“cs7 14203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-dju 9318  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-hash 13691  df-word 13862  df-concat 13918  df-s1 13945  df-s2 14205  df-s3 14206  df-s4 14207  df-s5 14208  df-s6 14209  df-s7 14210
This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpr  28038  konigsbergumgr  28040
  Copyright terms: Public domain W3C validator