Theorem konigsbergiedgw 30565

Description: The indexed edges of the Königsberg graph 𝐺 is a word over the pairs of vertices. (Contributed by AV, 28-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
konigsberg.v	⊢ 𝑉 = (0...3)
konigsberg.e	⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
konigsberg.g	⊢ 𝐺 = ⟨𝑉, 𝐸⟩

Assertion

Ref	Expression
konigsbergiedgw	⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Distinct variable group:   𝑥,𝑉

Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem konigsbergiedgw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3nn0 12521	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℕ0
2		0elfz 13651	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 → 0 ∈ (0...3))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ (0...3)
4		1nn0 12519	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
5		1le3 12454	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≤ 3
6		elfz2nn0 13645	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ (0...3) ↔ (1 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 3))
7	4, 1, 5, 6	mpbir3an 1358	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ (0...3)
8		0ne1 12311	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 1
9	3, 7, 8	umgrbi 29417	. . . . 5 ⊢ {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
10	9	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 1} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
11		2nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℕ0
12		2re 12314	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ
13		3re 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 3 ∈ ℝ
14		2lt3 12413	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < 3
15	12, 13, 14	ltleii 11332	. . . . . . 7 ⊢ 2 ≤ 3
16		elfz2nn0 13645	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ (0...3) ↔ (2 ∈ ℕ0 ∧ 3 ∈ ℕ0 ∧ 2 ≤ 3))
17	11, 1, 15, 16	mpbir3an 1358	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (0...3)
18		0ne2 12449	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 2
19	3, 17, 18	umgrbi 29417	. . . . 5 ⊢ {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
20	19	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
21		nn0fz0 13652	. . . . . . 7 ⊢ (3 ∈ ℕ0 ↔ 3 ∈ (0...3))
22	1, 21	mpbi 233	. . . . . 6 ⊢ 3 ∈ (0...3)
23		3ne0 12349	. . . . . . 7 ⊢ 3 ≠ 0
24	23	necomi 3010	. . . . . 6 ⊢ 0 ≠ 3
25	3, 22, 24	umgrbi 29417	. . . . 5 ⊢ {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
26	25	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {0, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
27		1ne2 12450	. . . . . 6 ⊢ 1 ≠ 2
28	7, 17, 27	umgrbi 29417	. . . . 5 ⊢ {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
29	28	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {1, 2} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
30	12, 14	ltneii 11322	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 3
31	17, 22, 30	umgrbi 29417	. . . . 5 ⊢ {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
32	31	a1i 11	. . . 4 ⊢ (⊤ → {2, 3} ∈ {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
33	10, 20, 26, 29, 29, 32, 32	s7cld 14912	. . 3 ⊢ (⊤ → ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2})
34	33	mptru 1575	. 2 ⊢ ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩ ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
35		konigsberg.e	. 2 ⊢ 𝐸 = ⟨“{0, 1} {0, 2} {0, 3} {1, 2} {1, 2} {2, 3} {2, 3}”⟩
36		konigsberg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (0...3)
37	36	pweqi 4577	. . . 4 ⊢ 𝒫 𝑉 = 𝒫 (0...3)
38	37	rabeqi 3427	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
39	38	wrdeqi 14573	. 2 ⊢ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2} = Word {𝑥 ∈ 𝒫 (0...3) ∣ (♯‘𝑥) = 2}
40	34, 35, 39	3eltr4i 2874	1 ⊢ 𝐸 ∈ Word {𝑥 ∈ 𝒫 𝑉 ∣ (♯‘𝑥) = 2}

Syntax hints:   = wceq 1568  ⊤wtru 1569   ∈ wcel 2141  {crab 3414  𝒫 cpw 4561  {cpr 4590  ⟨cop 4594   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099  1c1 11100   ≤ cle 11243  2c2 12294  3c3 12295  ℕ₀cn0 12503  ...cfz 13534  ♯chash 14365  Word cword 14549  ⟨“cs7 14882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-oadd 8456  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-dju 9886  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-concat 14607  df-s1 14633  df-s2 14884  df-s3 14885  df-s4 14886  df-s5 14887  df-s6 14888  df-s7 14889

This theorem is referenced by:  konigsbergssiedgwpr  30566  konigsbergumgr  30568