MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrnloop Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrnloop 28876
Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgrnloopv.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgrnloop (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑀   𝑥,𝑁
Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgrnloop
StepHypRef Expression
1 umgrnloopv.e . . . . 5 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2 eqid 2726 . . . . 5 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
31, 2umgredgprv 28875 . . . 4 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑥) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺))))
43imp 406 . . 3 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)))
51umgrnloopv 28874 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺)) → ((𝐸𝑥) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))
65ex 412 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → ((𝐸𝑥) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁)))
76com23 86 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐸𝑥) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑀𝑁)))
87adantr 480 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑥) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑀𝑁)))
98imp 406 . . . . 5 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → 𝑀𝑁))
109com12 32 . . . 4 (𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀𝑁))
1110adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ (Vtx‘𝐺) ∧ 𝑁 ∈ (Vtx‘𝐺)) → (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀𝑁))
124, 11mpcom 38 . 2 (((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐸) ∧ (𝐸𝑥) = {𝑀, 𝑁}) → 𝑀𝑁)
1312rexlimdva2 3151 1 (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸𝑥) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  wrex 3064  {cpr 4625  dom cdm 5669  cfv 6537  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  UMGraphcumgr 28849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-uhgr 28826  df-upgr 28850  df-umgr 28851
This theorem is referenced by:  umgrnloop0  28877  usgrnloop  28967
  Copyright terms: Public domain W3C validator