MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  umgrnloopv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem umgrnloopv 28874
Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
umgrnloopv.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
umgrnloopv ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))

Proof of Theorem umgrnloopv
StepHypRef Expression
1 prnzg 4777 . . . . . . . 8 (𝑀𝑊 → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
21adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
3 neeq1 2997 . . . . . . . 8 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
43adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
52, 4mpbird 257 . . . . . 6 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐸𝑋) ≠ ∅)
6 fvfundmfvn0 6928 . . . . . 6 ((𝐸𝑋) ≠ ∅ → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
75, 6syl 17 . . . . 5 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
8 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
9 umgrnloopv.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
108, 9umgredg2 28868 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (♯‘(𝐸𝑋)) = 2)
11 fveqeq2 6894 . . . . . . . . . . 11 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
12 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
1312hashprdifel 14363 . . . . . . . . . . . 12 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁))
1413simp3d 1141 . . . . . . . . . . 11 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → 𝑀𝑁)
1511, 14biimtrdi 252 . . . . . . . . . 10 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 → 𝑀𝑁))
1615adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 → 𝑀𝑁))
1710, 16syl5com 31 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → 𝑀𝑁))
1817expcom 413 . . . . . . 7 (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → 𝑀𝑁)))
1918com23 86 . . . . . 6 (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐺 ∈ UMGraph → 𝑀𝑁)))
2019adantr 480 . . . . 5 ((𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})) → (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐺 ∈ UMGraph → 𝑀𝑁)))
217, 20mpcom 38 . . . 4 (((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑊) → (𝐺 ∈ UMGraph → 𝑀𝑁))
2221ex 412 . . 3 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑊 → (𝐺 ∈ UMGraph → 𝑀𝑁)))
2322com13 88 . 2 (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑀𝑊 → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁)))
2423imp 406 1 ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀𝑊) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2934  c0 4317  {csn 4623  {cpr 4625  dom cdm 5669  cres 5671  Fun wfun 6531  cfv 6537  2c2 12271  chash 14295  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  UMGraphcumgr 28849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-oadd 8471  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-hash 14296  df-umgr 28851
This theorem is referenced by:  umgrnloop  28876  usgrnloopv  28965
  Copyright terms: Public domain W3C validator