Theorem umgrnloopv 29069

Description: In a multigraph, there is no loop, i.e. no edge connecting a vertex with itself. (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Jan-2018.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrnloopv	⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Proof of Theorem umgrnloopv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prnzg 4732	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑊 → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
2	1	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → {𝑀, 𝑁} ≠ ∅)
3		neeq1 2987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸‘𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
4	3	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) ≠ ∅ ↔ {𝑀, 𝑁} ≠ ∅))
5	2, 4	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝐸‘𝑋) ≠ ∅)
6		fvfundmfvn0 6867	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘𝑋) ≠ ∅ → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
7	5, 6	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})))
8		eqid 2729	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Vtx‘𝐺) = (Vtx‘𝐺)
9		umgrnloopv.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
10	8, 9	umgredg2 29063	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2)
11		fveqeq2 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
12		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
13	12	hashprdifel 14323	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
14	13	simp3d 1144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → 𝑀 ≠ 𝑁)
15	11, 14	biimtrdi 253	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2 → 𝑀 ≠ 𝑁))
16	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2 → 𝑀 ≠ 𝑁))
17	10, 16	syl5com 31	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → 𝑀 ≠ 𝑁))
18	17	expcom 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (𝐺 ∈ UMGraph → (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → 𝑀 ≠ 𝑁)))
19	18	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ dom 𝐸 → (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝐺 ∈ UMGraph → 𝑀 ≠ 𝑁)))
20	19	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ dom 𝐸 ∧ Fun (𝐸 ↾ {𝑋})) → (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝐺 ∈ UMGraph → 𝑀 ≠ 𝑁)))
21	7, 20	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → (𝐺 ∈ UMGraph → 𝑀 ≠ 𝑁))
22	21	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑊 → (𝐺 ∈ UMGraph → 𝑀 ≠ 𝑁)))
23	22	com13 88	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (𝑀 ∈ 𝑊 → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁)))
24	23	imp 406	1 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ 𝑀 ∈ 𝑊) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → 𝑀 ≠ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∅c0 4286  {csn 4579  {cpr 4581  dom cdm 5623   ↾ cres 5625  Fun wfun 6480  ‘cfv 6486  2c2 12201  ♯chash 14255  Vtxcvtx 28959  iEdgciedg 28960  UMGraphcumgr 29044

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-oadd 8399  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-fz 13429  df-hash 14256  df-umgr 29046

This theorem is referenced by:  umgrnloop  29071  usgrnloopv  29163