Theorem umgrnloop0 29054

Description: A multigraph has no loops. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrnloop0	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑈

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgrnloop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2940	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑈 ≠ 𝑈
2		umgrnloopv.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	2	umgrnloop 29053	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈} → 𝑈 ≠ 𝑈))
4	1, 3	mtoi 199	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈})
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}) → (𝐸‘𝑥) = {𝑈})
6		dfsn2 4619	. . . . . . 7 ⊢ {𝑈} = {𝑈, 𝑈}
7	5, 6	eqtrdi 2785	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}) → (𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈})
8	7	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐸‘𝑥) = {𝑈} → (𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈}))
9	8	reximdv 3157	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈} → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈}))
10	4, 9	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈})
11		ralnex 3061	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸‘𝑥) = {𝑈} ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈})
12	10, 11	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸‘𝑥) = {𝑈})
13		rabeq0 4368	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸‘𝑥) = {𝑈})
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  ∃wrex 3059  {crab 3419  ∅c0 4313  {csn 4606  {cpr 4608  dom cdm 5665  ‘cfv 6541  iEdgciedg 28942  UMGraphcumgr 29026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-oadd 8492  df-er 8727  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-dju 9923  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-hash 14352  df-uhgr 29003  df-upgr 29027  df-umgr 29028

This theorem is referenced by:  usgrnloop0  29149