Theorem umgrnloop0 29152

Description: A multigraph has no loops. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrnloop0	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑈

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgrnloop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2949	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑈 ≠ 𝑈
2		umgrnloopv.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	2	umgrnloop 29151	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈} → 𝑈 ≠ 𝑈))
4	1, 3	mtoi 199	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈})
5		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}) → (𝐸‘𝑥) = {𝑈})
6		dfsn2 4647	. . . . . . 7 ⊢ {𝑈} = {𝑈, 𝑈}
7	5, 6	eqtrdi 2793	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}) → (𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈})
8	7	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐸‘𝑥) = {𝑈} → (𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈}))
9	8	reximdv 3170	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈} → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈}))
10	4, 9	mtod 198	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈})
11		ralnex 3072	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸‘𝑥) = {𝑈} ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈})
12	10, 11	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸‘𝑥) = {𝑈})
13		rabeq0 4397	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸‘𝑥) = {𝑈})
14	12, 13	sylibr 234	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3436  ∅c0 4342  {csn 4634  {cpr 4636  dom cdm 5693  ‘cfv 6569  iEdgciedg 29040  UMGraphcumgr 29124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5305  ax-nul 5315  ax-pow 5374  ax-pr 5441  ax-un 7761  ax-cnex 11218  ax-resscn 11219  ax-1cn 11220  ax-icn 11221  ax-addcl 11222  ax-addrcl 11223  ax-mulcl 11224  ax-mulrcl 11225  ax-mulcom 11226  ax-addass 11227  ax-mulass 11228  ax-distr 11229  ax-i2m1 11230  ax-1ne0 11231  ax-1rid 11232  ax-rnegex 11233  ax-rrecex 11234  ax-cnre 11235  ax-pre-lttri 11236  ax-pre-lttrn 11237  ax-pre-ltadd 11238  ax-pre-mulgt0 11239

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3483  df-sbc 3795  df-csb 3912  df-dif 3969  df-un 3971  df-in 3973  df-ss 3983  df-pss 3986  df-nul 4343  df-if 4535  df-pw 4610  df-sn 4635  df-pr 4637  df-op 4641  df-uni 4916  df-int 4955  df-iun 5001  df-br 5152  df-opab 5214  df-mpt 5235  df-tr 5269  df-id 5587  df-eprel 5593  df-po 5601  df-so 5602  df-fr 5645  df-we 5647  df-xp 5699  df-rel 5700  df-cnv 5701  df-co 5702  df-dm 5703  df-rn 5704  df-res 5705  df-ima 5706  df-pred 6329  df-ord 6395  df-on 6396  df-lim 6397  df-suc 6398  df-iota 6522  df-fun 6571  df-fn 6572  df-f 6573  df-f1 6574  df-fo 6575  df-f1o 6576  df-fv 6577  df-riota 7395  df-ov 7441  df-oprab 7442  df-mpo 7443  df-om 7895  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8314  df-wrecs 8345  df-recs 8419  df-rdg 8458  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8753  df-en 8994  df-dom 8995  df-sdom 8996  df-fin 8997  df-dju 9948  df-card 9986  df-pnf 11304  df-mnf 11305  df-xr 11306  df-ltxr 11307  df-le 11308  df-sub 11501  df-neg 11502  df-nn 12274  df-2 12336  df-n0 12534  df-z 12621  df-uz 12886  df-fz 13554  df-hash 14376  df-uhgr 29101  df-upgr 29125  df-umgr 29126

This theorem is referenced by:  usgrnloop0  29247