Theorem umgrnloop0 28369

Description: A multigraph has no loops. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
umgrnloop0	⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝑈

Allowed substitution hint:   𝐸(𝑥)

Proof of Theorem umgrnloop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2950	. . . . 5 ⊢ ¬ 𝑈 ≠ 𝑈
2		umgrnloopv.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
3	2	umgrnloop 28368	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈} → 𝑈 ≠ 𝑈))
4	1, 3	mtoi 198	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈})
5		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}) → (𝐸‘𝑥) = {𝑈})
6		dfsn2 4642	. . . . . . 7 ⊢ {𝑈} = {𝑈, 𝑈}
7	5, 6	eqtrdi 2789	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ UMGraph ∧ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}) → (𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈})
8	7	ex 414	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ((𝐸‘𝑥) = {𝑈} → (𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈}))
9	8	reximdv 3171	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → (∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈} → ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈, 𝑈}))
10	4, 9	mtod 197	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈})
11		ralnex 3073	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸‘𝑥) = {𝑈} ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ dom 𝐸(𝐸‘𝑥) = {𝑈})
12	10, 11	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸‘𝑥) = {𝑈})
13		rabeq0 4385	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ dom 𝐸 ¬ (𝐸‘𝑥) = {𝑈})
14	12, 13	sylibr 233	1 ⊢ (𝐺 ∈ UMGraph → {𝑥 ∈ dom 𝐸 ∣ (𝐸‘𝑥) = {𝑈}} = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071  {crab 3433  ∅c0 4323  {csn 4629  {cpr 4631  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  iEdgciedg 28257  UMGraphcumgr 28341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-hash 14291  df-uhgr 28318  df-upgr 28342  df-umgr 28343

This theorem is referenced by:  usgrnloop0  28461