Theorem ovolctb2 25527

Description: The volume of a countable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolctb2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (vol*‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ovolctb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4178	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ ℕ)
2		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		nnssre 12270	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
4		unss 4190	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℕ ⊆ ℝ) ↔ (𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ)
5	2, 3, 4	sylanblc 589	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ)
6		nnenom 14021	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
7		domentr 9053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
8	6, 7	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ → 𝐴 ≼ ω)
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ≼ ω)
10		nnct 14022	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≼ ω
11		unctb 10244	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ℕ ≼ ω) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ω)
12	9, 10, 11	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ω)
13	6	ensymi 9044	. . . . 5 ⊢ ω ≈ ℕ
14		domentr 9053	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∪ ℕ) ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ℕ)
15	12, 13, 14	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ℕ)
16		reex 11246	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
17	16	ssex 5321	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ → (𝐴 ∪ ℕ) ∈ V)
18	5, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ∈ V)
19		ssun2 4179	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ (𝐴 ∪ ℕ)
20		ssdomg 9040	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∪ ℕ) ∈ V → (ℕ ⊆ (𝐴 ∪ ℕ) → ℕ ≼ (𝐴 ∪ ℕ)))
21	18, 19, 20	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ℕ ≼ (𝐴 ∪ ℕ))
22		sbth 9133	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∪ ℕ) ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ (𝐴 ∪ ℕ)) → (𝐴 ∪ ℕ) ≈ ℕ)
23	15, 21, 22	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≈ ℕ)
24		ovolctb 25525	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ ∧ (𝐴 ∪ ℕ) ≈ ℕ) → (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0)
25	5, 23, 24	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0)
26		ovolssnul 25522	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ ℕ) ∧ (𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
27	1, 5, 25, 26	mp3an2i 1468	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (vol*‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  Vcvv 3480   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  ωcom 7887   ≈ cen 8982   ≼ cdom 8983  ℝcr 11154  0cc0 11155  ℕcn 12266  vol*covol 25497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xadd 13155  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-xmet 21357  df-met 21358  df-ovol 25499

This theorem is referenced by:  ovol0  25528  ovolfi  25529  uniiccdif  25613  voliunnfl  37671  volsupnfl  37672