Theorem ovolctb2 24096

Description: The volume of a countable set is 0. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
ovolctb2	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (vol*‘𝐴) = 0)

Proof of Theorem ovolctb2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun1 4099	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ ℕ)
2		simpl 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3		nnssre 11629	. . 3 ⊢ ℕ ⊆ ℝ
4		unss 4111	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ ℕ ⊆ ℝ) ↔ (𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ)
5	2, 3, 4	sylanblc 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ)
6		nnenom 13343	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ≈ ω
7		domentr 8551	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ≼ ℕ ∧ ℕ ≈ ω) → 𝐴 ≼ ω)
8	6, 7	mpan2 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ ℕ → 𝐴 ≼ ω)
9	8	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → 𝐴 ≼ ω)
10		nnct 13344	. . . . . 6 ⊢ ℕ ≼ ω
11		unctb 9616	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ℕ ≼ ω) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ω)
12	9, 10, 11	sylancl 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ω)
13	6	ensymi 8542	. . . . 5 ⊢ ω ≈ ℕ
14		domentr 8551	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∪ ℕ) ≼ ω ∧ ω ≈ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ℕ)
15	12, 13, 14	sylancl 589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≼ ℕ)
16		reex 10617	. . . . . . 7 ⊢ ℝ ∈ V
17	16	ssex 5189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ → (𝐴 ∪ ℕ) ∈ V)
18	5, 17	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ∈ V)
19		ssun2 4100	. . . . 5 ⊢ ℕ ⊆ (𝐴 ∪ ℕ)
20		ssdomg 8538	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∪ ℕ) ∈ V → (ℕ ⊆ (𝐴 ∪ ℕ) → ℕ ≼ (𝐴 ∪ ℕ)))
21	18, 19, 20	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → ℕ ≼ (𝐴 ∪ ℕ))
22		sbth 8621	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∪ ℕ) ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ (𝐴 ∪ ℕ)) → (𝐴 ∪ ℕ) ≈ ℕ)
23	15, 21, 22	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (𝐴 ∪ ℕ) ≈ ℕ)
24		ovolctb 24094	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ ∧ (𝐴 ∪ ℕ) ≈ ℕ) → (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0)
25	5, 23, 24	syl2anc 587	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0)
26		ovolssnul 24091	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ (𝐴 ∪ ℕ) ∧ (𝐴 ∪ ℕ) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(𝐴 ∪ ℕ)) = 0) → (vol*‘𝐴) = 0)
27	1, 5, 25, 26	mp3an2i 1463	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≼ ℕ) → (vol*‘𝐴) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   ∪ cun 3879   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  ωcom 7560   ≈ cen 8489   ≼ cdom 8490  ℝcr 10525  0cc0 10526  ℕcn 11625  vol*covol 24066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-dju 9314  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xadd 12496  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-clim 14837  df-sum 15035  df-xmet 20084  df-met 20085  df-ovol 24068

This theorem is referenced by:  ovol0  24097  ovolfi  24098  uniiccdif  24182  voliunnfl  35101  volsupnfl  35102