MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  usgredgprvALT Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem usgredgprvALT 26558
Description: Alternate proof of usgredgprv 26557, using usgredg2 26555 instead of umgredgprv 26472. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
usgredg2.e 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
usgredgprv.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
usgredgprvALT ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))

Proof of Theorem usgredgprvALT
StepHypRef Expression
1 usgredg2.e . . 3 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2 usgredgprv.v . . 3 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
31, 2usgrss 26540 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸𝑋) ⊆ 𝑉)
41usgredg2 26555 . 2 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (♯‘(𝐸𝑋)) = 2)
5 sseq1 3845 . . . . 5 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
6 fveq2 6448 . . . . . 6 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (♯‘(𝐸𝑋)) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
76eqeq1d 2780 . . . . 5 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸𝑋)) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
85, 7anbi12d 624 . . . 4 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑋)) = 2) ↔ ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)))
9 eqid 2778 . . . . . . 7 {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
109hashprdifel 13506 . . . . . 6 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁))
11 prssg 4583 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
12113adant3 1123 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁) → ((𝑀𝑉𝑁𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
1312biimprd 240 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀𝑁) → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1410, 13syl 17 . . . . 5 ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1514impcom 398 . . . 4 (({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉))
168, 15syl6bi 245 . . 3 ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑋)) = 2) → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
1716com12 32 . 2 (((𝐸𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸𝑋)) = 2) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
183, 4, 17syl2anc 579 1 ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀𝑉𝑁𝑉)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  wss 3792  {cpr 4400  dom cdm 5357  cfv 6137  2c2 11435  chash 13441  Vtxcvtx 26361  iEdgciedg 26362  USGraphcusgr 26515
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-int 4713  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-1o 7845  df-oadd 7849  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-fin 8247  df-card 9100  df-cda 9327  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-n0 11648  df-z 11734  df-uz 11998  df-fz 12649  df-hash 13442  df-umgr 26448  df-usgr 26517
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator