Theorem usgredgprvALT 29833

Description: Alternate proof of usgredgprv 29832, using usgredg2 29830 instead of umgredgprv 29742. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Aug-2017.) (Revised by AV, 16-Oct-2020.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
usgredg2.e	⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
usgredgprv.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
usgredgprvALT	⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

Proof of Theorem usgredgprvALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredg2.e	. . 3 ⊢ 𝐸 = (iEdg‘𝐺)
2		usgredgprv.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	1, 2	usgrss 29812	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉)
4	1	usgredg2 29830	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → (♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2)
5		sseq1 3938	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉 ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
6		fveq2 6916	. . . . . 6 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (♯‘(𝐸‘𝑋)) = (♯‘{𝑀, 𝑁}))
7	6	eqeq1d 2765	. . . . 5 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → ((♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2 ↔ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2))
8	5, 7	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2) ↔ ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2)))
9		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ {𝑀, 𝑁} = {𝑀, 𝑁}
10	9	hashprdifel 14583	. . . . . 6 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → (𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁))
11		prssg 4780	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁}) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
12	11	3adant3 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → ((𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉) ↔ {𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉))
13	12	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑁 ∈ {𝑀, 𝑁} ∧ 𝑀 ≠ 𝑁) → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
14	10, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2 → ({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
15	14	impcom 413	. . . 4 ⊢ (({𝑀, 𝑁} ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘{𝑀, 𝑁}) = 2) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉))
16	8, 15	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (((𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2) → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
17	16	com12 33	. 2 ⊢ (((𝐸‘𝑋) ⊆ 𝑉 ∧ (♯‘(𝐸‘𝑋)) = 2) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))
18	3, 4, 17	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐺 ∈ USGraph ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐸) → ((𝐸‘𝑋) = {𝑀, 𝑁} → (𝑀 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ 𝑉)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  {cpr 4590  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  2c2 12437  ♯chash 14515  Vtxcvtx 29631  iEdgciedg 29632  USGraphcusgr 29787

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-hash 14516  df-umgr 29718  df-usgr 29789

This theorem is used by: (None)