Theorem seq1 13967

Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seq1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Proof of Theorem seq1

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqeq1 13957	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → seq𝑀( + , 𝐹) = seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
3	1, 2	fveq12d 6841	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4		fveq2 6834	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝐹‘𝑀) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
5	3, 4	eqeq12d 2753	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀) ↔ (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
6		0z 12526	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	6	elimel 4537	. . 3 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
9		fvex 6847	. . 3 ⊢ (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
10		eqid 2737	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
11	10	seqval 13965	. . 3 ⊢ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
12	7, 8, 9, 10, 11	uzrdg0i 13912	. 2 ⊢ (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
13	5, 12	dedth 4526	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ifcif 4467  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167   ↾ cres 5626  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362  ωcom 7810  reccrdg 8341  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ℤcz 12515  seqcseq 13954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955

This theorem is referenced by:  seq1i  13968  seqexw  13970  seqcl2  13973  seqfveq2  13977  seqfveq  13979  seqshft2  13981  seqsplit  13988  seq1p  13989  seqcaopr3  13990  seqf1olem2a  13993  seqf1olem2  13995  seqf1o  13996  seqid  14000  seqhomo  14002  seqz  14003  exp1  14020  fac1  14230  bcn2  14272  seqcoll  14417  isumrpcl  15799  clim2prod  15844  prodfn0  15850  prodfrec  15851  ruclem6  16193  sadc0  16414  smup0  16439  seq1st  16531  algr0  16532  eulerthlem2  16743  pcmpt  16854  gsumsplit1r  18646  gsumprval  18647  mulgfval  19036  voliunlem1  25527  volsup  25533  abelthlem6  26414  abelthlem9  26418  leibpi  26919  bposlem5  27265  opsqrlem2  32227  esumfzf  34229  sseqp1  34555  rrvsum  34614  cvmliftlem4  35486  iprodefisumlem  35938  faclimlem1  35941  heiborlem4  38149  fmul01  46028  fmuldfeq  46031  fmul01lt1lem1  46032  stoweidlem3  46449  wallispilem4  46514  wallispi2lem1  46517  wallispi2lem2  46518  stirlinglem7  46526  stirlinglem11  46530  sge0isum  46873  ackval0  49168