Theorem seq1 14019

Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seq1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Proof of Theorem seq1

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqeq1 14009	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → seq𝑀( + , 𝐹) = seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹))
2		id 22	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
3	1, 2	fveq12d 6909	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4		fveq2 6902	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝐹‘𝑀) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
5	3, 4	eqeq12d 2744	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀) ↔ (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
6		0z 12607	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	6	elimel 4601	. . 3 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
8		eqid 2728	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
9		fvex 6915	. . 3 ⊢ (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
10		eqid 2728	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
11	10	seqval 14017	. . 3 ⊢ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
12	7, 8, 9, 10, 11	uzrdg0i 13964	. 2 ⊢ (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
13	5, 12	dedth 4590	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3473  ifcif 4532  ⟨cop 4638   ↦ cmpt 5235   ↾ cres 5684  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426   ∈ cmpo 7428  ωcom 7876  reccrdg 8436  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149  ℤcz 12596  seqcseq 14006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14007

This theorem is referenced by:  seq1i  14020  seqexw  14022  seqcl2  14025  seqfveq2  14029  seqfveq  14031  seqshft2  14033  seqsplit  14040  seq1p  14041  seqcaopr3  14042  seqf1olem2a  14045  seqf1olem2  14047  seqf1o  14048  seqid  14052  seqhomo  14054  seqz  14055  exp1  14072  fac1  14276  bcn2  14318  seqcoll  14465  isumrpcl  15829  clim2prod  15874  prodfn0  15880  prodfrec  15881  ruclem6  16219  sadc0  16436  smup0  16461  seq1st  16549  algr0  16550  eulerthlem2  16758  pcmpt  16868  gsumsplit1r  18654  gsumprval  18655  mulgfval  19032  voliunlem1  25499  volsup  25505  abelthlem6  26393  abelthlem9  26397  leibpi  26894  bposlem5  27241  opsqrlem2  31971  esumfzf  33721  sseqp1  34048  rrvsum  34107  cvmliftlem4  34931  iprodefisumlem  35367  faclimlem1  35370  heiborlem4  37320  fmul01  44997  fmuldfeq  45000  fmul01lt1lem1  45001  stoweidlem3  45420  wallispilem4  45485  wallispi2lem1  45488  wallispi2lem2  45489  stirlinglem7  45497  stirlinglem11  45501  sge0isum  45844  ackval0  47831