Theorem seq1 14068

Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seq1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Proof of Theorem seq1

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqeq1 14058	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → seq𝑀( + , 𝐹) = seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹))
2		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
3	1, 2	fveq12d 6892	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4		fveq2 6885	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝐹‘𝑀) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
5	3, 4	eqeq12d 2781	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀) ↔ (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
6		0z 12617	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	6	elimel 4559	. . 3 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
8		eqid 2765	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
9		fvex 6898	. . 3 ⊢ (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
10		eqid 2765	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
11	10	seqval 14066	. . 3 ⊢ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
12	7, 8, 9, 10, 11	uzrdg0i 14013	. 2 ⊢ (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
13	5, 12	dedth 4548	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ifcif 4489  ⟨cop 4597   ↦ cmpt 5194   ↾ cres 5665  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ∈ cmpo 7421  ωcom 7868  reccrdg 8402  0cc0 11115  1c1 11116   + caddc 11118  ℤcz 12606  seqcseq 14055

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-n0 12520  df-z 12607  df-uz 12879  df-seq 14056

This theorem is used by:  seq1i  14069  seqexw  14071  seqcl2  14074  seqfveq2  14078  seqfveq  14080  seqshft2  14082  seqsplit  14089  seq1p  14090  seqcaopr3  14091  seqf1olem2a  14094  seqf1olem2  14096  seqf1o  14097  seqid  14101  seqhomo  14103  seqz  14104  exp1  14121  fac1  14331  bcn2  14373  seqcoll  14519  isumrpcl  15920  clim2prod  15965  prodfn0  15971  prodfrec  15972  ruclem6  16313  sadc0  16534  smup0  16559  seq1st  16651  algr0  16652  eulerthlem2  16863  pcmpt  16974  gsumsplit1r  18777  gsumprval  18778  mulgfval  19179  voliunlem1  25760  volsup  25766  abelthlem6  26650  abelthlem9  26654  leibpi  27158  bposlem5  27503  opsqrlem2  32564  esumfzf  34523  sseqp1  34850  rrvsum  34909  cvmliftlem4  35817  iprodefisumlem  36269  faclimlem1  36272  heiborlem4  38523  fmul01  46354  fmuldfeq  46357  fmul01lt1lem1  46358  stoweidlem3  46775  wallispilem4  46840  wallispi2lem1  46843  wallispi2lem2  46844  stirlinglem7  46852  stirlinglem11  46856  sge0isum  47199  ackval0  49517