Theorem seq1 14078

Description: Value of the sequence builder function at its initial value. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Sep-2013.)

Assertion

Ref	Expression
seq1	⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

Proof of Theorem seq1

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		seqeq1 14068	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → seq𝑀( + , 𝐹) = seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹))
2		id 23	. . . 4 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → 𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
3	1, 2	fveq12d 6885	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
4		fveq2 6878	. . 3 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → (𝐹‘𝑀) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)))
5	3, 4	eqeq12d 2776	. 2 ⊢ (𝑀 = if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) → ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀) ↔ (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))))
6		0z 12626	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℤ
7	6	elimel 4552	. . 3 ⊢ if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0) ∈ ℤ
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V ↦ (𝑥 + 1)), if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ↾ ω)
9		fvex 6891	. . 3 ⊢ (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) ∈ V
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω) = (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
11	10	seqval 14076	. . 3 ⊢ seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹) = ran (rec((𝑥 ∈ V, 𝑦 ∈ V ↦ ⟨(𝑥 + 1), (𝑥(𝑧 ∈ V, 𝑤 ∈ V ↦ (𝑤 + (𝐹‘(𝑧 + 1))))𝑦)⟩), ⟨if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0), (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))⟩) ↾ ω)
12	7, 8, 9, 10, 11	uzrdg0i 14023	. 2 ⊢ (seqif(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)( + , 𝐹)‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0)) = (𝐹‘if(𝑀 ∈ ℤ, 𝑀, 0))
13	5, 12	dedth 4541	1 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450  ifcif 4482  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186   ↾ cres 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  ωcom 7862  reccrdg 8398  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127  ℤcz 12615  seqcseq 14065

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066

This theorem is used by:  seq1i  14079  seqexw  14081  seqcl2  14084  seqfveq2  14088  seqfveq  14090  seqshft2  14092  seqsplit  14099  seq1p  14100  seqcaopr3  14101  seqf1olem2a  14104  seqf1olem2  14106  seqf1o  14107  seqid  14111  seqhomo  14113  seqz  14114  exp1  14131  fac1  14341  bcn2  14383  seqcoll  14529  isumrpcl  15932  clim2prod  15977  prodfn0  15983  prodfrec  15984  ruclem6  16323  sadc0  16544  smup0  16569  seq1st  16661  algr0  16662  eulerthlem2  16873  pcmpt  16984  gsumsplit1r  18789  gsumprval  18790  mulgfval  19192  voliunlem1  25778  volsup  25784  abelthlem6  26672  abelthlem9  26676  leibpi  27179  bposlem5  27524  opsqrlem2  32622  esumfzf  34579  sseqp1  34906  rrvsum  34965  cvmliftlem4  35867  iprodefisumlem  36319  faclimlem1  36322  heiborlem4  38564  fmul01  46410  fmuldfeq  46413  fmul01lt1lem1  46414  stoweidlem3  46831  wallispilem4  46896  wallispi2lem1  46899  wallispi2lem2  46900  stirlinglem7  46908  stirlinglem11  46912  sge0isum  47255  ackval0  49610