MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkreslem 29527
Description: Lemma for wlkres 29528. (Contributed by AV, 5-Mar-2021.) (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkres.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wlkres.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
wlkres.d (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
wlkres.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
wlkres.s (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkreslem (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wlkreslem
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . 2 (𝑆 ∈ V β†’ (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V))
2 df-nel 3037 . . 3 (𝑆 βˆ‰ V ↔ Β¬ 𝑆 ∈ V)
3 wlkres.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
4 df-br 5144 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (Walksβ€˜πΊ))
5 ne0i 4330 . . . . . . 7 (⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (Walksβ€˜πΊ) β†’ (Walksβ€˜πΊ) β‰  βˆ…)
6 wlkres.s . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
7 wlkres.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
86, 7eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = (Vtxβ€˜πΊ))
98anim1ci 614 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑆 βˆ‰ V) β†’ (𝑆 βˆ‰ V ∧ (Vtxβ€˜π‘†) = (Vtxβ€˜πΊ)))
10 wlk0prc 29512 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 βˆ‰ V ∧ (Vtxβ€˜π‘†) = (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (Walksβ€˜πΊ) = βˆ…)
11 eqneqall 2941 . . . . . . . . . 10 ((Walksβ€˜πΊ) = βˆ… β†’ ((Walksβ€˜πΊ) β‰  βˆ… β†’ 𝑆 ∈ V))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑆 βˆ‰ V) β†’ ((Walksβ€˜πΊ) β‰  βˆ… β†’ 𝑆 ∈ V))
1312expcom 412 . . . . . . . 8 (𝑆 βˆ‰ V β†’ (πœ‘ β†’ ((Walksβ€˜πΊ) β‰  βˆ… β†’ 𝑆 ∈ V)))
1413com13 88 . . . . . . 7 ((Walksβ€˜πΊ) β‰  βˆ… β†’ (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ‰ V β†’ 𝑆 ∈ V)))
155, 14syl 17 . . . . . 6 (⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (Walksβ€˜πΊ) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ‰ V β†’ 𝑆 ∈ V)))
164, 15sylbi 216 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ‰ V β†’ 𝑆 ∈ V)))
173, 16mpcom 38 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ‰ V β†’ 𝑆 ∈ V))
1817com12 32 . . 3 (𝑆 βˆ‰ V β†’ (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V))
192, 18sylbir 234 . 2 (Β¬ 𝑆 ∈ V β†’ (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V))
201, 19pm2.61i 182 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   βˆ‰ wnel 3036  Vcvv 3463  βˆ…c0 4318  βŸ¨cop 4630   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  0cc0 11138  ..^cfzo 13659  β™―chash 14321  Vtxcvtx 28853  iEdgciedg 28854  Walkscwlks 29454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-ifp 1061  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-hash 14322  df-word 14497  df-wlks 29457
This theorem is referenced by:  wlkres  29528
  Copyright terms: Public domain W3C validator