MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkreslem 29435
Description: Lemma for wlkres 29436. (Contributed by AV, 5-Mar-2021.) (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkres.v 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
wlkres.i 𝐼 = (iEdgβ€˜πΊ)
wlkres.d (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
wlkres.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (0..^(β™―β€˜πΉ)))
wlkres.s (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkreslem (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wlkreslem
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . 2 (𝑆 ∈ V β†’ (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V))
2 df-nel 3041 . . 3 (𝑆 βˆ‰ V ↔ Β¬ 𝑆 ∈ V)
3 wlkres.d . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃)
4 df-br 5142 . . . . . 6 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 ↔ ⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (Walksβ€˜πΊ))
5 ne0i 4329 . . . . . . 7 (⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (Walksβ€˜πΊ) β†’ (Walksβ€˜πΊ) β‰  βˆ…)
6 wlkres.s . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = 𝑉)
7 wlkres.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtxβ€˜πΊ)
86, 7eqtrdi 2782 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (Vtxβ€˜π‘†) = (Vtxβ€˜πΊ))
98anim1ci 615 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑆 βˆ‰ V) β†’ (𝑆 βˆ‰ V ∧ (Vtxβ€˜π‘†) = (Vtxβ€˜πΊ)))
10 wlk0prc 29420 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 βˆ‰ V ∧ (Vtxβ€˜π‘†) = (Vtxβ€˜πΊ)) β†’ (Walksβ€˜πΊ) = βˆ…)
11 eqneqall 2945 . . . . . . . . . 10 ((Walksβ€˜πΊ) = βˆ… β†’ ((Walksβ€˜πΊ) β‰  βˆ… β†’ 𝑆 ∈ V))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑆 βˆ‰ V) β†’ ((Walksβ€˜πΊ) β‰  βˆ… β†’ 𝑆 ∈ V))
1312expcom 413 . . . . . . . 8 (𝑆 βˆ‰ V β†’ (πœ‘ β†’ ((Walksβ€˜πΊ) β‰  βˆ… β†’ 𝑆 ∈ V)))
1413com13 88 . . . . . . 7 ((Walksβ€˜πΊ) β‰  βˆ… β†’ (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ‰ V β†’ 𝑆 ∈ V)))
155, 14syl 17 . . . . . 6 (⟨𝐹, π‘ƒβŸ© ∈ (Walksβ€˜πΊ) β†’ (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ‰ V β†’ 𝑆 ∈ V)))
164, 15sylbi 216 . . . . 5 (𝐹(Walksβ€˜πΊ)𝑃 β†’ (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ‰ V β†’ 𝑆 ∈ V)))
173, 16mpcom 38 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑆 βˆ‰ V β†’ 𝑆 ∈ V))
1817com12 32 . . 3 (𝑆 βˆ‰ V β†’ (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V))
192, 18sylbir 234 . 2 (Β¬ 𝑆 ∈ V β†’ (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V))
201, 19pm2.61i 182 1 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ‰ wnel 3040  Vcvv 3468  βˆ…c0 4317  βŸ¨cop 4629   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  0cc0 11112  ..^cfzo 13633  β™―chash 14295  Vtxcvtx 28764  iEdgciedg 28765  Walkscwlks 29362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-ifp 1060  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-hash 14296  df-word 14471  df-wlks 29365
This theorem is referenced by:  wlkres  29436
  Copyright terms: Public domain W3C validator