Theorem wlkreslem 29649

Description: Lemma for wlkres 29650. (Contributed by AV, 5-Mar-2021.) (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
wlkres.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkreslem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wlkreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
2		df-nel 3037	. . 3 ⊢ (𝑆 ∉ V ↔ ¬ 𝑆 ∈ V)
3		wlkres.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		df-br 5120	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
5		ne0i 4316	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (Walks‘𝐺) ≠ ∅)
6		wlkres.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
7		wlkres.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	6, 7	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺))
9	8	anim1ci 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∉ V) → (𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)))
10		wlk0prc 29634	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
11		eqneqall 2943	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∉ V) → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
13	12	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∉ V → (𝜑 → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V)))
14	13	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
15	5, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
16	4, 15	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
17	3, 16	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V))
18	17	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑆 ∉ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
19	2, 18	sylbir 235	. 2 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
20	1, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   ∉ wnel 3036  Vcvv 3459  ∅c0 4308  ⟨cop 4607   class class class wbr 5119  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Vtxcvtx 28975  iEdgciedg 28976  Walkscwlks 29576

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532  df-wlks 29579

This theorem is referenced by:  wlkres  29650