Theorem wlkreslem 29604

Description: Lemma for wlkres 29605. (Contributed by AV, 5-Mar-2021.) (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
wlkres.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkreslem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wlkreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
2		df-nel 3031	. . 3 ⊢ (𝑆 ∉ V ↔ ¬ 𝑆 ∈ V)
3		wlkres.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		df-br 5111	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
5		ne0i 4307	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (Walks‘𝐺) ≠ ∅)
6		wlkres.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
7		wlkres.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	6, 7	eqtrdi 2781	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺))
9	8	anim1ci 616	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∉ V) → (𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)))
10		wlk0prc 29589	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
11		eqneqall 2937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∉ V) → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
13	12	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∉ V → (𝜑 → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V)))
14	13	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
15	5, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
16	4, 15	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
17	3, 16	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V))
18	17	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑆 ∉ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
19	2, 18	sylbir 235	. 2 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
20	1, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ∉ wnel 3030  Vcvv 3450  ∅c0 4299  ⟨cop 4598   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Vtxcvtx 28930  iEdgciedg 28931  Walkscwlks 29531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-ifp 1063  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-wlks 29534

This theorem is referenced by:  wlkres  29605