MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wlkreslem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wlkreslem 29687
Description: Lemma for wlkres 29688. (Contributed by AV, 5-Mar-2021.) (Revised by AV, 30-Nov-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
wlkres.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkres.i 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkres.d (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkres.n (𝜑𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
wlkres.s (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
Assertion
Ref Expression
wlkreslem (𝜑𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wlkreslem
StepHypRef Expression
1 ax-1 6 . 2 (𝑆 ∈ V → (𝜑𝑆 ∈ V))
2 df-nel 3047 . . 3 (𝑆 ∉ V ↔ ¬ 𝑆 ∈ V)
3 wlkres.d . . . . 5 (𝜑𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4 df-br 5144 . . . . . 6 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
5 ne0i 4341 . . . . . . 7 (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (Walks‘𝐺) ≠ ∅)
6 wlkres.s . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
7 wlkres.v . . . . . . . . . . . 12 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
86, 7eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺))
98anim1ci 616 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑆 ∉ V) → (𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)))
10 wlk0prc 29672 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
11 eqneqall 2951 . . . . . . . . . 10 ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
129, 10, 113syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑆 ∉ V) → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
1312expcom 413 . . . . . . . 8 (𝑆 ∉ V → (𝜑 → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V)))
1413com13 88 . . . . . . 7 ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
155, 14syl 17 . . . . . 6 (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
164, 15sylbi 217 . . . . 5 (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
173, 16mpcom 38 . . . 4 (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V))
1817com12 32 . . 3 (𝑆 ∉ V → (𝜑𝑆 ∈ V))
192, 18sylbir 235 . 2 𝑆 ∈ V → (𝜑𝑆 ∈ V))
201, 19pm2.61i 182 1 (𝜑𝑆 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wnel 3046  Vcvv 3480  c0 4333  cop 4632   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  ..^cfzo 13694  chash 14369  Vtxcvtx 29013  iEdgciedg 29014  Walkscwlks 29614
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-hash 14370  df-word 14553  df-wlks 29617
This theorem is referenced by:  wlkres  29688
  Copyright terms: Public domain W3C validator