Theorem wlkreslem 29751

Description: Lemma for wlkres 29752. (Contributed by AV, 5-Mar-2021.) (Revised by AV, 30-Nov-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
wlkres.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
wlkres.i	⊢ 𝐼 = (iEdg‘𝐺)
wlkres.d	⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
wlkres.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (0..^(♯‘𝐹)))
wlkres.s	⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
wlkreslem	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)

Proof of Theorem wlkreslem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1 6	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
2		df-nel 3038	. . 3 ⊢ (𝑆 ∉ V ↔ ¬ 𝑆 ∈ V)
3		wlkres.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹(Walks‘𝐺)𝑃)
4		df-br 5087	. . . . . 6 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 ↔ ⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺))
5		ne0i 4282	. . . . . . 7 ⊢ (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (Walks‘𝐺) ≠ ∅)
6		wlkres.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = 𝑉)
7		wlkres.v	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
8	6, 7	eqtrdi 2788	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺))
9	8	anim1ci 617	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∉ V) → (𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)))
10		wlk0prc 29736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∉ V ∧ (Vtx‘𝑆) = (Vtx‘𝐺)) → (Walks‘𝐺) = ∅)
11		eqneqall 2944	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Walks‘𝐺) = ∅ → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑆 ∉ V) → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V))
13	12	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∉ V → (𝜑 → ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → 𝑆 ∈ V)))
14	13	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ ((Walks‘𝐺) ≠ ∅ → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
15	5, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝐹, 𝑃⟩ ∈ (Walks‘𝐺) → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
16	4, 15	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝐹(Walks‘𝐺)𝑃 → (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V)))
17	3, 16	mpcom 38	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∉ V → 𝑆 ∈ V))
18	17	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑆 ∉ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
19	2, 18	sylbir 235	. 2 ⊢ (¬ 𝑆 ∈ V → (𝜑 → 𝑆 ∈ V))
20	1, 19	pm2.61i 182	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∉ wnel 3037  Vcvv 3430  ∅c0 4274  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  0cc0 11029  ..^cfzo 13599  ♯chash 14283  Vtxcvtx 29079  iEdgciedg 29080  Walkscwlks 29680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-ifp 1064  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-hash 14284  df-word 14467  df-wlks 29683

This theorem is referenced by:  wlkres  29752