Theorem fzo0to2pr 12760

Description: A half-open integer range from 0 to 2 is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to2pr	⊢ (0..^2) = {0, 1}

Proof of Theorem fzo0to2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 11655	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		fzoval 12678	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^2) = (0...(2 − 1))
4		2m1e1 11404	. . . 4 ⊢ (2 − 1) = 1
5		0p1e1 11400	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
6	4, 5	eqtr4i 2789	. . 3 ⊢ (2 − 1) = (0 + 1)
7	6	oveq2i 6852	. 2 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...(0 + 1))
8		0z 11634	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		fzpr 12602	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
10	5	preq2i 4426	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
11	9, 10	syl6eq 2814	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, 1})
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, 1}
13	3, 7, 12	3eqtri 2790	1 ⊢ (0..^2) = {0, 1}

Syntax hints:   = wceq 1652   ∈ wcel 2155  {cpr 4335  (class class class)co 6841  0cc0 10188  1c1 10189   + caddc 10191   − cmin 10519  2c2 11326  ℤcz 11623  ...cfz 12532  ..^cfzo 12672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2349  ax-ext 2742  ax-sep 4940  ax-nul 4948  ax-pow 5000  ax-pr 5061  ax-un 7146  ax-cnex 10244  ax-resscn 10245  ax-1cn 10246  ax-icn 10247  ax-addcl 10248  ax-addrcl 10249  ax-mulcl 10250  ax-mulrcl 10251  ax-mulcom 10252  ax-addass 10253  ax-mulass 10254  ax-distr 10255  ax-i2m1 10256  ax-1ne0 10257  ax-1rid 10258  ax-rnegex 10259  ax-rrecex 10260  ax-cnre 10261  ax-pre-lttri 10262  ax-pre-lttrn 10263  ax-pre-ltadd 10264  ax-pre-mulgt0 10265

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2564  df-eu 2581  df-clab 2751  df-cleq 2757  df-clel 2760  df-nfc 2895  df-ne 2937  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3351  df-sbc 3596  df-csb 3691  df-dif 3734  df-un 3736  df-in 3738  df-ss 3745  df-pss 3747  df-nul 4079  df-if 4243  df-pw 4316  df-sn 4334  df-pr 4336  df-tp 4338  df-op 4340  df-uni 4594  df-iun 4677  df-br 4809  df-opab 4871  df-mpt 4888  df-tr 4911  df-id 5184  df-eprel 5189  df-po 5197  df-so 5198  df-fr 5235  df-we 5237  df-xp 5282  df-rel 5283  df-cnv 5284  df-co 5285  df-dm 5286  df-rn 5287  df-res 5288  df-ima 5289  df-pred 5864  df-ord 5910  df-on 5911  df-lim 5912  df-suc 5913  df-iota 6030  df-fun 6069  df-fn 6070  df-f 6071  df-f1 6072  df-fo 6073  df-f1o 6074  df-fv 6075  df-riota 6802  df-ov 6844  df-oprab 6845  df-mpt2 6846  df-om 7263  df-1st 7365  df-2nd 7366  df-wrecs 7609  df-recs 7671  df-rdg 7709  df-er 7946  df-en 8160  df-dom 8161  df-sdom 8162  df-pnf 10329  df-mnf 10330  df-xr 10331  df-ltxr 10332  df-le 10333  df-sub 10521  df-neg 10522  df-nn 11274  df-2 11334  df-n0 11538  df-z 11624  df-uz 11886  df-fz 12533  df-fzo 12673

This theorem is referenced by:  fzo0to42pr  12762  s2dm  13920  wrdlen2i  13972  wrd2pr2op  13973  pfx2  13977  wwlktovf1  13988  bitsinv1lem  15445  upgr2wlk  26854  usgr2wlkneq  26942  usgr2trlncl  26946  usgr2pthlem  26949  usgr2pth  26950  uspgrn2crct  26991  2wlkdlem2  27128  umgrwwlks2on  27160  lmat22lem  30264  eulerpartlemd  30809  prodfzo03  31063  elmod2  42006