Theorem fzo0to2pr 13790

Description: A half-open integer range from 0 to 2 is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to2pr	⊢ (0..^2) = {0, 1}

Proof of Theorem fzo0to2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12651	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		fzoval 13701	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^2) = (0...(2 − 1))
4		2m1e1 12393	. . . 4 ⊢ (2 − 1) = 1
5		0p1e1 12389	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
6	4, 5	eqtr4i 2767	. . 3 ⊢ (2 − 1) = (0 + 1)
7	6	oveq2i 7443	. 2 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...(0 + 1))
8		0z 12626	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		fzpr 13620	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
10	5	preq2i 4736	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
11	9, 10	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, 1})
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, 1}
13	3, 7, 12	3eqtri 2768	1 ⊢ (0..^2) = {0, 1}

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  {cpr 4627  (class class class)co 7432  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159   − cmin 11493  2c2 12322  ℤcz 12615  ...cfz 13548  ..^cfzo 13695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696

This theorem is referenced by:  fzo0to42pr  13793  s2dm  14930  wrdlen2i  14982  wrd2pr2op  14983  pfx2  14987  wwlktovf1  14997  bitsinv1lem  16479  upgr2wlk  29687  usgr2wlkneq  29777  usgr2trlncl  29781  usgr2pthlem  29784  usgr2pth  29785  uspgrn2crct  29829  2wlkdlem2  29947  umgrwwlks2on  29978  nn0split01  32820  nn0disj01  32821  s2rnOLD  32929  cyc3fv1  33158  cyc3fv2  33159  lmat22lem  33817  eulerpartlemd  34369  prodfzo03  34619  elmod2  47362  grtriclwlk3  47917  2aryfvalel  48573