Theorem fzo0to2pr 13660

Description: A half-open integer range from 0 to 2 is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to2pr	⊢ (0..^2) = {0, 1}

Proof of Theorem fzo0to2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12514	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		fzoval 13570	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^2) = (0...(2 − 1))
4		2m1e1 12256	. . . 4 ⊢ (2 − 1) = 1
5		0p1e1 12252	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
6	4, 5	eqtr4i 2759	. . 3 ⊢ (2 − 1) = (0 + 1)
7	6	oveq2i 7366	. 2 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...(0 + 1))
8		0z 12489	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		fzpr 13489	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
10	5	preq2i 4691	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
11	9, 10	eqtrdi 2784	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, 1})
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, 1}
13	3, 7, 12	3eqtri 2760	1 ⊢ (0..^2) = {0, 1}

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cpr 4579  (class class class)co 7355  0cc0 11016  1c1 11017   + caddc 11019   − cmin 11354  2c2 12190  ℤcz 12478  ...cfz 13417  ..^cfzo 13564

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-nn 12136  df-2 12198  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-fz 13418  df-fzo 13565

This theorem is referenced by:  fzo0to42pr  13663  s2dm  14807  wrdlen2i  14859  wrd2pr2op  14860  pfx2  14864  wwlktovf1  14874  bitsinv1lem  16362  upgr2wlk  29656  usgr2wlkneq  29745  usgr2trlncl  29749  usgr2pthlem  29752  usgr2pth  29753  uspgrn2crct  29797  2wlkdlem2  29915  usgrwwlks2on  29947  umgrwwlks2on  29948  nn0split01  32811  nn0disj01  32812  s2rnOLD  32936  cyc3fv1  33117  cyc3fv2  33118  lmat22lem  33841  eulerpartlemd  34390  prodfzo03  34627  elmod2  47469  grtriclwlk3  48059  2aryfvalel  48762