Theorem fzo0to2pr 13750

Description: A half-open integer range from 0 to 2 is an unordered pair. (Contributed by Alexander van der Vekens, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0to2pr	⊢ (0..^2) = {0, 1}

Proof of Theorem fzo0to2pr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12597	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		fzoval 13659	. . 3 ⊢ (2 ∈ ℤ → (0..^2) = (0...(2 − 1)))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0..^2) = (0...(2 − 1))
4		2m1e1 12336	. . . 4 ⊢ (2 − 1) = 1
5		0p1e1 12332	. . . 4 ⊢ (0 + 1) = 1
6	4, 5	eqtr4i 2787	. . 3 ⊢ (2 − 1) = (0 + 1)
7	6	oveq2i 7402	. 2 ⊢ (0...(2 − 1)) = (0...(0 + 1))
8		0z 12573	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
9		fzpr 13578	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, (0 + 1)})
10	5	preq2i 4693	. . . 4 ⊢ {0, (0 + 1)} = {0, 1}
11	9, 10	eqtrdi 2812	. . 3 ⊢ (0 ∈ ℤ → (0...(0 + 1)) = {0, 1})
12	8, 11	ax-mp 5	. 2 ⊢ (0...(0 + 1)) = {0, 1}
13	3, 7, 12	3eqtri 2788	1 ⊢ (0..^2) = {0, 1}

Syntax hints:   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  {cpr 4581  (class class class)co 7391  0cc0 11067  1c1 11068   + caddc 11070   − cmin 11408  2c2 12266  ℤcz 12562  ...cfz 13506  ..^cfzo 13653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654

This theorem is referenced by:  fzo0to42pr  13753  s2dm  14897  wrdlen2i  14949  wrd2pr2op  14950  pfx2  14954  wwlktovf1  14964  bitsinv1lem  16466  upgr2wlk  29824  usgr2wlkneq  29913  usgr2trlncl  29917  usgr2pthlem  29920  usgr2pth  29921  uspgrn2crct  29965  2wlkdlem2  30083  usgrwwlks2on  30115  umgrwwlks2on  30116  nn0split01  32981  nn0disj01  32982  s2rnOLD  33083  cyc3fv1  33278  cyc3fv2  33279  lmat22lem  34075  eulerpartlemd  34624  prodfzo03  34858  elmod2  47916  grtriclwlk3  48528  2aryfvalel  49230