Theorem wrdnval 14694

Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdnval	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉 ↑m (0..^𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Proof of Theorem wrdnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3413	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)}
2		ovexd 7456	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ V)
3		elmapg 8863	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ (0..^𝑁) ∈ V) → (𝑤 ∈ (𝑉 ↑m (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
4	2, 3	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉 ↑m (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
5		iswrdi 14666	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
6	5	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
7		fnfzo0hash 14599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
8	7	adantll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
9	6, 8	jca 521	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁))
10	9	ex 418	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
11		wrdf 14667	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉)
12		oveq2 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^𝑁))
13	12	feq2d 6694	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉 ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
14	11, 13	syl5ibcom 248	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑤) = 𝑁 → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
15	14	imp 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁) → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉)
16	10, 15	impbid1 228	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
17	4, 16	bitrd 282	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉 ↑m (0..^𝑁)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
18	17	eqabdv 2893	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑉 ↑m (0..^𝑁)) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)})
19	1, 18	eqtr4id 2814	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉 ↑m (0..^𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  {crab 3412  Vcvv 3450  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851  0cc0 11204  ℕ₀cn0 12610  ..^cfzo 13792  ♯chash 14478  Word cword 14662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-map 8853  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-hash 14479  df-word 14663

This theorem is used by:  wrdmap  14695  hashwrdn  14696  naryfvalelwrdf  49839