MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdnval 14229
Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
wrdnval ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉m (0..^𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Proof of Theorem wrdnval
StepHypRef Expression
1 df-rab 3074 . 2 {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)}
2 ovexd 7303 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ V)
3 elmapg 8602 . . . . 5 ((𝑉𝑋 ∧ (0..^𝑁) ∈ V) → (𝑤 ∈ (𝑉m (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
42, 3syldan 590 . . . 4 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉m (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
5 iswrdi 14202 . . . . . . . 8 (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉𝑤 ∈ Word 𝑉)
65adantl 481 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
7 fnfzo0hash 14143 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
87adantll 710 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
96, 8jca 511 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁))
109ex 412 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
11 wrdf 14203 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ Word 𝑉𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉)
12 oveq2 7276 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^𝑁))
1312feq2d 6582 . . . . . . 7 ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
1411, 13syl5ibcom 244 . . . . . 6 (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑤) = 𝑁𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
1514imp 406 . . . . 5 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁) → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉)
1610, 15impbid1 224 . . . 4 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
174, 16bitrd 278 . . 3 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉m (0..^𝑁)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
1817abbi2dv 2878 . 2 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑉m (0..^𝑁)) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)})
191, 18eqtr4id 2798 1 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉m (0..^𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1541  wcel 2109  {cab 2716  {crab 3069  Vcvv 3430  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  m cmap 8589  0cc0 10855  0cn0 12216  ..^cfzo 13364  chash 14025  Word cword 14198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-hash 14026  df-word 14199
This theorem is referenced by:  wrdmap  14230  hashwrdn  14231  naryfvalelwrdf  45931
  Copyright terms: Public domain W3C validator