Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  wrdnval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem wrdnval 13895
 Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
wrdnval ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉m (0..^𝑁)))
Distinct variable groups:   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Proof of Theorem wrdnval
StepHypRef Expression
1 df-rab 3115 . 2 {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)}
2 ovexd 7175 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ V)
3 elmapg 8409 . . . . 5 ((𝑉𝑋 ∧ (0..^𝑁) ∈ V) → (𝑤 ∈ (𝑉m (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
42, 3syldan 594 . . . 4 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉m (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
5 iswrdi 13868 . . . . . . . 8 (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉𝑤 ∈ Word 𝑉)
65adantl 485 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
7 fnfzo0hash 13811 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
87adantll 713 . . . . . . 7 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
96, 8jca 515 . . . . . 6 (((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁))
109ex 416 . . . . 5 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
11 wrdf 13869 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ Word 𝑉𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉)
12 oveq2 7148 . . . . . . . 8 ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^𝑁))
1312feq2d 6476 . . . . . . 7 ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
1411, 13syl5ibcom 248 . . . . . 6 (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑤) = 𝑁𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
1514imp 410 . . . . 5 ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁) → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉)
1610, 15impbid1 228 . . . 4 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
174, 16bitrd 282 . . 3 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉m (0..^𝑁)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
1817abbi2dv 2927 . 2 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑉m (0..^𝑁)) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)})
191, 18eqtr4id 2852 1 ((𝑉𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉m (0..^𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776  {crab 3110  Vcvv 3441  ⟶wf 6323  ‘cfv 6327  (class class class)co 7140   ↑m cmap 8396  0cc0 10533  ℕ0cn0 11892  ..^cfzo 13035  ♯chash 13693  Word cword 13864 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7448  ax-cnex 10589  ax-resscn 10590  ax-1cn 10591  ax-icn 10592  ax-addcl 10593  ax-addrcl 10594  ax-mulcl 10595  ax-mulrcl 10596  ax-mulcom 10597  ax-addass 10598  ax-mulass 10599  ax-distr 10600  ax-i2m1 10601  ax-1ne0 10602  ax-1rid 10603  ax-rnegex 10604  ax-rrecex 10605  ax-cnre 10606  ax-pre-lttri 10607  ax-pre-lttrn 10608  ax-pre-ltadd 10609  ax-pre-mulgt0 10610 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6119  df-ord 6165  df-on 6166  df-lim 6167  df-suc 6168  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7568  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7937  df-recs 7998  df-rdg 8036  df-1o 8092  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8500  df-dom 8501  df-sdom 8502  df-fin 8503  df-card 9359  df-pnf 10673  df-mnf 10674  df-xr 10675  df-ltxr 10676  df-le 10677  df-sub 10868  df-neg 10869  df-nn 11633  df-n0 11893  df-z 11977  df-uz 12239  df-fz 12893  df-fzo 13036  df-hash 13694  df-word 13865 This theorem is referenced by:  wrdmap  13896  hashwrdn  13897  naryfvalelwrdf  45106
 Copyright terms: Public domain W3C validator