Theorem wrdnval 14563

Description: Words of a fixed length are mappings from a fixed half-open integer interval. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Mar-2018.) (Proof shortened by AV, 13-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
wrdnval	⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉 ↑m (0..^𝑁)))

Distinct variable groups:   𝑤,𝑁   𝑤,𝑉   𝑤,𝑋

Proof of Theorem wrdnval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rab 3416	. 2 ⊢ {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)}
2		ovexd 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0..^𝑁) ∈ V)
3		elmapg 8853	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ (0..^𝑁) ∈ V) → (𝑤 ∈ (𝑉 ↑m (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
4	2, 3	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉 ↑m (0..^𝑁)) ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
5		iswrdi 14535	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
6	5	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → 𝑤 ∈ Word 𝑉)
7		fnfzo0hash 14468	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
8	7	adantll 714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (♯‘𝑤) = 𝑁)
9	6, 8	jca 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉) → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁))
10	9	ex 412	. . . . 5 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 → (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
11		wrdf 14536	. . . . . . 7 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → 𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉)
12		oveq2 7413	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (0..^(♯‘𝑤)) = (0..^𝑁))
13	12	feq2d 6692	. . . . . . 7 ⊢ ((♯‘𝑤) = 𝑁 → (𝑤:(0..^(♯‘𝑤))⟶𝑉 ↔ 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
14	11, 13	syl5ibcom 245	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑤) = 𝑁 → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉))
15	14	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁) → 𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉)
16	10, 15	impbid1 225	. . . 4 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤:(0..^𝑁)⟶𝑉 ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
17	4, 16	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑤 ∈ (𝑉 ↑m (0..^𝑁)) ↔ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)))
18	17	eqabdv 2868	. 2 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑉 ↑m (0..^𝑁)) = {𝑤 ∣ (𝑤 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑤) = 𝑁)})
19	1, 18	eqtr4id 2789	1 ⊢ ((𝑉 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → {𝑤 ∈ Word 𝑉 ∣ (♯‘𝑤) = 𝑁} = (𝑉 ↑m (0..^𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {cab 2713  {crab 3415  Vcvv 3459  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   ↑_m cmap 8840  0cc0 11129  ℕ₀cn0 12501  ..^cfzo 13671  ♯chash 14348  Word cword 14531

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-hash 14349  df-word 14532

This theorem is referenced by:  wrdmap  14564  hashwrdn  14565  naryfvalelwrdf  48613