Theorem ioorf 25732

Description: Define a function from open intervals to their endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorf	⊢ 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))

Proof of Theorem ioorf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorf.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
2		ioof 13469	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 6705	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4		ovelrn 7586	. . . 4 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)))
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
6		0le0 12337	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 0
7		df-br 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ 0 ↔ ⟨0, 0⟩ ∈ ≤ )
8	6, 7	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ ≤
9		0xr 11251	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		opelxpi 5698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
11	9, 9, 10	mp2an 704	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*)
12	8, 11	elini 4152	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑥 = ∅) → ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
14		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
15	14	infeq1d 9434	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
16		simplll 786	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 ∈ ℝ*)
17		simpllr 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑏 ∈ ℝ*)
18		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝑥 = ∅)
19	18	neqned 2965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
20	14, 19	eqnetrrd 3026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)
21		df-ioo 13371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
22		idd 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏 → 𝑤 < 𝑏))
23		xrltle 13169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏 → 𝑤 ≤ 𝑏))
24		idd 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤 → 𝑎 < 𝑤))
25		xrltle 13169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤 → 𝑎 ≤ 𝑤))
26	21, 22, 23, 24, 25	ixxlb 13389	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
27	16, 17, 20, 26	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
28	15, 27	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑎)
29	14	supeq1d 9402	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
30	21, 22, 23, 24, 25	ixxub 13388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
31	16, 17, 20, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
32	29, 31	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑏)
33	28, 32	opeq12d 4846	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
34		ioon0 13393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
35	34	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
36	20, 35	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 < 𝑏)
37		xrltle 13169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑏 → 𝑎 ≤ 𝑏))
38	37	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎 < 𝑏 → 𝑎 ≤ 𝑏))
39	36, 38	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 ≤ 𝑏)
40		df-br 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
41	39, 40	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
42		opelxpi 5698	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
43	42	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
44	41, 43	elind 4153	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
45	33, 44	eqeltrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
46	13, 45	ifclda 4523	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
47	46	ex 417	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))))
48	47	rexlimivv 3207	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
49	5, 48	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
50	1, 49	fmpti 7107	1 ⊢ 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   ∩ cin 3904  ∅c0 4286  ifcif 4487  𝒫 cpw 4562  ⟨cop 4595   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  ran crn 5662   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  (class class class)co 7410  supcsup 9396  infcinf 9397  ℝcr 11094  0cc0 11095  ℝ^*cxr 11237   < clt 11238   ≤ cle 11239  (,)cioo 13367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858  df-q 12968  df-ioo 13371

This theorem is referenced by:  ioorcl  25736  uniioombllem2  25742