Theorem ioorf 25894

Description: Define a function from open intervals to their endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorf	⊢ 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))

Proof of Theorem ioorf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorf.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
2		ioof 13578	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 6709	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4		ovelrn 7597	. . . 4 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)))
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
6		0le0 12444	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 0
7		df-br 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ 0 ↔ ⟨0, 0⟩ ∈ ≤ )
8	6, 7	mpbi 233	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ ≤
9		0xr 11356	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		opelxpi 5688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
11	9, 9, 10	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*)
12	8, 11	elini 4145	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑥 = ∅) → ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
14		simplr 781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
15	14	infeq1d 9470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
16		simplll 787	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 ∈ ℝ*)
17		simpllr 788	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑏 ∈ ℝ*)
18		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝑥 = ∅)
19	18	neqned 2963	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
20	14, 19	eqnetrrd 3024	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)
21		df-ioo 13480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
22		idd 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏 → 𝑤 < 𝑏))
23		xrltle 13278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏 → 𝑤 ≤ 𝑏))
24		idd 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤 → 𝑎 < 𝑤))
25		xrltle 13278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤 → 𝑎 ≤ 𝑤))
26	21, 22, 23, 24, 25	ixxlb 13498	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
27	16, 17, 20, 26	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
28	15, 27	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑎)
29	14	supeq1d 9438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
30	21, 22, 23, 24, 25	ixxub 13497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
31	16, 17, 20, 30	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
32	29, 31	eqtrd 2796	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑏)
33	28, 32	opeq12d 4841	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
34		ioon0 13502	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
35	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
36	20, 35	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 < 𝑏)
37		xrltle 13278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑏 → 𝑎 ≤ 𝑏))
38	37	ad2antrr 739	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎 < 𝑏 → 𝑎 ≤ 𝑏))
39	36, 38	mpd 16	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 ≤ 𝑏)
40		df-br 5104	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
41	39, 40	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
42		opelxpi 5688	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
43	42	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
44	41, 43	elind 4146	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
45	33, 44	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
46	13, 45	ifclda 4518	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
47	46	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))))
48	47	rexlimivv 3205	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
49	5, 48	sylbi 220	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
50	1, 49	fmpti 7112	1 ⊢ 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087   ∩ cin 3898  ∅c0 4279  ifcif 4482  𝒫 cpw 4557  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  ran crn 5652   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420  supcsup 9432  infcinf 9433  ℝcr 11199  0cc0 11200  ℝ^*cxr 11342   < clt 11343   ≤ cle 11344  (,)cioo 13476

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-ioo 13480

This theorem is used by:  ioorcl  25898  uniioombllem2  25904