Theorem ioorf 24642

Description: Define a function from open intervals to their endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorf	⊢ 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))

Proof of Theorem ioorf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorf.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
2		ioof 13108	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 6584	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4		ovelrn 7426	. . . 4 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)))
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
6		0le0 12004	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 0
7		df-br 5071	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ 0 ↔ ⟨0, 0⟩ ∈ ≤ )
8	6, 7	mpbi 229	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ ≤
9		0xr 10953	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		opelxpi 5617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
11	9, 9, 10	mp2an 688	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*)
12	8, 11	elini 4123	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑥 = ∅) → ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
14		simplr 765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
15	14	infeq1d 9166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
16		simplll 771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 ∈ ℝ*)
17		simpllr 772	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑏 ∈ ℝ*)
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝑥 = ∅)
19	18	neqned 2949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
20	14, 19	eqnetrrd 3011	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)
21		df-ioo 13012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
22		idd 24	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏 → 𝑤 < 𝑏))
23		xrltle 12812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏 → 𝑤 ≤ 𝑏))
24		idd 24	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤 → 𝑎 < 𝑤))
25		xrltle 12812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤 → 𝑎 ≤ 𝑤))
26	21, 22, 23, 24, 25	ixxlb 13030	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
27	16, 17, 20, 26	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
28	15, 27	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑎)
29	14	supeq1d 9135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
30	21, 22, 23, 24, 25	ixxub 13029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
31	16, 17, 20, 30	syl3anc 1369	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
32	29, 31	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑏)
33	28, 32	opeq12d 4809	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
34		ioon0 13034	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
35	34	ad2antrr 722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
36	20, 35	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 < 𝑏)
37		xrltle 12812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑏 → 𝑎 ≤ 𝑏))
38	37	ad2antrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎 < 𝑏 → 𝑎 ≤ 𝑏))
39	36, 38	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 ≤ 𝑏)
40		df-br 5071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
41	39, 40	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
42		opelxpi 5617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
43	42	ad2antrr 722	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
44	41, 43	elind 4124	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
45	33, 44	eqeltrd 2839	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
46	13, 45	ifclda 4491	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
47	46	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))))
48	47	rexlimivv 3220	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
49	5, 48	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
50	1, 49	fmpti 6968	1 ⊢ 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∃wrex 3064   ∩ cin 3882  ∅c0 4253  ifcif 4456  𝒫 cpw 4530  ⟨cop 4564   class class class wbr 5070   ↦ cmpt 5153   × cxp 5578  ran crn 5581   Fn wfn 6413  ⟶wf 6414  (class class class)co 7255  supcsup 9129  infcinf 9130  ℝcr 10801  0cc0 10802  ℝ^*cxr 10939   < clt 10940   ≤ cle 10941  (,)cioo 13008

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-q 12618  df-ioo 13012

This theorem is referenced by:  ioorcl  24646  uniioombllem2  24652