MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorf 25621
Description: Define a function from open intervals to their endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorf 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))

Proof of Theorem ioorf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorf.1 . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
2 ioof 13483 . . . 4 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6736 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4 ovelrn 7608 . . . 4 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)))
52, 3, 4mp2b 10 . . 3 (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
6 0le0 12364 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
7 df-br 5148 . . . . . . . . 9 (0 ≤ 0 ↔ ⟨0, 0⟩ ∈ ≤ )
86, 7mpbi 230 . . . . . . . 8 ⟨0, 0⟩ ∈ ≤
9 0xr 11305 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
10 opelxpi 5725 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
119, 9, 10mp2an 692 . . . . . . . 8 ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*)
128, 11elini 4208 . . . . . . 7 ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
1312a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑥 = ∅) → ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
14 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
1514infeq1d 9514 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
16 simplll 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 ∈ ℝ*)
17 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑏 ∈ ℝ*)
18 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝑥 = ∅)
1918neqned 2944 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
2014, 19eqnetrrd 3006 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)
21 df-ioo 13387 . . . . . . . . . . 11 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
22 idd 24 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏𝑤 < 𝑏))
23 xrltle 13187 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏𝑤𝑏))
24 idd 24 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤𝑎 < 𝑤))
25 xrltle 13187 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤𝑎𝑤))
2621, 22, 23, 24, 25ixxlb 13405 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
2716, 17, 20, 26syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
2815, 27eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑎)
2914supeq1d 9483 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
3021, 22, 23, 24, 25ixxub 13404 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
3116, 17, 20, 30syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
3229, 31eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑏)
3328, 32opeq12d 4885 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
34 ioon0 13409 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
3534ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
3620, 35mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 < 𝑏)
37 xrltle 13187 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑏𝑎𝑏))
3837ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎 < 𝑏𝑎𝑏))
3936, 38mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎𝑏)
40 df-br 5148 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
4139, 40sylib 218 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
42 opelxpi 5725 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
4342ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
4441, 43elind 4209 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4533, 44eqeltrd 2838 . . . . . 6 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4613, 45ifclda 4565 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4746ex 412 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))))
4847rexlimivv 3198 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
495, 48sylbi 217 . 2 (𝑥 ∈ ran (,) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
501, 49fmpti 7131 1 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wrex 3067  cin 3961  c0 4338  ifcif 4530  𝒫 cpw 4604  cop 4636   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  ran crn 5689   Fn wfn 6557  wf 6558  (class class class)co 7430  supcsup 9477  infcinf 9478  cr 11151  0cc0 11152  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  (,)cioo 13383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-ioo 13387
This theorem is referenced by:  ioorcl  25625  uniioombllem2  25631
  Copyright terms: Public domain W3C validator