MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ioorf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioorf 23681
Description: Define a function from open intervals to their endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
ioorf.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
Assertion
Ref Expression
ioorf 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))

Proof of Theorem ioorf
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ioorf.1 . 2 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
2 ioof 12521 . . . 4 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3 ffn 6256 . . . 4 ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4 ovelrn 7044 . . . 4 ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)))
52, 3, 4mp2b 10 . . 3 (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
6 0le0 11421 . . . . . . . . 9 0 ≤ 0
7 df-br 4844 . . . . . . . . 9 (0 ≤ 0 ↔ ⟨0, 0⟩ ∈ ≤ )
86, 7mpbi 222 . . . . . . . 8 ⟨0, 0⟩ ∈ ≤
9 0xr 10375 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
10 opelxpi 5349 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
119, 9, 10mp2an 684 . . . . . . . 8 ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*)
12 elin 3994 . . . . . . . 8 (⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)) ↔ (⟨0, 0⟩ ∈ ≤ ∧ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*)))
138, 11, 12mpbir2an 703 . . . . . . 7 ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
1413a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑥 = ∅) → ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
15 simplr 786 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
1615infeq1d 8625 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
17 simplll 792 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 ∈ ℝ*)
18 simpllr 794 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑏 ∈ ℝ*)
19 simpr 478 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝑥 = ∅)
2019neqned 2978 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
2115, 20eqnetrrd 3039 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)
22 df-ioo 12428 . . . . . . . . . . 11 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
23 idd 24 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏𝑤 < 𝑏))
24 xrltle 12229 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏𝑤𝑏))
25 idd 24 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤𝑎 < 𝑤))
26 xrltle 12229 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤𝑎𝑤))
2722, 23, 24, 25, 26ixxlb 12446 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
2817, 18, 21, 27syl3anc 1491 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
2916, 28eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑎)
3015supeq1d 8594 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
3122, 23, 24, 25, 26ixxub 12445 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
3217, 18, 21, 31syl3anc 1491 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
3330, 32eqtrd 2833 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑏)
3429, 33opeq12d 4601 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
35 ioon0 12450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
3635ad2antrr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
3721, 36mpbid 224 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 < 𝑏)
38 xrltle 12229 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑏𝑎𝑏))
3938ad2antrr 718 . . . . . . . . . 10 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎 < 𝑏𝑎𝑏))
4037, 39mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎𝑏)
41 df-br 4844 . . . . . . . . 9 (𝑎𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
4240, 41sylib 210 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
43 opelxpi 5349 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
4443ad2antrr 718 . . . . . . . 8 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
4542, 44elind 3996 . . . . . . 7 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4634, 45eqeltrd 2878 . . . . . 6 ((((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4714, 46ifclda 4311 . . . . 5 (((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
4847ex 402 . . . 4 ((𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))))
4948rexlimivv 3217 . . 3 (∃𝑎 ∈ ℝ*𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
505, 49sylbi 209 . 2 (𝑥 ∈ ran (,) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
511, 50fmpti 6608 1 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 385   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wrex 3090  cin 3768  c0 4115  ifcif 4277  𝒫 cpw 4349  cop 4374   class class class wbr 4843  cmpt 4922   × cxp 5310  ran crn 5313   Fn wfn 6096  wf 6097  (class class class)co 6878  supcsup 8588  infcinf 8589  cr 10223  0cc0 10224  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364  (,)cioo 12424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-ioo 12428
This theorem is referenced by:  ioorcl  23685  uniioombllem2  23691
  Copyright terms: Public domain W3C validator