Theorem ioorf 25540

Description: Define a function from open intervals to their endpoints. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.) (Revised by AV, 13-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ioorf.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))

Assertion

Ref	Expression
ioorf	⊢ 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))

Proof of Theorem ioorf

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorf.1	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ran (,) ↦ if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩))
2		ioof 13400	. . . 4 ⊢ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
3		ffn 6668	. . . 4 ⊢ ((,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ → (,) Fn (ℝ* × ℝ*))
4		ovelrn 7543	. . . 4 ⊢ ((,) Fn (ℝ* × ℝ*) → (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)))
5	2, 3, 4	mp2b 10	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) ↔ ∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
6		0le0 12282	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ≤ 0
7		df-br 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ (0 ≤ 0 ↔ ⟨0, 0⟩ ∈ ≤ )
8	6, 7	mpbi 230	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ ≤
9		0xr 11192	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 ∈ ℝ*
10		opelxpi 5668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ 0 ∈ ℝ*) → ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
11	9, 9, 10	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*)
12	8, 11	elini 4139	. . . . . . 7 ⊢ ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))
13	12	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ 𝑥 = ∅) → ⟨0, 0⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
14		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 = (𝑎(,)𝑏))
15	14	infeq1d 9391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
16		simplll 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 ∈ ℝ*)
17		simpllr 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑏 ∈ ℝ*)
18		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ¬ 𝑥 = ∅)
19	18	neqned 2939	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑥 ≠ ∅)
20	14, 19	eqnetrrd 3000	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅)
21		df-ioo 13302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
22		idd 24	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏 → 𝑤 < 𝑏))
23		xrltle 13100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝑏 → 𝑤 ≤ 𝑏))
24		idd 24	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤 → 𝑎 < 𝑤))
25		xrltle 13100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑤 → 𝑎 ≤ 𝑤))
26	21, 22, 23, 24, 25	ixxlb 13320	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
27	16, 17, 20, 26	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑎)
28	15, 27	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → inf(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑎)
29	14	supeq1d 9359	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ))
30	21, 22, 23, 24, 25	ixxub 13319	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ* ∧ (𝑎(,)𝑏) ≠ ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
31	16, 17, 20, 30	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup((𝑎(,)𝑏), ℝ*, < ) = 𝑏)
32	29, 31	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → sup(𝑥, ℝ*, < ) = 𝑏)
33	28, 32	opeq12d 4824	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ = ⟨𝑎, 𝑏⟩)
34		ioon0 13324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
35	34	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ((𝑎(,)𝑏) ≠ ∅ ↔ 𝑎 < 𝑏))
36	20, 35	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 < 𝑏)
37		xrltle 13100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑎 < 𝑏 → 𝑎 ≤ 𝑏))
38	37	ad2antrr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → (𝑎 < 𝑏 → 𝑎 ≤ 𝑏))
39	36, 38	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → 𝑎 ≤ 𝑏)
40		df-br 5086	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ≤ 𝑏 ↔ ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
41	39, 40	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ≤ )
42		opelxpi 5668	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
43	42	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ (ℝ* × ℝ*))
44	41, 43	elind 4140	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨𝑎, 𝑏⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
45	33, 44	eqeltrd 2836	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) ∧ ¬ 𝑥 = ∅) → ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩ ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
46	13, 45	ifclda 4502	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) ∧ 𝑥 = (𝑎(,)𝑏)) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
47	46	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ* ∧ 𝑏 ∈ ℝ*) → (𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))))
48	47	rexlimivv 3179	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ* ∃𝑏 ∈ ℝ* 𝑥 = (𝑎(,)𝑏) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
49	5, 48	sylbi 217	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ran (,) → if(𝑥 = ∅, ⟨0, 0⟩, ⟨inf(𝑥, ℝ*, < ), sup(𝑥, ℝ*, < )⟩) ∈ ( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*)))
50	1, 49	fmpti 7064	1 ⊢ 𝐹:ran (,)⟶( ≤ ∩ (ℝ* × ℝ*))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∃wrex 3061   ∩ cin 3888  ∅c0 4273  ifcif 4466  𝒫 cpw 4541  ⟨cop 4573   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  ran crn 5632   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  (class class class)co 7367  supcsup 9353  infcinf 9354  ℝcr 11037  0cc0 11038  ℝ^*cxr 11178   < clt 11179   ≤ cle 11180  (,)cioo 13298

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-q 12899  df-ioo 13302

This theorem is referenced by:  ioorcl  25544  uniioombllem2  25550