Theorem zhmnrg 33411

Description: The ℤ-module built from a normed ring is also a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zhmnrg	⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem zhmnrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
3		zlmlem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
4	3, 1	zlmbas 21378	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
6		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	3, 6	zlmplusg 21380	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
9	8	oveqdr 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦))
10	2, 5, 9	grppropd 18879	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑊 ∈ Grp))
11		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
12	3, 11	zlmds 33406	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (dist‘𝐺) = (dist‘𝑊))
13	12	reseq1d 5980	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))))
14		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝐺)
15	3, 14	zlmtset 33408	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝑊))
16	5, 15	topnpropd 17389	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑊))
17	2, 5, 13, 16	mspropd 24300	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ MetSp ↔ 𝑊 ∈ MetSp))
18		eqid 2731	. . . . . . . . 9 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
19	3, 18	zlmnm 33410	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑊))
20	5, 8	grpsubpropd 18971	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (-g‘𝐺) = (-g‘𝑊))
21	19, 20	coeq12d 5864	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)))
22	21, 12	sseq12d 4015	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺) ↔ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
23	10, 17, 22	3anbi123d 1435	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊))))
24		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
25	18, 24, 11	isngp 24425	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
26		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
27		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
28		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
29	26, 27, 28	isngp 24425	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
30	23, 25, 29	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ 𝑊 ∈ NrmGrp))
31		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
32	3, 31	zlmmulr 21382	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
34	5, 8, 33	abvpropd2 32562	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝑊))
35	19, 34	eleq12d 2826	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺) ↔ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
36	30, 35	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊))))
37		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝐺)
38	18, 37	isnrg 24497	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing ↔ (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)))
39		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (AbsVal‘𝑊) = (AbsVal‘𝑊)
40	26, 39	isnrg 24497	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmRing ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
41	36, 38, 40	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmRing ↔ 𝑊 ∈ NrmRing))
42	41	ibi 267	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ⊆ wss 3948   × cxp 5674   ∘ ccom 5680  ‘cfv 6543  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204  ._rcmulr 17205  TopSetcts 17210  distcds 17213  Grpcgrp 18861  -_gcsg 18863  AbsValcabv 20655  ℤModczlm 21360  MetSpcms 24144  normcnm 24405  NrmGrpcngp 24406  NrmRingcnrg 24408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ds 17226  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mgp 20036  df-ring 20136  df-abv 20656  df-zlm 21364  df-top 22716  df-topon 22733  df-topsp 22755  df-xms 24146  df-ms 24147  df-nm 24411  df-ngp 24412  df-nrg 24414

This theorem is referenced by:  cnzh  33414  rezh  33415  qqhnm  33434