Theorem zhmnrg 33900

Description: The ℤ-module built from a normed ring is also a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zhmnrg	⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem zhmnrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
3		zlmlem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
4	3, 1	zlmbas 21489	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
6		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	3, 6	zlmplusg 21490	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
9	8	oveqdr 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦))
10	2, 5, 9	grppropd 18937	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑊 ∈ Grp))
11		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
12	3, 11	zlmds 33895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (dist‘𝐺) = (dist‘𝑊))
13	12	reseq1d 5976	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))))
14		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝐺)
15	3, 14	zlmtset 33897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝑊))
16	5, 15	topnpropd 17451	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑊))
17	2, 5, 13, 16	mspropd 24428	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ MetSp ↔ 𝑊 ∈ MetSp))
18		eqid 2734	. . . . . . . . 9 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
19	3, 18	zlmnm 33899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑊))
20	5, 8	grpsubpropd 19031	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (-g‘𝐺) = (-g‘𝑊))
21	19, 20	coeq12d 5855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)))
22	21, 12	sseq12d 3997	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺) ↔ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
23	10, 17, 22	3anbi123d 1437	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊))))
24		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
25	18, 24, 11	isngp 24552	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
26		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
27		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
28		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
29	26, 27, 28	isngp 24552	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
30	23, 25, 29	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ 𝑊 ∈ NrmGrp))
31		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
32	3, 31	zlmmulr 21491	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
34	5, 8, 33	abvpropd2 32881	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝑊))
35	19, 34	eleq12d 2827	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺) ↔ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
36	30, 35	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊))))
37		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝐺)
38	18, 37	isnrg 24616	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing ↔ (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)))
39		eqid 2734	. . . 4 ⊢ (AbsVal‘𝑊) = (AbsVal‘𝑊)
40	26, 39	isnrg 24616	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmRing ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
41	36, 38, 40	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmRing ↔ 𝑊 ∈ NrmRing))
42	41	ibi 267	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931   × cxp 5663   ∘ ccom 5669  ‘cfv 6540  Basecbs 17228  +_gcplusg 17272  ._rcmulr 17273  TopSetcts 17278  distcds 17281  Grpcgrp 18919  -_gcsg 18921  AbsValcabv 20776  ℤModczlm 21472  MetSpcms 24272  normcnm 24532  NrmGrpcngp 24533  NrmRingcnrg 24535

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4888  df-iun 4973  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6493  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8726  df-map 8849  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11475  df-neg 11476  df-nn 12248  df-2 12310  df-3 12311  df-4 12312  df-5 12313  df-6 12314  df-7 12315  df-8 12316  df-9 12317  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-sets 17182  df-slot 17200  df-ndx 17212  df-base 17229  df-plusg 17285  df-mulr 17286  df-sca 17288  df-vsca 17289  df-ip 17290  df-tset 17291  df-ds 17294  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-mgm 18621  df-sgrp 18700  df-mnd 18716  df-grp 18922  df-minusg 18923  df-sbg 18924  df-mgp 20105  df-ring 20199  df-abv 20777  df-zlm 21476  df-top 22847  df-topon 22864  df-topsp 22886  df-xms 24274  df-ms 24275  df-nm 24538  df-ngp 24539  df-nrg 24541

This theorem is referenced by:  cnzh  33903  rezh  33904  qqhnm  33925