Theorem zhmnrg 34149

Description: The ℤ-module built from a normed ring is also a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zhmnrg	⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem zhmnrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
3		zlmlem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
4	3, 1	zlmbas 21489	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
6		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	3, 6	zlmplusg 21490	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
9	8	oveqdr 7398	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦))
10	2, 5, 9	grppropd 18898	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑊 ∈ Grp))
11		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
12	3, 11	zlmds 34146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (dist‘𝐺) = (dist‘𝑊))
13	12	reseq1d 5947	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))))
14		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝐺)
15	3, 14	zlmtset 34147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝑊))
16	5, 15	topnpropd 17370	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑊))
17	2, 5, 13, 16	mspropd 24435	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ MetSp ↔ 𝑊 ∈ MetSp))
18		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
19	3, 18	zlmnm 34148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑊))
20	5, 8	grpsubpropd 18992	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (-g‘𝐺) = (-g‘𝑊))
21	19, 20	coeq12d 5823	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)))
22	21, 12	sseq12d 3969	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺) ↔ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
23	10, 17, 22	3anbi123d 1439	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊))))
24		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
25	18, 24, 11	isngp 24557	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
26		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
27		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
28		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
29	26, 27, 28	isngp 24557	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
30	23, 25, 29	3bitr4g 314	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ 𝑊 ∈ NrmGrp))
31		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
32	3, 31	zlmmulr 21491	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
34	5, 8, 33	abvpropd2 33064	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝑊))
35	19, 34	eleq12d 2831	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺) ↔ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
36	30, 35	anbi12d 633	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊))))
37		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝐺)
38	18, 37	isnrg 24621	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing ↔ (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)))
39		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (AbsVal‘𝑊) = (AbsVal‘𝑊)
40	26, 39	isnrg 24621	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmRing ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
41	36, 38, 40	3bitr4g 314	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmRing ↔ 𝑊 ∈ NrmRing))
42	41	ibi 267	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   × cxp 5632   ∘ ccom 5638  ‘cfv 6502  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  ._rcmulr 17192  TopSetcts 17197  distcds 17200  Grpcgrp 18880  -_gcsg 18882  AbsValcabv 20758  ℤModczlm 21472  MetSpcms 24279  normcnm 24537  NrmGrpcngp 24538  NrmRingcnrg 24540

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ds 17213  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-grp 18883  df-minusg 18884  df-sbg 18885  df-mgp 20093  df-ring 20187  df-abv 20759  df-zlm 21476  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-xms 24281  df-ms 24282  df-nm 24543  df-ngp 24544  df-nrg 24546

This theorem is referenced by:  cnzh  34152  rezh  34153  qqhnm  34174