Theorem zhmnrg 31896

Description: The ℤ-module built from a normed ring is also a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypothesis

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zhmnrg	⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)

Proof of Theorem zhmnrg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
2	1	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺))
3		zlmlem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
4	3, 1	zlmbas 20701	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
5	4	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
6		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	3, 6	zlmplusg 20703	. . . . . . . . 9 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
8	7	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
9	8	oveqdr 7296	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ NrmRing ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) = (𝑥(+g‘𝑊)𝑦))
10	2, 5, 9	grppropd 18575	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ Grp ↔ 𝑊 ∈ Grp))
11		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
12	3, 11	zlmds 31891	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (dist‘𝐺) = (dist‘𝑊))
13	12	reseq1d 5887	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((dist‘𝐺) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))) = ((dist‘𝑊) ↾ ((Base‘𝐺) × (Base‘𝐺))))
14		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝐺)
15	3, 14	zlmtset 31893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (TopSet‘𝐺) = (TopSet‘𝑊))
16	5, 15	topnpropd 17128	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (TopOpen‘𝐺) = (TopOpen‘𝑊))
17	2, 5, 13, 16	mspropd 23608	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ MetSp ↔ 𝑊 ∈ MetSp))
18		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (norm‘𝐺) = (norm‘𝐺)
19	3, 18	zlmnm 31895	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑊))
20	5, 8	grpsubpropd 18661	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (-g‘𝐺) = (-g‘𝑊))
21	19, 20	coeq12d 5770	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) = ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)))
22	21, 12	sseq12d 3958	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺) ↔ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
23	10, 17, 22	3anbi123d 1434	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊))))
24		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐺) = (-g‘𝐺)
25	18, 24, 11	isngp 23733	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ (𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝐺) ∘ (-g‘𝐺)) ⊆ (dist‘𝐺)))
26		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (norm‘𝑊) = (norm‘𝑊)
27		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
28		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (dist‘𝑊) = (dist‘𝑊)
29	26, 27, 28	isngp 23733	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ NrmGrp ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑊 ∈ MetSp ∧ ((norm‘𝑊) ∘ (-g‘𝑊)) ⊆ (dist‘𝑊)))
30	23, 25, 29	3bitr4g 313	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmGrp ↔ 𝑊 ∈ NrmGrp))
31		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝐺)
32	3, 31	zlmmulr 20705	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊)
33	32	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (.r‘𝐺) = (.r‘𝑊))
34	5, 8, 33	abvpropd2 31216	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝑊))
35	19, 34	eleq12d 2834	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺) ↔ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
36	30, 35	anbi12d 630	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → ((𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)) ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊))))
37		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (AbsVal‘𝐺) = (AbsVal‘𝐺)
38	18, 37	isnrg 23805	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing ↔ (𝐺 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝐺) ∈ (AbsVal‘𝐺)))
39		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (AbsVal‘𝑊) = (AbsVal‘𝑊)
40	26, 39	isnrg 23805	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ NrmRing ↔ (𝑊 ∈ NrmGrp ∧ (norm‘𝑊) ∈ (AbsVal‘𝑊)))
41	36, 38, 40	3bitr4g 313	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → (𝐺 ∈ NrmRing ↔ 𝑊 ∈ NrmRing))
42	41	ibi 266	1 ⊢ (𝐺 ∈ NrmRing → 𝑊 ∈ NrmRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3891   × cxp 5586   ∘ ccom 5592  ‘cfv 6430  Basecbs 16893  +_gcplusg 16943  ._rcmulr 16944  TopSetcts 16949  distcds 16952  Grpcgrp 18558  -_gcsg 18560  AbsValcabv 20057  ℤModczlm 20683  MetSpcms 23452  normcnm 23713  NrmGrpcngp 23714  NrmRingcnrg 23716

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ds 16965  df-rest 17114  df-topn 17115  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563  df-mgp 19702  df-ring 19766  df-abv 20058  df-zlm 20687  df-top 22024  df-topon 22041  df-topsp 22063  df-xms 23454  df-ms 23455  df-nm 23719  df-ngp 23720  df-nrg 23722

This theorem is referenced by:  cnzh  31899  rezh  31900  qqhnm  31919