Theorem zlmnm 34597

Description: Norm of a ℤ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmlem2.1	⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
zlmnm.1	⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
zlmnm	⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑁 = (norm‘𝑊))

Proof of Theorem zlmnm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmnm.1	. 2 ⊢ 𝑁 = (norm‘𝐺)
2		zlmlem2.1	. . . . 5 ⊢ 𝑊 = (ℤMod‘𝐺)
3		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
4	2, 3	zlmbas 21824	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊)
5	4	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (Base‘𝐺) = (Base‘𝑊))
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
7	2, 6	zlmplusg 21825	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊)
8	7	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (+g‘𝐺) = (+g‘𝑊))
9		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (dist‘𝐺) = (dist‘𝐺)
10	2, 9	zlmds 34595	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (dist‘𝐺) = (dist‘𝑊))
11	5, 8, 10	nmpropd 24914	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → (norm‘𝐺) = (norm‘𝑊))
12	1, 11	eqtrid 2808	1 ⊢ (𝐺 ∈ 𝑉 → 𝑁 = (norm‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6539  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  distcds 17438  ℤModczlm 21807  normcnm 24896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7752  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3915  df-pss 4035  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6305  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6495  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-2nd 8003  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-plusg 17442  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-ds 17451  df-0g 17613  df-zlm 21811  df-nm 24902

This theorem is used by:  zhmnrg  34598  nmmulg  34599  zrhnm  34600  cnzh  34601  rezh  34602