Theorem gzsumcl 13863

Description: Closure of an ordered group sum. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Dec-2014.) (Revised by AV, 3-Jun-2019.) (Revised by Jim Kingdon, 16-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gzsumcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
gzsumcl.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gzsumcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gzsumcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
gzsumcl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gzsumcl	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem gzsumcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gzsumcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		gzsumcl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
3		eqid 2238	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
4		gzsumcl.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
5		gzsumcl.m	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
6		gzsumcl.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
7		gzsumcl.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	gzsumfzval 13770	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
9	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σgz 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
10		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 < 𝑀)
11	10	iftrued 3647	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = 0 )
12	9, 11	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σgz 𝐹) = 0 )
13	1, 2	mndidcl 13802	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 0 ∈ 𝐵)
14	4, 13	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
15	14	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → 0 ∈ 𝐵)
16	12, 15	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σgz 𝐹) ∈ 𝐵)
17	8	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σgz 𝐹) = if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)))
18		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑁 < 𝑀)
19	18	iffalsed 3650	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → if(𝑁 < 𝑀, 0 , (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁)) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
20	17, 19	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σgz 𝐹) = (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁))
21	5	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
22	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
23	21	zred 9779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
24	22	zred 9779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	23, 24, 18	nltled 8454	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
26		eluz2 9943	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ 𝑁))
27	21, 22, 25, 26	syl3anbrc 1212	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
28	5, 6	fzfigd 10889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑁) ∈ Fin)
29	7, 28	fexd 5951	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
30	29	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐹 ∈ V)
31		vex 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑥 ∈ V
32		fvexg 5717	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ V ∧ 𝑥 ∈ V) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
33	30, 31, 32	sylancl 417	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
34	7	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐹:(𝑀...𝑁)⟶𝐵)
35		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁))
36	34, 35	ffvelcdmd 5847	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ 𝑥 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐹‘𝑥) ∈ 𝐵)
37	4	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝐺 ∈ Mnd)
38		simprl 535	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
39		simprr 537	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
40	1, 3	mndcl 13795	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
41	37, 38, 39, 40	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ 𝐵)
42		ssv 3270	. . . . 5 ⊢ 𝐵 ⊆ V
43	42	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → 𝐵 ⊆ V)
44		simprl 535	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑥 ∈ V)
45		plusgslid 13525	. . . . . . . 8 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
46	45	slotex 13437	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (+g‘𝐺) ∈ V)
47	4, 46	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (+g‘𝐺) ∈ V)
48	47	ad2antrr 492	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (+g‘𝐺) ∈ V)
49		simprr 537	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → 𝑦 ∈ V)
50		ovexg 6122	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ (+g‘𝐺) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V)
51	44, 48, 49, 50	syl3anc 1278	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) ∧ (𝑥 ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ V)
52	27, 33, 36, 41, 43, 51	seq3clss 10929	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (seq𝑀((+g‘𝐺), 𝐹)‘𝑁) ∈ 𝐵)
53	20, 52	eqeltrd 2315	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝑁 < 𝑀) → (𝐺 Σgz 𝐹) ∈ 𝐵)
54		zdclt 9733	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → DECID 𝑁 < 𝑀)
55	6, 5, 54	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → DECID 𝑁 < 𝑀)
56		exmiddc 848	. . 3 ⊢ (DECID 𝑁 < 𝑀 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
57	55, 56	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 < 𝑀 ∨ ¬ 𝑁 < 𝑀))
58	16, 53, 57	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∨ wo 720  DECID wdc 846   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ⊆ wss 3220  ifcif 3638   class class class wbr 4131  ⟶wf 5376  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  Fincfn 7026   < clt 8366   ≤ cle 8367  ℤcz 9655  ℤ_≥cuz 9937  ...cfz 10428  seqcseq 10905  Basecbs 13410  +_gcplusg 13490  0_gc0g 13669   Σ_gz cgzsu 13670  Mndcmnd 13788

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7027  df-fin 7029  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-inn 9314  df-2 9372  df-n0 9575  df-z 9656  df-uz 9938  df-fz 10429  df-fzo 10567  df-seqfrec 10906  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-gzsum 13672  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789

This theorem is used by:  gzsummhm2  14236