Theorem lgsmulsqcoprm 15162

Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under multiplication with a square of an integer coprime to the second argument. Theorem 9.9(d) in [ApostolNT] p. 188. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
lgsmulsqcoprm	⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))

Proof of Theorem lgsmulsqcoprm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zsqcl 10681	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
2	1	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ∈ ℤ)
3		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
4		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → 𝑁 ∈ ℤ)
5	2, 3, 4	3anim123i 1186	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
6		zcn 9322	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
7		sqne0 10676	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
8	6, 7	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → ((𝐴↑2) ≠ 0 ↔ 𝐴 ≠ 0))
9	8	biimpar 297	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝐴↑2) ≠ 0)
10		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ≠ 0)
11	9, 10	anim12i 338	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
12	11	3adant3 1019	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0))
13		lgsdir 15151	. . 3 ⊢ ((((𝐴↑2) ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐴↑2) ≠ 0 ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
14	5, 12, 13	syl2anc 411	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)))
15		3anass 984	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) ↔ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)))
16	15	biimpri 133	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
17	16	3adant2 1018	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1))
18		lgssq 15156	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = 1)
19	17, 18	syl 14	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → ((𝐴↑2) /L 𝑁) = 1)
20	19	oveq1d 5933	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) /L 𝑁) · (𝐵 /L 𝑁)) = (1 · (𝐵 /L 𝑁)))
21	3, 4	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
22	21	3adant1 1017	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
23		lgscl 15130	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
24	22, 23	syl 14	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℤ)
25	24	zcnd 9440	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (𝐵 /L 𝑁) ∈ ℂ)
26	25	mulid2d 8038	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (1 · (𝐵 /L 𝑁)) = (𝐵 /L 𝑁))
27	14, 20, 26	3eqtrd 2230	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ (𝐴 gcd 𝑁) = 1)) → (((𝐴↑2) · 𝐵) /L 𝑁) = (𝐵 /L 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  0cc0 7872  1c1 7873   · cmul 7877  2c2 9033  ℤcz 9317  ↑cexp 10609   gcd cgcd 12079   /_L clgs 15113

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-xor 1387  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-frec 6444  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-er 6587  df-en 6795  df-dom 6796  df-fin 6797  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-9 9048  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-fz 10075  df-fzo 10209  df-fl 10339  df-mod 10394  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-ihash 10847  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-clim 11422  df-proddc 11694  df-dvds 11931  df-gcd 12080  df-prm 12246  df-phi 12349  df-pc 12423  df-lgs 15114

This theorem is referenced by: (None)