ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lgsmulsqcoprm GIF version

Theorem lgsmulsqcoprm 13940
Description: The Legendre (Jacobi) symbol is preserved under multiplication with a square of an integer coprime to the second argument. Theorem 9.9(d) in [ApostolNT] p. 188. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
lgsmulsqcoprm (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) /L ๐‘) = (๐ต /L ๐‘))

Proof of Theorem lgsmulsqcoprm
StepHypRef Expression
1 zsqcl 10558 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
21adantr 276 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3 simpl 109 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„ค)
4 simpl 109 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
52, 3, 43anim123i 1184 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
6 zcn 9229 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
7 sqne0 10553 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0))
86, 7syl 14 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โ†” ๐ด โ‰  0))
98biimpar 297 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โ†’ (๐ดโ†‘2) โ‰  0)
10 simpr 110 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ ๐ต โ‰  0)
119, 10anim12i 338 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0))
12113adant3 1017 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0))
13 lgsdir 13929 . . 3 ((((๐ดโ†‘2) โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ((๐ดโ†‘2) โ‰  0 โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) /L ๐‘) = (((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
145, 12, 13syl2anc 411 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) /L ๐‘) = (((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)))
15 3anass 982 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†” ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)))
1615biimpri 133 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
17163adant2 1016 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1))
18 lgssq 13934 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1) โ†’ ((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) = 1)
1917, 18syl 14 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ ((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) = 1)
2019oveq1d 5880 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) /L ๐‘) ยท (๐ต /L ๐‘)) = (1 ยท (๐ต /L ๐‘)))
213, 4anim12i 338 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
22213adant1 1015 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
23 lgscl 13908 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2422, 23syl 14 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„ค)
2524zcnd 9347 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐ต /L ๐‘) โˆˆ โ„‚)
2625mulid2d 7950 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (1 ยท (๐ต /L ๐‘)) = (๐ต /L ๐‘))
2714, 20, 263eqtrd 2212 1 (((๐ด โˆˆ โ„ค โˆง ๐ด โ‰  0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ค โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (๐ด gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (((๐ดโ†‘2) ยท ๐ต) /L ๐‘) = (๐ต /L ๐‘))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2146   โ‰  wne 2345  (class class class)co 5865  โ„‚cc 7784  0cc0 7786  1c1 7787   ยท cmul 7791  2c2 8941  โ„คcz 9224  โ†‘cexp 10487   gcd cgcd 11909   /L clgs 13891
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-coll 4113  ax-sep 4116  ax-nul 4124  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-iinf 4581  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1cn 7879  ax-1re 7880  ax-icn 7881  ax-addcl 7882  ax-addrcl 7883  ax-mulcl 7884  ax-mulrcl 7885  ax-addcom 7886  ax-mulcom 7887  ax-addass 7888  ax-mulass 7889  ax-distr 7890  ax-i2m1 7891  ax-0lt1 7892  ax-1rid 7893  ax-0id 7894  ax-rnegex 7895  ax-precex 7896  ax-cnre 7897  ax-pre-ltirr 7898  ax-pre-ltwlin 7899  ax-pre-lttrn 7900  ax-pre-apti 7901  ax-pre-ltadd 7902  ax-pre-mulgt0 7903  ax-pre-mulext 7904  ax-arch 7905  ax-caucvg 7906
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-xor 1376  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-reu 2460  df-rmo 2461  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-nul 3421  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-int 3841  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-tr 4097  df-id 4287  df-po 4290  df-iso 4291  df-iord 4360  df-on 4362  df-ilim 4363  df-suc 4365  df-iom 4584  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-f1 5213  df-fo 5214  df-f1o 5215  df-fv 5216  df-isom 5217  df-riota 5821  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-recs 6296  df-irdg 6361  df-frec 6382  df-1o 6407  df-2o 6408  df-oadd 6411  df-er 6525  df-en 6731  df-dom 6732  df-fin 6733  df-sup 6973  df-inf 6974  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-ltxr 7971  df-le 7972  df-sub 8104  df-neg 8105  df-reap 8506  df-ap 8513  df-div 8602  df-inn 8891  df-2 8949  df-3 8950  df-4 8951  df-5 8952  df-6 8953  df-7 8954  df-8 8955  df-9 8956  df-n0 9148  df-z 9225  df-uz 9500  df-q 9591  df-rp 9623  df-fz 9978  df-fzo 10111  df-fl 10238  df-mod 10291  df-seqfrec 10414  df-exp 10488  df-ihash 10722  df-cj 10818  df-re 10819  df-im 10820  df-rsqrt 10974  df-abs 10975  df-clim 11254  df-proddc 11526  df-dvds 11762  df-gcd 11910  df-prm 12074  df-phi 12177  df-pc 12251  df-lgs 13892
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator