ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  absexp GIF version

Theorem absexp 11072
Description: Absolute value of positive integer exponentiation. (Contributed by NM, 5-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
absexp ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))

Proof of Theorem absexp
Dummy variables 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑗 = 0 → (𝐴𝑗) = (𝐴↑0))
21fveq2d 5515 . . . . 5 (𝑗 = 0 → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴↑0)))
3 oveq2 5877 . . . . 5 (𝑗 = 0 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑0))
42, 3eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑗 = 0 → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0)))
54imbi2d 230 . . 3 (𝑗 = 0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0))))
6 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑘 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑘))
76fveq2d 5515 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴𝑘)))
8 oveq2 5877 . . . . 5 (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
97, 8eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑗 = 𝑘 → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)))
109imbi2d 230 . . 3 (𝑗 = 𝑘 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))))
11 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (𝐴𝑗) = (𝐴↑(𝑘 + 1)))
1211fveq2d 5515 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))))
13 oveq2 5877 . . . . 5 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
1412, 13eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1))))
1514imbi2d 230 . . 3 (𝑗 = (𝑘 + 1) → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
16 oveq2 5877 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑁 → (𝐴𝑗) = (𝐴𝑁))
1716fveq2d 5515 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → (abs‘(𝐴𝑗)) = (abs‘(𝐴𝑁)))
18 oveq2 5877 . . . . 5 (𝑗 = 𝑁 → ((abs‘𝐴)↑𝑗) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
1917, 18eqeq12d 2192 . . . 4 (𝑗 = 𝑁 → ((abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗) ↔ (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
2019imbi2d 230 . . 3 (𝑗 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑗)) = ((abs‘𝐴)↑𝑗)) ↔ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))))
21 abs1 11065 . . . 4 (abs‘1) = 1
22 exp0 10510 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑0) = 1)
2322fveq2d 5515 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = (abs‘1))
24 abscl 11044 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
2524recnd 7976 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
2625exp0d 10633 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘𝐴)↑0) = 1)
2721, 23, 263eqtr4a 2236 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑0)) = ((abs‘𝐴)↑0))
28 oveq1 5876 . . . . . . . 8 ((abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
2928adantl 277 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
30 expp1 10513 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) = ((𝐴𝑘) · 𝐴))
3130fveq2d 5515 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴𝑘) · 𝐴)))
32 expcl 10524 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
33 simpl 109 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℂ)
34 absmul 11062 . . . . . . . . . 10 (((𝐴𝑘) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (abs‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
3532, 33, 34syl2anc 411 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) · 𝐴)) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
3631, 35eqtrd 2210 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
3736adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘(𝐴𝑘)) · (abs‘𝐴)))
38 expp1 10513 . . . . . . . . 9 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
3925, 38sylan 283 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
4039adantr 276 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
4129, 37, 403eqtr4d 2220 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
4241exp31 364 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑘 ∈ ℕ0 → ((abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
4342com12 30 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
4443a2d 26 . . 3 (𝑘 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘)) → (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))))
455, 10, 15, 20, 27, 44nn0ind 9356 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁)))
4645impcom 125 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑁)) = ((abs‘𝐴)↑𝑁))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5212  (class class class)co 5869  cc 7800  0cc0 7802  1c1 7803   + caddc 7805   · cmul 7807  0cn0 9165  cexp 10505  abscabs 10990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-rp 9641  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992
This theorem is referenced by:  absexpzap  11073  abssq  11074  sqabs  11075  absexpd  11185  expcnvap0  11494  expcnv  11496  eftabs  11648  efaddlem  11666
  Copyright terms: Public domain W3C validator