Theorem expdioph 43377

Description: The exponential function is Diophantine. This result completes and encapsulates our development using Pell equation solution sequences and is sometimes regarded as Matiyasevich's theorem properly. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdioph	⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem expdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.42 1054	. . . 4 ⊢ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
2		ancom 460	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))
3		elmapi 8798	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
4		df-2 12220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = (1 + 1)
5		df-3 12221	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
6		ssid 3958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...3) ⊆ (1...3)
7	5, 6	jm2.27dlem5 43367	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...2) ⊆ (1...3)
8	4, 7	jm2.27dlem5 43367	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...1) ⊆ (1...3)
9		1nn 12168	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	9	jm2.27dlem3 43365	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ (1...1)
11	8, 10	sselii 3932	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ (1...3)
12		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
13	3, 11, 12	sylancl 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
14	13	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
15		elnn0 12415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0))
16	14, 15	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0))
17		elnn1uz2 12850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎‘1) ∈ ℕ ↔ ((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	17	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘1) ∈ ℕ → ((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
19	18	orim1i 910	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0) → (((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0))
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0))
21	20	biantrurd 532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
22		andir 1011	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
23		andir 1011	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
24	23	orbi1i 914	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
25	22, 24	bitri 275	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
26		nnz 12521	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
27		1exp 14026	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℤ → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
30	29	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1))
31		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = (1↑(𝑎‘2)))
32	31	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2))))
33	32	bibi1d 343	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎‘1) = 1 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1) ↔ ((𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
34	30, 33	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
35	34	pm5.32d 577	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
36		iba 527	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
37	36	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
38	37	anbi1d 632	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
39	35, 38	orbi12d 919	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))))
40		0exp 14032	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (0↑(𝑎‘2)) = 0)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (0↑(𝑎‘2)) = 0)
42	41	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0))
43		oveq1 7375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = (0↑(𝑎‘2)))
44	43	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2))))
45	44	bibi1d 343	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎‘1) = 0 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0) ↔ ((𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
46	42, 45	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
47	46	pm5.32d 577	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))
48	39, 47	orbi12d 919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
49	25, 48	bitrid 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
50	21, 49	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
51	50	pm5.32da 579	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))))
52	2, 51	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))))
53		ancom 460	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))
54		2nn 12230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
55	54	jm2.27dlem3 43365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (1...2)
56	7, 55	sselii 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (1...3)
57		ffvelcdm 7035	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
58	3, 56, 57	sylancl 587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
59		elnn0 12415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
60		pm2.53 852	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) = 0))
61	59, 60	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) = 0))
62		0nnn 12193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
63		eleq1 2825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
64	62, 63	mtbiri 327	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)
65	61, 64	impbid1 225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑎‘2) = 0))
66	58, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑎‘2) = 0))
67	66	anbi1d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
68	13	nn0cnd 12476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℂ)
69	68	exp0d 14075	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘1)↑0) = 1)
70	69	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0) ↔ (𝑎‘3) = 1))
71		oveq2 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = ((𝑎‘1)↑0))
72	71	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0)))
73	72	bibi1d 343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1) ↔ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
74	70, 73	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
75	74	pm5.32d 577	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
76	67, 75	bitrd 279	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
77	53, 76	bitrid 283	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
78	52, 77	orbi12d 919	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)) ↔ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))))
79	1, 78	bitrid 283	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))))
80	79	rabbiia 3405	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))}
81		3nn0 12431	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
82		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ (1...3) ∈ V
83		mzpproj 43091	. . . . . 6 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
84	82, 56, 83	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
85		elnnrabdioph 43161	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
86	81, 84, 85	mp2an 693	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
87		mzpproj 43091	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
88	82, 11, 87	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
89		1z 12533	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
90		mzpconstmpt 43094	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
91	82, 89, 90	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))
92		eqrabdioph 43131	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3))
93	81, 88, 91, 92	mp3an 1464	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3)
94		3nn 12236	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
95	94	jm2.27dlem3 43365	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ (1...3)
96		mzpproj 43091	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
97	82, 95, 96	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
98		eqrabdioph 43131	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3))
99	81, 97, 91, 98	mp3an 1464	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)
100		anrabdioph 43134	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
101	93, 99, 100	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
102		expdiophlem2 43376	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
103		orrabdioph 43135	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3))
104	101, 102, 103	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3)
105		eq0rabdioph 43130	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3))
106	81, 88, 105	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3)
107		eq0rabdioph 43130	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3))
108	81, 97, 107	mp2an 693	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)
109		anrabdioph 43134	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3))
110	106, 108, 109	mp2an 693	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3)
111		orrabdioph 43135	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3))
112	104, 110, 111	mp2an 693	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3)
113		anrabdioph 43134	. . . 4 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3))
114	86, 112, 113	mp2an 693	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3)
115		eq0rabdioph 43130	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3))
116	81, 84, 115	mp2an 693	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)
117		anrabdioph 43134	. . . 4 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
118	116, 99, 117	mp2an 693	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
119		orrabdioph 43135	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))} ∈ (Dioph‘3))
120	114, 118, 119	mp2an 693	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))} ∈ (Dioph‘3)
121	80, 120	eqeltri 2833	1 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} ∈ (Dioph‘3)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3401  Vcvv 3442   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  0cc0 11038  1c1 11039  ℕcn 12157  2c2 12212  3c3 12213  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  ↑cexp 13996  mzPolycmzp 43076  Diophcdioph 43109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-dju 9825  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-numer 16674  df-denom 16675  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-mzpcl 43077  df-mzp 43078  df-dioph 43110  df-squarenn 43195  df-pell1qr 43196  df-pell14qr 43197  df-pell1234qr 43198  df-pellfund 43199  df-rmx 43256  df-rmy 43257

This theorem is referenced by: (None)