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Theorem expdioph 41390
Description: The exponential function is Diophantine. This result completes and encapsulates our development using Pell equation solution sequences and is sometimes regarded as Matiyasevich's theorem properly. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdioph {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))} ∈ (Diophβ€˜3)

Proof of Theorem expdioph
StepHypRef Expression
1 pm4.42 1053 . . . 4 ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∨ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ∧ Β¬ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•)))
2 ancom 462 . . . . . 6 (((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ↔ ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))))
3 elmapi 8790 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ π‘Ž:(1...3)βŸΆβ„•0)
4 df-2 12221 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = (1 + 1)
5 df-3 12222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
6 ssid 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...3) βŠ† (1...3)
75, 6jm2.27dlem5 41380 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...2) βŠ† (1...3)
84, 7jm2.27dlem5 41380 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...1) βŠ† (1...3)
9 1nn 12169 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ β„•
109jm2.27dlem3 41378 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ (1...1)
118, 10sselii 3942 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ (1...3)
12 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž:(1...3)βŸΆβ„•0 ∧ 1 ∈ (1...3)) β†’ (π‘Žβ€˜1) ∈ β„•0)
133, 11, 12sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ (π‘Žβ€˜1) ∈ β„•0)
1413adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ (π‘Žβ€˜1) ∈ β„•0)
15 elnn0 12420 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Žβ€˜1) ∈ β„•0 ↔ ((π‘Žβ€˜1) ∈ β„• ∨ (π‘Žβ€˜1) = 0))
1614, 15sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ ((π‘Žβ€˜1) ∈ β„• ∨ (π‘Žβ€˜1) = 0))
17 elnn1uz2 12855 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Žβ€˜1) ∈ β„• ↔ ((π‘Žβ€˜1) = 1 ∨ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
1817biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Žβ€˜1) ∈ β„• β†’ ((π‘Žβ€˜1) = 1 ∨ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)))
1918orim1i 909 . . . . . . . . . 10 (((π‘Žβ€˜1) ∈ β„• ∨ (π‘Žβ€˜1) = 0) β†’ (((π‘Žβ€˜1) = 1 ∨ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∨ (π‘Žβ€˜1) = 0))
2016, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ (((π‘Žβ€˜1) = 1 ∨ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∨ (π‘Žβ€˜1) = 0))
2120biantrurd 534 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∨ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∨ (π‘Žβ€˜1) = 0) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))))
22 andir 1008 . . . . . . . . . 10 (((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∨ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∨ (π‘Žβ€˜1) = 0) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ↔ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∨ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))))
23 andir 1008 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∨ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ↔ (((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))))
2423orbi1i 913 . . . . . . . . . 10 (((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∨ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ↔ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))))
2522, 24bitri 275 . . . . . . . . 9 (((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∨ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∨ (π‘Žβ€˜1) = 0) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ↔ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))))
26 nnz 12525 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• β†’ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„€)
27 1exp 14003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„€ β†’ (1↑(π‘Žβ€˜2)) = 1)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• β†’ (1↑(π‘Žβ€˜2)) = 1)
2928adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ (1↑(π‘Žβ€˜2)) = 1)
3029eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ ((π‘Žβ€˜3) = (1↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = 1))
31 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Žβ€˜1) = 1 β†’ ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) = (1↑(π‘Žβ€˜2)))
3231eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Žβ€˜1) = 1 β†’ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = (1↑(π‘Žβ€˜2))))
3332bibi1d 344 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Žβ€˜1) = 1 β†’ (((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = 1) ↔ ((π‘Žβ€˜3) = (1↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = 1)))
3430, 33syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ ((π‘Žβ€˜1) = 1 β†’ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = 1)))
3534pm5.32d 578 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ (((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ↔ ((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1)))
36 iba 529 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• β†’ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•)))
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ↔ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•)))
3837anbi1d 631 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ↔ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))))
3935, 38orbi12d 918 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ↔ (((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))))))
40 0exp 14009 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• β†’ (0↑(π‘Žβ€˜2)) = 0)
4140adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ (0↑(π‘Žβ€˜2)) = 0)
4241eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ ((π‘Žβ€˜3) = (0↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = 0))
43 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Žβ€˜1) = 0 β†’ ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) = (0↑(π‘Žβ€˜2)))
4443eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Žβ€˜1) = 0 β†’ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = (0↑(π‘Žβ€˜2))))
4544bibi1d 344 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Žβ€˜1) = 0 β†’ (((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = 0) ↔ ((π‘Žβ€˜3) = (0↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = 0)))
4642, 45syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ ((π‘Žβ€˜1) = 0 β†’ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = 0)))
4746pm5.32d 578 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ (((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ↔ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0)))
4839, 47orbi12d 918 . . . . . . . . 9 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ (((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ↔ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0))))
4925, 48bitrid 283 . . . . . . . 8 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ (((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∨ (π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) ∨ (π‘Žβ€˜1) = 0) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ↔ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0))))
5021, 49bitrd 279 . . . . . . 7 ((π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) β†’ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0))))
5150pm5.32da 580 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ (((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ↔ ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0)))))
522, 51bitrid 283 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ (((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ↔ ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0)))))
53 ancom 462 . . . . . 6 (((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ∧ Β¬ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ↔ (Β¬ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))))
54 2nn 12231 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•
5554jm2.27dlem3 41378 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ (1...2)
567, 55sselii 3942 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (1...3)
57 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ž:(1...3)βŸΆβ„•0 ∧ 2 ∈ (1...3)) β†’ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•0)
583, 56, 57sylancl 587 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•0)
59 elnn0 12420 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„•0 ↔ ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∨ (π‘Žβ€˜2) = 0))
60 pm2.53 850 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∨ (π‘Žβ€˜2) = 0) β†’ (Β¬ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„• β†’ (π‘Žβ€˜2) = 0))
6159, 60sylbi 216 . . . . . . . . . 10 ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„•0 β†’ (Β¬ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„• β†’ (π‘Žβ€˜2) = 0))
62 0nnn 12194 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 0 ∈ β„•
63 eleq1 2822 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Žβ€˜2) = 0 β†’ ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ↔ 0 ∈ β„•))
6462, 63mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 ((π‘Žβ€˜2) = 0 β†’ Β¬ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•)
6561, 64impbid1 224 . . . . . . . . 9 ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„•0 β†’ (Β¬ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ↔ (π‘Žβ€˜2) = 0))
6658, 65syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ (Β¬ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ↔ (π‘Žβ€˜2) = 0))
6766anbi1d 631 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ ((Β¬ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ↔ ((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))))
6813nn0cnd 12480 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ (π‘Žβ€˜1) ∈ β„‚)
6968exp0d 14051 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ ((π‘Žβ€˜1)↑0) = 1)
7069eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑0) ↔ (π‘Žβ€˜3) = 1))
71 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Žβ€˜2) = 0 β†’ ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) = ((π‘Žβ€˜1)↑0))
7271eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 ((π‘Žβ€˜2) = 0 β†’ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑0)))
7372bibi1d 344 . . . . . . . . 9 ((π‘Žβ€˜2) = 0 β†’ (((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = 1) ↔ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑0) ↔ (π‘Žβ€˜3) = 1)))
7470, 73syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ ((π‘Žβ€˜2) = 0 β†’ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (π‘Žβ€˜3) = 1)))
7574pm5.32d 578 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ (((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ↔ ((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1)))
7667, 75bitrd 279 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ ((Β¬ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))) ↔ ((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1)))
7753, 76bitrid 283 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ (((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ∧ Β¬ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ↔ ((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1)))
7852, 77orbi12d 918 . . . 4 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ ((((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∨ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ∧ Β¬ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•)) ↔ (((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0))) ∨ ((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1))))
791, 78bitrid 283 . . 3 (π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) β†’ ((π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)) ↔ (((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0))) ∨ ((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1))))
8079rabbiia 3410 . 2 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))} = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0))) ∨ ((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1))}
81 3nn0 12436 . . . . 5 3 ∈ β„•0
82 ovex 7391 . . . . . 6 (1...3) ∈ V
83 mzpproj 41103 . . . . . 6 (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) β†’ (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ (π‘Žβ€˜2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3)))
8482, 56, 83mp2an 691 . . . . 5 (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ (π‘Žβ€˜2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3))
85 elnnrabdioph 41173 . . . . 5 ((3 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ (π‘Žβ€˜2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3))) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•} ∈ (Diophβ€˜3))
8681, 84, 85mp2an 691 . . . 4 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•} ∈ (Diophβ€˜3)
87 mzpproj 41103 . . . . . . . . 9 (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) β†’ (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ (π‘Žβ€˜1)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3)))
8882, 11, 87mp2an 691 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ (π‘Žβ€˜1)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3))
89 1z 12538 . . . . . . . . 9 1 ∈ β„€
90 mzpconstmpt 41106 . . . . . . . . 9 (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3)))
9182, 89, 90mp2an 691 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3))
92 eqrabdioph 41143 . . . . . . . 8 ((3 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ (π‘Žβ€˜1)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3)) ∧ (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3))) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜1) = 1} ∈ (Diophβ€˜3))
9381, 88, 91, 92mp3an 1462 . . . . . . 7 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜1) = 1} ∈ (Diophβ€˜3)
94 3nn 12237 . . . . . . . . . 10 3 ∈ β„•
9594jm2.27dlem3 41378 . . . . . . . . 9 3 ∈ (1...3)
96 mzpproj 41103 . . . . . . . . 9 (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) β†’ (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ (π‘Žβ€˜3)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3)))
9782, 95, 96mp2an 691 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ (π‘Žβ€˜3)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3))
98 eqrabdioph 41143 . . . . . . . 8 ((3 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ (π‘Žβ€˜3)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3)) ∧ (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3))) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜3) = 1} ∈ (Diophβ€˜3))
9981, 97, 91, 98mp3an 1462 . . . . . . 7 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜3) = 1} ∈ (Diophβ€˜3)
100 anrabdioph 41146 . . . . . . 7 (({π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜1) = 1} ∈ (Diophβ€˜3) ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜3) = 1} ∈ (Diophβ€˜3)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1)} ∈ (Diophβ€˜3))
10193, 99, 100mp2an 691 . . . . . 6 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1)} ∈ (Diophβ€˜3)
102 expdiophlem2 41389 . . . . . 6 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))} ∈ (Diophβ€˜3)
103 orrabdioph 41147 . . . . . 6 (({π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1)} ∈ (Diophβ€˜3) ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))} ∈ (Diophβ€˜3)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))))} ∈ (Diophβ€˜3))
104101, 102, 103mp2an 691 . . . . 5 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))))} ∈ (Diophβ€˜3)
105 eq0rabdioph 41142 . . . . . . 7 ((3 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ (π‘Žβ€˜1)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3))) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜1) = 0} ∈ (Diophβ€˜3))
10681, 88, 105mp2an 691 . . . . . 6 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜1) = 0} ∈ (Diophβ€˜3)
107 eq0rabdioph 41142 . . . . . . 7 ((3 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ (π‘Žβ€˜3)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3))) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜3) = 0} ∈ (Diophβ€˜3))
10881, 97, 107mp2an 691 . . . . . 6 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜3) = 0} ∈ (Diophβ€˜3)
109 anrabdioph 41146 . . . . . 6 (({π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜1) = 0} ∈ (Diophβ€˜3) ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜3) = 0} ∈ (Diophβ€˜3)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0)} ∈ (Diophβ€˜3))
110106, 108, 109mp2an 691 . . . . 5 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0)} ∈ (Diophβ€˜3)
111 orrabdioph 41147 . . . . 5 (({π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))))} ∈ (Diophβ€˜3) ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0)} ∈ (Diophβ€˜3)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0))} ∈ (Diophβ€˜3))
112104, 110, 111mp2an 691 . . . 4 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0))} ∈ (Diophβ€˜3)
113 anrabdioph 41146 . . . 4 (({π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•} ∈ (Diophβ€˜3) ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0))} ∈ (Diophβ€˜3)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0)))} ∈ (Diophβ€˜3))
11486, 112, 113mp2an 691 . . 3 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0)))} ∈ (Diophβ€˜3)
115 eq0rabdioph 41142 . . . . 5 ((3 ∈ β„•0 ∧ (π‘Ž ∈ (β„€ ↑m (1...3)) ↦ (π‘Žβ€˜2)) ∈ (mzPolyβ€˜(1...3))) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜2) = 0} ∈ (Diophβ€˜3))
11681, 84, 115mp2an 691 . . . 4 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜2) = 0} ∈ (Diophβ€˜3)
117 anrabdioph 41146 . . . 4 (({π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜2) = 0} ∈ (Diophβ€˜3) ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜3) = 1} ∈ (Diophβ€˜3)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1)} ∈ (Diophβ€˜3))
118116, 99, 117mp2an 691 . . 3 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1)} ∈ (Diophβ€˜3)
119 orrabdioph 41147 . . 3 (({π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0)))} ∈ (Diophβ€˜3) ∧ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ ((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1)} ∈ (Diophβ€˜3)) β†’ {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0))) ∨ ((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1))} ∈ (Diophβ€˜3))
120114, 118, 119mp2an 691 . 2 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (((π‘Žβ€˜2) ∈ β„• ∧ ((((π‘Žβ€˜1) = 1 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1) ∨ (((π‘Žβ€˜1) ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (π‘Žβ€˜2) ∈ β„•) ∧ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2)))) ∨ ((π‘Žβ€˜1) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 0))) ∨ ((π‘Žβ€˜2) = 0 ∧ (π‘Žβ€˜3) = 1))} ∈ (Diophβ€˜3)
12180, 120eqeltri 2830 1 {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m (1...3)) ∣ (π‘Žβ€˜3) = ((π‘Žβ€˜1)↑(π‘Žβ€˜2))} ∈ (Diophβ€˜3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3406  Vcvv 3444   ↦ cmpt 5189  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ↑m cmap 8768  0cc0 11056  1c1 11057  β„•cn 12158  2c2 12213  3c3 12214  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β„€β‰₯cuz 12768  ...cfz 13430  β†‘cexp 13973  mzPolycmzp 41088  Diophcdioph 41121
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-omul 8418  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-dju 9842  df-card 9880  df-acn 9883  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-xnn0 12491  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-dvds 16142  df-gcd 16380  df-prm 16553  df-numer 16615  df-denom 16616  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-mzpcl 41089  df-mzp 41090  df-dioph 41122  df-squarenn 41207  df-pell1qr 41208  df-pell14qr 41209  df-pell1234qr 41210  df-pellfund 41211  df-rmx 41268  df-rmy 41269
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