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Theorem expdioph 43012
Description: The exponential function is Diophantine. This result completes and encapsulates our development using Pell equation solution sequences and is sometimes regarded as Matiyasevich's theorem properly. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
expdioph {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem expdioph
StepHypRef Expression
1 pm4.42 1053 . . . 4 ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
2 ancom 460 . . . . . 6 (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))
3 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
4 df-2 12327 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 = (1 + 1)
5 df-3 12328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 = (2 + 1)
6 ssid 4018 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (1...3) ⊆ (1...3)
75, 6jm2.27dlem5 43002 . . . . . . . . . . . . . . 15 (1...2) ⊆ (1...3)
84, 7jm2.27dlem5 43002 . . . . . . . . . . . . . 14 (1...1) ⊆ (1...3)
9 1nn 12275 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℕ
109jm2.27dlem3 43000 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ (1...1)
118, 10sselii 3992 . . . . . . . . . . . . 13 1 ∈ (1...3)
12 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
133, 11, 12sylancl 586 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
1413adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
15 elnn0 12526 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0))
1614, 15sylib 218 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0))
17 elnn1uz2 12965 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎‘1) ∈ ℕ ↔ ((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)))
1817biimpi 216 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘1) ∈ ℕ → ((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)))
1918orim1i 909 . . . . . . . . . 10 (((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0) → (((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0))
2016, 19syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0))
2120biantrurd 532 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
22 andir 1010 . . . . . . . . . 10 (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
23 andir 1010 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
2423orbi1i 913 . . . . . . . . . 10 (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
2522, 24bitri 275 . . . . . . . . 9 (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
26 nnz 12632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
27 1exp 14129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑎‘2) ∈ ℤ → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
2826, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
2928adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
3029eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1))
31 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = (1↑(𝑎‘2)))
3231eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2))))
3332bibi1d 343 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎‘1) = 1 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1) ↔ ((𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
3430, 33syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
3534pm5.32d 577 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
36 iba 527 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
3736adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
3837anbi1d 631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
3935, 38orbi12d 918 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))))
40 0exp 14135 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (0↑(𝑎‘2)) = 0)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (0↑(𝑎‘2)) = 0)
4241eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0))
43 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = (0↑(𝑎‘2)))
4443eqeq2d 2746 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2))))
4544bibi1d 343 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎‘1) = 0 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0) ↔ ((𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
4642, 45syl5ibrcom 247 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
4746pm5.32d 577 . . . . . . . . . 10 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))
4839, 47orbi12d 918 . . . . . . . . 9 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
4925, 48bitrid 283 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
5021, 49bitrd 279 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
5150pm5.32da 579 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))))
522, 51bitrid 283 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))))
53 ancom 460 . . . . . 6 (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))
54 2nn 12337 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
5554jm2.27dlem3 43000 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ (1...2)
567, 55sselii 3992 . . . . . . . . . 10 2 ∈ (1...3)
57 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . . 10 ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
583, 56, 57sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
59 elnn0 12526 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
60 pm2.53 851 . . . . . . . . . . 11 (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) = 0))
6159, 60sylbi 217 . . . . . . . . . 10 ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) = 0))
62 0nnn 12300 . . . . . . . . . . 11 ¬ 0 ∈ ℕ
63 eleq1 2827 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
6462, 63mtbiri 327 . . . . . . . . . 10 ((𝑎‘2) = 0 → ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)
6561, 64impbid1 225 . . . . . . . . 9 ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑎‘2) = 0))
6658, 65syl 17 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑎‘2) = 0))
6766anbi1d 631 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → ((¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
6813nn0cnd 12587 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℂ)
6968exp0d 14177 . . . . . . . . . 10 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → ((𝑎‘1)↑0) = 1)
7069eqeq2d 2746 . . . . . . . . 9 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0) ↔ (𝑎‘3) = 1))
71 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = ((𝑎‘1)↑0))
7271eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0)))
7372bibi1d 343 . . . . . . . . 9 ((𝑎‘2) = 0 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1) ↔ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
7470, 73syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
7574pm5.32d 577 . . . . . . 7 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
7667, 75bitrd 279 . . . . . 6 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → ((¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
7753, 76bitrid 283 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
7852, 77orbi12d 918 . . . 4 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → ((((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)) ↔ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))))
791, 78bitrid 283 . . 3 (𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))))
8079rabbiia 3437 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} = {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))}
81 3nn0 12542 . . . . 5 3 ∈ ℕ0
82 ovex 7464 . . . . . 6 (1...3) ∈ V
83 mzpproj 42725 . . . . . 6 (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
8482, 56, 83mp2an 692 . . . . 5 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
85 elnnrabdioph 42795 . . . . 5 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
8681, 84, 85mp2an 692 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
87 mzpproj 42725 . . . . . . . . 9 (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
8882, 11, 87mp2an 692 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
89 1z 12645 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℤ
90 mzpconstmpt 42728 . . . . . . . . 9 (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
9182, 89, 90mp2an 692 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))
92 eqrabdioph 42765 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3))
9381, 88, 91, 92mp3an 1460 . . . . . . 7 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3)
94 3nn 12343 . . . . . . . . . 10 3 ∈ ℕ
9594jm2.27dlem3 43000 . . . . . . . . 9 3 ∈ (1...3)
96 mzpproj 42725 . . . . . . . . 9 (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
9782, 95, 96mp2an 692 . . . . . . . 8 (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
98 eqrabdioph 42765 . . . . . . . 8 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3))
9981, 97, 91, 98mp3an 1460 . . . . . . 7 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)
100 anrabdioph 42768 . . . . . . 7 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
10193, 99, 100mp2an 692 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
102 expdiophlem2 43011 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
103 orrabdioph 42769 . . . . . 6 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3))
104101, 102, 103mp2an 692 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3)
105 eq0rabdioph 42764 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3))
10681, 88, 105mp2an 692 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3)
107 eq0rabdioph 42764 . . . . . . 7 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3))
10881, 97, 107mp2an 692 . . . . . 6 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)
109 anrabdioph 42768 . . . . . 6 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3))
110106, 108, 109mp2an 692 . . . . 5 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3)
111 orrabdioph 42769 . . . . 5 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3))
112104, 110, 111mp2an 692 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3)
113 anrabdioph 42768 . . . 4 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3))
11486, 112, 113mp2an 692 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3)
115 eq0rabdioph 42764 . . . . 5 ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3))
11681, 84, 115mp2an 692 . . . 4 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)
117 anrabdioph 42768 . . . 4 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
118116, 99, 117mp2an 692 . . 3 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
119 orrabdioph 42769 . . 3 (({𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))} ∈ (Dioph‘3))
120114, 118, 119mp2an 692 . 2 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))} ∈ (Dioph‘3)
12180, 120eqeltri 2835 1 {𝑎 ∈ (ℕ0m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} ∈ (Dioph‘3)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  cmpt 5231  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865  0cc0 11153  1c1 11154  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  cexp 14099  mzPolycmzp 42710  Diophcdioph 42743
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-dvds 16288  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-numer 16769  df-denom 16770  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26613  df-mzpcl 42711  df-mzp 42712  df-dioph 42744  df-squarenn 42829  df-pell1qr 42830  df-pell14qr 42831  df-pell1234qr 42832  df-pellfund 42833  df-rmx 42890  df-rmy 42891
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