Theorem expdioph 44124

Description: The exponential function is Diophantine. This result completes and encapsulates our development using Pell equation solution sequences and is sometimes regarded as Matiyasevich's theorem properly. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdioph	⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem expdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.42 1069	. . . 4 ⊢ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
2		ancom 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))
3		elmapi 8873	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
4		df-2 12409	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = (1 + 1)
5		df-3 12410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
6		ssid 3930	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...3) ⊆ (1...3)
7	5, 6	jm2.27dlem5 44114	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...2) ⊆ (1...3)
8	4, 7	jm2.27dlem5 44114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...1) ⊆ (1...3)
9		1nn 12350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	9	jm2.27dlem3 44112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ (1...1)
11	8, 10	sselii 3905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ (1...3)
12		ffvelcdm 7082	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
13	3, 11, 12	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
14	13	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
15		elnn0 12612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0))
16	14, 15	sylib 221	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0))
17		elnn1uz2 13056	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎‘1) ∈ ℕ ↔ ((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	17	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘1) ∈ ℕ → ((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
19	18	orim1i 923	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0) → (((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0))
20	16, 19	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0))
21	20	biantrurd 542	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
22		andir 1026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
23		andir 1026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
24	23	orbi1i 927	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
25	22, 24	bitri 278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
26		nnz 12718	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
27		1exp 14238	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℤ → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
28	26, 27	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
29	28	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
30	29	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1))
31		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = (1↑(𝑎‘2)))
32	31	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2))))
33	32	bibi1d 346	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎‘1) = 1 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1) ↔ ((𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
34	30, 33	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
35	34	pm5.32d 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
36		iba 537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
37	36	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
38	37	anbi1d 643	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
39	35, 38	orbi12d 932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))))
40		0exp 14244	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (0↑(𝑎‘2)) = 0)
41	40	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (0↑(𝑎‘2)) = 0)
42	41	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0))
43		oveq1 7428	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = (0↑(𝑎‘2)))
44	43	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2))))
45	44	bibi1d 346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎‘1) = 0 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0) ↔ ((𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
46	42, 45	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
47	46	pm5.32d 588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))
48	39, 47	orbi12d 932	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
49	25, 48	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
50	21, 49	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
51	50	pm5.32da 590	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))))
52	2, 51	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))))
53		ancom 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))
54		2nn 12420	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
55	54	jm2.27dlem3 44112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (1...2)
56	7, 55	sselii 3905	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (1...3)
57		ffvelcdm 7082	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
58	3, 56, 57	sylancl 598	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
59		elnn0 12612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
60		pm2.53 865	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) = 0))
61	59, 60	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) = 0))
62		0nnn 12378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
63		eleq1 2848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
64	62, 63	mtbiri 330	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)
65	61, 64	impbid1 228	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑎‘2) = 0))
66	58, 65	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑎‘2) = 0))
67	66	anbi1d 643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
68	13	nn0cnd 12673	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℂ)
69	68	exp0d 14287	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘1)↑0) = 1)
70	69	eqeq2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0) ↔ (𝑎‘3) = 1))
71		oveq2 7429	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = ((𝑎‘1)↑0))
72	71	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0)))
73	72	bibi1d 346	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1) ↔ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
74	70, 73	syl5ibrcom 250	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
75	74	pm5.32d 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
76	67, 75	bitrd 282	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
77	53, 76	bitrid 286	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
78	52, 77	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)) ↔ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))))
79	1, 78	bitrid 286	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))))
80	79	rabbiia 3416	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))}
81		3nn0 12628	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
82		ovex 7454	. . . . . 6 ⊢ (1...3) ∈ V
83		mzpproj 43842	. . . . . 6 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
84	82, 56, 83	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
85		elnnrabdioph 43908	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
86	81, 84, 85	mp2an 705	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
87		mzpproj 43842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
88	82, 11, 87	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
89		1z 12730	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
90		mzpconstmpt 43845	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
91	82, 89, 90	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))
92		eqrabdioph 43882	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3))
93	81, 88, 91, 92	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3)
94		3nn 12426	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
95	94	jm2.27dlem3 44112	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ (1...3)
96		mzpproj 43842	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
97	82, 95, 96	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
98		eqrabdioph 43882	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3))
99	81, 97, 91, 98	mp3an 1490	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)
100		anrabdioph 43885	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
101	93, 99, 100	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
102		expdiophlem2 44123	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
103		orrabdioph 43886	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3))
104	101, 102, 103	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3)
105		eq0rabdioph 43881	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3))
106	81, 88, 105	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3)
107		eq0rabdioph 43881	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3))
108	81, 97, 107	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)
109		anrabdioph 43885	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3))
110	106, 108, 109	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3)
111		orrabdioph 43886	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3))
112	104, 110, 111	mp2an 705	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3)
113		anrabdioph 43885	. . . 4 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3))
114	86, 112, 113	mp2an 705	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3)
115		eq0rabdioph 43881	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3))
116	81, 84, 115	mp2an 705	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)
117		anrabdioph 43885	. . . 4 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
118	116, 99, 117	mp2an 705	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
119		orrabdioph 43886	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))} ∈ (Dioph‘3))
120	114, 118, 119	mp2an 705	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))} ∈ (Dioph‘3)
121	80, 120	eqeltri 2856	1 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} ∈ (Dioph‘3)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ↑_m cmap 8851  0cc0 11204  1c1 11205  ℕcn 12339  2c2 12401  3c3 12402  ℕ₀cn0 12610  ℤcz 12697  ℤ_≥cuz 12969  ...cfz 13643  ↑cexp 14208  mzPolycmzp 43827  Diophcdioph 43860

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-dju 9986  df-card 10024  df-acn 10027  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-xnn0 12684  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ioc 13485  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-mod 14014  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-sin 16241  df-cos 16242  df-pi 16244  df-dvds 16429  df-gcd 16671  df-prm 16853  df-numer 16917  df-denom 16918  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193  df-log 26890  df-mzpcl 43828  df-mzp 43829  df-dioph 43861  df-squarenn 43942  df-pell1qr 43943  df-pell14qr 43944  df-pell1234qr 43945  df-pellfund 43946  df-rmx 44003  df-rmy 44004

This theorem is used by: (None)