Theorem expdioph 43475

Description: The exponential function is Diophantine. This result completes and encapsulates our development using Pell equation solution sequences and is sometimes regarded as Matiyasevich's theorem properly. (Contributed by Stefan O'Rear, 17-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
expdioph	⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} ∈ (Dioph‘3)

Proof of Theorem expdioph

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.42 1059	. . . 4 ⊢ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
2		ancom 461	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))
3		elmapi 8793	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → 𝑎:(1...3)⟶ℕ0)
4		df-2 12242	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 2 = (1 + 1)
5		df-3 12243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 = (2 + 1)
6		ssid 3944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (1...3) ⊆ (1...3)
7	5, 6	jm2.27dlem5 43465	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (1...2) ⊆ (1...3)
8	4, 7	jm2.27dlem5 43465	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (1...1) ⊆ (1...3)
9		1nn 12183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 1 ∈ ℕ
10	9	jm2.27dlem3 43463	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 1 ∈ (1...1)
11	8, 10	sselii 3919	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ (1...3)
12		ffvelcdm 7029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
13	3, 11, 12	sylancl 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
14	13	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (𝑎‘1) ∈ ℕ0)
15		elnn0 12437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘1) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0))
16	14, 15	sylib 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0))
17		elnn1uz2 12873	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎‘1) ∈ ℕ ↔ ((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
18	17	biimpi 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘1) ∈ ℕ → ((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)))
19	18	orim1i 915	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎‘1) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘1) = 0) → (((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0))
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0))
21	20	biantrurd 537	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
22		andir 1016	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
23		andir 1016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
24	23	orbi1i 919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
25	22, 24	bitri 276	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
26		nnz 12543	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) ∈ ℤ)
27		1exp 14051	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℤ → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
28	26, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
29	28	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (1↑(𝑎‘2)) = 1)
30	29	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1))
31		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = (1↑(𝑎‘2)))
32	31	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2))))
33	32	bibi1d 344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎‘1) = 1 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1) ↔ ((𝑎‘3) = (1↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
34	30, 33	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) = 1 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
35	34	pm5.32d 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
36		iba 532	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
37	36	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ↔ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ)))
38	37	anbi1d 637	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
39	35, 38	orbi12d 924	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))))
40		0exp 14057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ → (0↑(𝑎‘2)) = 0)
41	40	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (0↑(𝑎‘2)) = 0)
42	41	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0))
43		oveq1 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = (0↑(𝑎‘2)))
44	43	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2))))
45	44	bibi1d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎‘1) = 0 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0) ↔ ((𝑎‘3) = (0↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
46	42, 45	syl5ibrcom 248	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘1) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 0)))
47	46	pm5.32d 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))
48	39, 47	orbi12d 924	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ∨ ((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
49	25, 48	bitrid 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → (((((𝑎‘1) = 1 ∨ (𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2)) ∨ (𝑎‘1) = 0) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
50	21, 49	bitrd 280	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))))
51	50	pm5.32da 584	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))))
52	2, 51	bitrid 284	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))))
53		ancom 461	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))
54		2nn 12252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
55	54	jm2.27dlem3 43463	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ (1...2)
56	7, 55	sselii 3919	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ (1...3)
57		ffvelcdm 7029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎:(1...3)⟶ℕ0 ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
58	3, 56, 57	sylancl 592	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘2) ∈ ℕ0)
59		elnn0 12437	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0))
60		pm2.53 857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∨ (𝑎‘2) = 0) → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) = 0))
61	59, 60	sylbi 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ → (𝑎‘2) = 0))
62		0nnn 12211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
63		eleq1 2828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ 0 ∈ ℕ))
64	62, 63	mtbiri 328	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)
65	61, 64	impbid1 226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎‘2) ∈ ℕ0 → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑎‘2) = 0))
66	58, 65	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ↔ (𝑎‘2) = 0))
67	66	anbi1d 637	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))))
68	13	nn0cnd 12498	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (𝑎‘1) ∈ ℂ)
69	68	exp0d 14100	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘1)↑0) = 1)
70	69	eqeq2d 2751	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0) ↔ (𝑎‘3) = 1))
71		oveq2 7371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) = ((𝑎‘1)↑0))
72	71	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0)))
73	72	bibi1d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎‘2) = 0 → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1) ↔ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑0) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
74	70, 73	syl5ibrcom 248	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘2) = 0 → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (𝑎‘3) = 1)))
75	74	pm5.32d 582	. . . . . . 7 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
76	67, 75	bitrd 280	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
77	53, 76	bitrid 284	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → (((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ↔ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)))
78	52, 77	orbi12d 924	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∨ ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ∧ ¬ (𝑎‘2) ∈ ℕ)) ↔ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))))
79	1, 78	bitrid 284	. . 3 ⊢ (𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) → ((𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)) ↔ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))))
80	79	rabbiia 3396	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} = {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))}
81		3nn0 12453	. . . . 5 ⊢ 3 ∈ ℕ0
82		ovex 7396	. . . . . 6 ⊢ (1...3) ∈ V
83		mzpproj 43193	. . . . . 6 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 2 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
84	82, 56, 83	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
85		elnnrabdioph 43259	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3))
86	81, 84, 85	mp2an 698	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3)
87		mzpproj 43193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
88	82, 11, 87	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
89		1z 12555	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℤ
90		mzpconstmpt 43196	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
91	82, 89, 90	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))
92		eqrabdioph 43233	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3))
93	81, 88, 91, 92	mp3an 1469	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3)
94		3nn 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ 3 ∈ ℕ
95	94	jm2.27dlem3 43463	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ (1...3)
96		mzpproj 43193	. . . . . . . . 9 ⊢ (((1...3) ∈ V ∧ 3 ∈ (1...3)) → (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)))
97	82, 95, 96	mp2an 698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))
98		eqrabdioph 43233	. . . . . . . 8 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3)) ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ 1) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3))
99	81, 97, 91, 98	mp3an 1469	. . . . . . 7 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)
100		anrabdioph 43236	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 1} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
101	93, 99, 100	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
102		expdiophlem2 43474	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)
103		orrabdioph 43237	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3))
104	101, 102, 103	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3)
105		eq0rabdioph 43232	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘1)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3))
106	81, 88, 105	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3)
107		eq0rabdioph 43232	. . . . . . 7 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘3)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3))
108	81, 97, 107	mp2an 698	. . . . . 6 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)
109		anrabdioph 43236	. . . . . 6 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘1) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 0} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3))
110	106, 108, 109	mp2an 698	. . . . 5 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3)
111		orrabdioph 43237	. . . . 5 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3))
112	104, 110, 111	mp2an 698	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3)
113		anrabdioph 43236	. . . 4 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) ∈ ℕ} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3))
114	86, 112, 113	mp2an 698	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3)
115		eq0rabdioph 43232	. . . . 5 ⊢ ((3 ∈ ℕ0 ∧ (𝑎 ∈ (ℤ ↑m (1...3)) ↦ (𝑎‘2)) ∈ (mzPoly‘(1...3))) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3))
116	81, 84, 115	mp2an 698	. . . 4 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3)
117		anrabdioph 43236	. . . 4 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘2) = 0} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = 1} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3))
118	116, 99, 117	mp2an 698	. . 3 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)
119		orrabdioph 43237	. . 3 ⊢ (({𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0)))} ∈ (Dioph‘3) ∧ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1)} ∈ (Dioph‘3)) → {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))} ∈ (Dioph‘3))
120	114, 118, 119	mp2an 698	. 2 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (((𝑎‘2) ∈ ℕ ∧ ((((𝑎‘1) = 1 ∧ (𝑎‘3) = 1) ∨ (((𝑎‘1) ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑎‘2) ∈ ℕ) ∧ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2)))) ∨ ((𝑎‘1) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 0))) ∨ ((𝑎‘2) = 0 ∧ (𝑎‘3) = 1))} ∈ (Dioph‘3)
121	80, 120	eqeltri 2836	1 ⊢ {𝑎 ∈ (ℕ0 ↑m (1...3)) ∣ (𝑎‘3) = ((𝑎‘1)↑(𝑎‘2))} ∈ (Dioph‘3)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {crab 3392  Vcvv 3432   ↦ cmpt 5160  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363   ↑_m cmap 8770  0cc0 11036  1c1 11037  ℕcn 12172  2c2 12234  3c3 12235  ℕ₀cn0 12435  ℤcz 12522  ℤ_≥cuz 12786  ...cfz 13459  ↑cexp 14021  mzPolycmzp 43178  Diophcdioph 43211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-acn 9864  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-xnn0 12509  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15027  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-ef 16030  df-sin 16032  df-cos 16033  df-pi 16035  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-prm 16639  df-numer 16703  df-denom 16704  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-limc 25858  df-dv 25859  df-log 26545  df-mzpcl 43179  df-mzp 43180  df-dioph 43212  df-squarenn 43293  df-pell1qr 43294  df-pell14qr 43295  df-pell1234qr 43296  df-pellfund 43297  df-rmx 43354  df-rmy 43355

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