Theorem exprmfct 16741

Description: Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exprmfct	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem exprmfct

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12924	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		eleq1 2829	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 1 ∈ (ℤ≥‘2)))
3	2	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)))
4		eleq1 2829	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2)))
5		breq2 5147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝑦))
6	5	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦))
7	4, 6	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦)))
8		eleq1 2829	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)))
9		breq2 5147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝑧))
10	9	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑧))
11	8, 10	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑧)))
12		eleq1 2829	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2)))
13		breq2 5147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
14	13	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
15	12, 14	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
16		eleq1 2829	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
17		breq2 5147	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
18	17	rexbidv 3179	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁))
19	16, 18	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)))
20		1m1e0 12338	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
21		uz2m1nn 12965	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 − 1) ∈ ℕ)
22	20, 21	eqeltrrid 2846	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℕ)
23		0nnn 12302	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
24	23	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
25	22, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
26		prmz 16712	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
27		iddvds 16307	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 𝑥)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∥ 𝑥)
29		breq1 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑥 ∥ 𝑥))
30	29	rspcev 3622	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
31	28, 30	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
32	31	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥))
33		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))
34		eluzelz 12888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℤ)
36		eluzelz 12888	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
37	36	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑧 ∈ ℤ)
38		dvdsmul1 16315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
39	35, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
40		prmz 16712	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
42	35, 37	zmulcld 12728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
43		dvdstr 16331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝑦 ∧ 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
44	41, 35, 42, 43	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑦 ∧ 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
45	39, 44	mpan2d 694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑦 → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
46	45	reximdva 3168	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
47	33, 46	embantd 59	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
48	47	a1dd 50	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
49	48	adantrd 491	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑧)) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
50	3, 7, 11, 15, 19, 25, 32, 49	prmind 16723	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁))
51	1, 50	mpcom 38	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   − cmin 11492  ℕcn 12266  2c2 12321  ℤcz 12613  ℤ_≥cuz 12878   ∥ cdvds 16290  ℙcprime 16708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709

This theorem is referenced by:  prmdvdsfz  16742  isprm5  16744  maxprmfct  16746  rpexp  16759  prmdvdsncoprmbd  16764  pc2dvds  16917  oddprmdvds  16941  prmunb  16952  ablfacrplem  20085  muval1  27176  musum  27234  lgsne0  27379  dchrisum0flb  27554  frgrreggt1  30412  nn0prpwlem  36323  aks5  42205  prmdvdsfmtnof1lem1  47571  prmdvdsfmtnof  47573