Theorem exprmfct 16681

Description: Every integer greater than or equal to 2 has a prime factor. (Contributed by Paul Chapman, 26-Oct-2012.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
exprmfct	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)

Distinct variable group:   𝑁,𝑝

Proof of Theorem exprmfct

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluz2nn 12854	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑁 ∈ ℕ)
2		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 1 ∈ (ℤ≥‘2)))
3	2	imbi1d 341	. . 3 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)))
4		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2)))
5		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝑦))
6	5	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦))
7	4, 6	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦)))
8		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)))
9		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝑧))
10	9	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑧))
11	8, 10	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑧)))
12		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ (𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2)))
13		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
14	13	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
15	12, 14	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 · 𝑧) → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
16		eleq1 2817	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘2)))
17		breq2 5114	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑝 ∥ 𝑁))
18	17	rexbidv 3158	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥 ↔ ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁))
19	16, 18	imbi12d 344	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥) ↔ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)))
20		1m1e0 12265	. . . . 5 ⊢ (1 − 1) = 0
21		uz2m1nn 12889	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → (1 − 1) ∈ ℕ)
22	20, 21	eqeltrrid 2834	. . . 4 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 ∈ ℕ)
23		0nnn 12229	. . . . 5 ⊢ ¬ 0 ∈ ℕ
24	23	pm2.21i 119	. . . 4 ⊢ (0 ∈ ℕ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
25	22, 24	syl 17	. . 3 ⊢ (1 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
26		prmz 16652	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∈ ℤ)
27		iddvds 16246	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∥ 𝑥)
28	26, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → 𝑥 ∥ 𝑥)
29		breq1 5113	. . . . . 6 ⊢ (𝑝 = 𝑥 → (𝑝 ∥ 𝑥 ↔ 𝑥 ∥ 𝑥))
30	29	rspcev 3591	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℙ ∧ 𝑥 ∥ 𝑥) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
31	28, 30	mpdan 687	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥)
32	31	a1d 25	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℙ → (𝑥 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑥))
33		simpl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑦 ∈ (ℤ≥‘2))
34		eluzelz 12810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑦 ∈ ℤ)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∈ ℤ)
36		eluzelz 12810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝑧 ∈ ℤ)
37	36	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑧 ∈ ℤ)
38		dvdsmul1 16254	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
39	35, 37, 38	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧))
40		prmz 16652	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 ∈ ℙ → 𝑝 ∈ ℤ)
41	40	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → 𝑝 ∈ ℤ)
42	35, 37	zmulcld 12651	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ)
43		dvdstr 16271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑝 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ (𝑦 · 𝑧) ∈ ℤ) → ((𝑝 ∥ 𝑦 ∧ 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
44	41, 35, 42, 43	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → ((𝑝 ∥ 𝑦 ∧ 𝑦 ∥ (𝑦 · 𝑧)) → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
45	39, 44	mpan2d 694	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ 𝑝 ∈ ℙ) → (𝑝 ∥ 𝑦 → 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
46	45	reximdva 3147	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦 → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
47	33, 46	embantd 59	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧)))
48	47	a1dd 50	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
49	48	adantrd 491	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑧 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝑦 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑦) ∧ (𝑧 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑧)) → ((𝑦 · 𝑧) ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ (𝑦 · 𝑧))))
50	3, 7, 11, 15, 19, 25, 32, 49	prmind 16663	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁))
51	1, 50	mpcom 38	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘2) → ∃𝑝 ∈ ℙ 𝑝 ∥ 𝑁)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  0cc0 11075  1c1 11076   · cmul 11080   − cmin 11412  ℕcn 12193  2c2 12248  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800   ∥ cdvds 16229  ℙcprime 16648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-prm 16649

This theorem is referenced by:  prmdvdsfz  16682  isprm5  16684  maxprmfct  16686  rpexp  16699  prmdvdsncoprmbd  16704  pc2dvds  16857  oddprmdvds  16881  prmunb  16892  ablfacrplem  20004  muval1  27050  musum  27108  lgsne0  27253  dchrisum0flb  27428  frgrreggt1  30329  cos9thpiminplylem2  33780  nn0prpwlem  36317  aks5  42199  prmdvdsfmtnof1lem1  47589  prmdvdsfmtnof  47591