Theorem 2wlkdlem9 29870

Description: Lemma 9 for 2wlkd 29872. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem9	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))

Proof of Theorem 2wlkdlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2		2wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
3		2wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
4		2wlkd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
5		2wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
6	2, 3, 4, 5, 1	2wlkdlem8 29869	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾))
7		fveq2 6860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘0) = 𝐽 → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
9	8	sseq2d 3981	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽)))
10		fveq2 6860	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘1) = 𝐾 → (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘𝐾))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) → (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘𝐾))
12	11	sseq2d 3981	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) → ({𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
13	9, 12	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) → (({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾))))
14	6, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾))))
15	1, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926   ⊆ wss 3916  {cpr 4593  ‘cfv 6513  0cc0 11074  1c1 11075  ⟨“cs2 14813  ⟨“cs3 14814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4913  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-1o 8436  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-card 9898  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-fz 13475  df-fzo 13622  df-hash 14302  df-word 14485  df-concat 14542  df-s1 14567  df-s2 14820

This theorem is referenced by:  2wlkdlem10  29871