Theorem 2wlkdlem9 29912

Description: Lemma 9 for 2wlkd 29914. (Contributed by AV, 14-Feb-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2wlkd.p	⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
2wlkd.f	⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
2wlkd.s	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
2wlkd.n	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
2wlkd.e	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))

Assertion

Ref	Expression
2wlkdlem9	⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))

Proof of Theorem 2wlkdlem9

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2wlkd.e	. 2 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
2		2wlkd.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = ⟨“𝐴𝐵𝐶”⟩
3		2wlkd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = ⟨“𝐽𝐾”⟩
4		2wlkd.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉))
5		2wlkd.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≠ 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐶))
6	2, 3, 4, 5, 1	2wlkdlem8 29911	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾))
7		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘0) = 𝐽 → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
8	7	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) → (𝐼‘(𝐹‘0)) = (𝐼‘𝐽))
9	8	sseq2d 3962	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ↔ {𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽)))
10		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹‘1) = 𝐾 → (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘𝐾))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) → (𝐼‘(𝐹‘1)) = (𝐼‘𝐾))
12	11	sseq2d 3962	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) → ({𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1)) ↔ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾)))
13	9, 12	anbi12d 632	. . 3 ⊢ (((𝐹‘0) = 𝐽 ∧ (𝐹‘1) = 𝐾) → (({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾))))
14	6, 13	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))) ↔ ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘𝐽) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘𝐾))))
15	1, 14	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → ({𝐴, 𝐵} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘0)) ∧ {𝐵, 𝐶} ⊆ (𝐼‘(𝐹‘1))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ⊆ wss 3897  {cpr 4575  ‘cfv 6481  0cc0 11006  1c1 11007  ⟨“cs2 14748  ⟨“cs3 14749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-hash 14238  df-word 14421  df-concat 14478  df-s1 14504  df-s2 14755

This theorem is referenced by:  2wlkdlem10  29913