Theorem abs2sqlti 34963

Description: The absolute values of two numbers compare as their squares. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
abs2sqlti.1	⊢ 𝐴 ∈ ℂ
abs2sqlti.2	⊢ 𝐵 ∈ ℂ

Assertion

Ref	Expression
abs2sqlti	⊢ ((abs‘𝐴) < (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) < ((abs‘𝐵)↑2))

Proof of Theorem abs2sqlti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		abs2sqlti.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
2	1	absge0i 15348	. 2 ⊢ 0 ≤ (abs‘𝐴)
3		abs2sqlti.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
4	3	absge0i 15348	. 2 ⊢ 0 ≤ (abs‘𝐵)
5	1	abscli 15347	. . 3 ⊢ (abs‘𝐴) ∈ ℝ
6	3	abscli 15347	. . 3 ⊢ (abs‘𝐵) ∈ ℝ
7	5, 6	lt2sqi 14158	. 2 ⊢ ((0 ≤ (abs‘𝐴) ∧ 0 ≤ (abs‘𝐵)) → ((abs‘𝐴) < (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) < ((abs‘𝐵)↑2)))
8	2, 4, 7	mp2an 689	1 ⊢ ((abs‘𝐴) < (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) < ((abs‘𝐵)↑2))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  0cc0 11113   < clt 11253   ≤ cle 11254  2c2 12272  ↑cexp 14032  abscabs 15186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188

This theorem is referenced by:  abs2sqlt  34965