Theorem abs2sqle 34001

Description: The absolute values of two numbers compare as their squares. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
abs2sqle	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2)))

Proof of Theorem abs2sqle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (abs‘𝐴) = (abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
2	1	breq1d 5110	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵) ↔ (abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) ≤ (abs‘𝐵)))
3	1	oveq1d 7361	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2))
4	3	breq1d 5110	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((abs‘𝐴)↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2)))
5	2, 4	bibi12d 346	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2)) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) ≤ (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2))))
6		fveq2 6834	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (abs‘𝐵) = (abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
7	6	breq2d 5112	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) ≤ (abs‘𝐵) ↔ (abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) ≤ (abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))))
8		oveq1 7353	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐵) = (abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)) → ((abs‘𝐵)↑2) = ((abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2))
9	8	breq2d 5112	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐵) = (abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)) → (((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) ≤ ((abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2)))
10	6, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) ≤ ((abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2)))
11	7, 10	bibi12d 346	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) ≤ (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2)) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) ≤ (abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) ≤ ((abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2))))
12		0cn 11077	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
13	12	elimel 4550	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
14	12	elimel 4550	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
15	13, 14	abs2sqlei 33999	. 2 ⊢ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) ≤ (abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) ≤ ((abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2))
16	5, 11, 15	dedth2h 4540	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) ≤ (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) ≤ ((abs‘𝐵)↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ‘cfv 6488  (class class class)co 7346  ℂcc 10979  0cc0 10981   ≤ cle 11120  2c2 12138  ↑cexp 13892  abscabs 15049

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5251  ax-nul 5258  ax-pow 5315  ax-pr 5379  ax-un 7659  ax-cnex 11037  ax-resscn 11038  ax-1cn 11039  ax-icn 11040  ax-addcl 11041  ax-addrcl 11042  ax-mulcl 11043  ax-mulrcl 11044  ax-mulcom 11045  ax-addass 11046  ax-mulass 11047  ax-distr 11048  ax-i2m1 11049  ax-1ne0 11050  ax-1rid 11051  ax-rnegex 11052  ax-rrecex 11053  ax-cnre 11054  ax-pre-lttri 11055  ax-pre-lttrn 11056  ax-pre-ltadd 11057  ax-pre-mulgt0 11058  ax-pre-sup 11059

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3735  df-csb 3851  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3924  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4861  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5184  df-tr 5218  df-id 5525  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5582  df-we 5584  df-xp 5633  df-rel 5634  df-cnv 5635  df-co 5636  df-dm 5637  df-rn 5638  df-res 5639  df-ima 5640  df-pred 6246  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6440  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7302  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7790  df-2nd 7909  df-frecs 8176  df-wrecs 8207  df-recs 8281  df-rdg 8320  df-er 8578  df-en 8814  df-dom 8815  df-sdom 8816  df-sup 9308  df-pnf 11121  df-mnf 11122  df-xr 11123  df-ltxr 11124  df-le 11125  df-sub 11317  df-neg 11318  df-div 11743  df-nn 12084  df-2 12146  df-3 12147  df-n0 12344  df-z 12430  df-uz 12693  df-rp 12841  df-seq 13832  df-exp 13893  df-cj 14914  df-re 14915  df-im 14916  df-sqrt 15050  df-abs 15051

This theorem is referenced by: (None)