Theorem abs2sqlt 36262

Description: The absolute values of two numbers compare as their squares. (Contributed by Paul Chapman, 7-Sep-2007.)

Assertion

Ref	Expression
abs2sqlt	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) < (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) < ((abs‘𝐵)↑2)))

Proof of Theorem abs2sqlt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (abs‘𝐴) = (abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)))
2	1	breq1d 5117	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((abs‘𝐴) < (abs‘𝐵) ↔ (abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) < (abs‘𝐵)))
3	1	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → ((abs‘𝐴)↑2) = ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2))
4	3	breq1d 5117	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((abs‘𝐴)↑2) < ((abs‘𝐵)↑2) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) < ((abs‘𝐵)↑2)))
5	2, 4	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) → (((abs‘𝐴) < (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) < ((abs‘𝐵)↑2)) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) < (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) < ((abs‘𝐵)↑2))))
6		fveq2 6882	. . . 4 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (abs‘𝐵) = (abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)))
7	6	breq2d 5119	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) < (abs‘𝐵) ↔ (abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) < (abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))))
8		oveq1 7423	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝐵) = (abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)) → ((abs‘𝐵)↑2) = ((abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2))
9	8	breq2d 5119	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝐵) = (abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)) → (((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) < ((abs‘𝐵)↑2) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) < ((abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2)))
10	6, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) < ((abs‘𝐵)↑2) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) < ((abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2)))
11	7, 10	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝐵 = if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) → (((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) < (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) < ((abs‘𝐵)↑2)) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) < (abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) < ((abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2))))
12		0cn 11225	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
13	12	elimel 4555	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0) ∈ ℂ
14	12	elimel 4555	. . 3 ⊢ if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0) ∈ ℂ
15	13, 14	abs2sqlti 36260	. 2 ⊢ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0)) < (abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0)) ↔ ((abs‘if(𝐴 ∈ ℂ, 𝐴, 0))↑2) < ((abs‘if(𝐵 ∈ ℂ, 𝐵, 0))↑2))
16	5, 11, 15	dedth2h 4545	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) < (abs‘𝐵) ↔ ((abs‘𝐴)↑2) < ((abs‘𝐵)↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  0cc0 11127   < clt 11270  2c2 12322  ↑cexp 14127  abscabs 15323

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325

This theorem is used by: (None)