Theorem asclelbasALT 48760

Description: Alternate proof for asclelbas 48759. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclelbas.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclelbas.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
asclelbas.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
asclelbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
asclelbasALT	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))

Proof of Theorem asclelbasALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclelbas.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		asclelbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclelbas.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclelbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclval 21944	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
8	1, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
9		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10		asclelbas.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
11		assalmod 21924	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13		assaring 21925	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
14	9, 6	ringidcl 20310	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15	10, 13, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
16	9, 3, 5, 4, 12, 1, 15	lmodvscld 20920	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
17	8, 16	eqeltrd 2844	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6577  (class class class)co 7452  Basecbs 17279  Scalarcsca 17335   ·_𝑠 cvsca 17336  1_rcur 20229  Ringcrg 20281  LModclmod 20901  AssAlgcasa 21914  algSccascl 21916

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5305  ax-sep 5319  ax-nul 5326  ax-pow 5385  ax-pr 5449  ax-un 7774  ax-cnex 11244  ax-resscn 11245  ax-1cn 11246  ax-icn 11247  ax-addcl 11248  ax-addrcl 11249  ax-mulcl 11250  ax-mulrcl 11251  ax-mulcom 11252  ax-addass 11253  ax-mulass 11254  ax-distr 11255  ax-i2m1 11256  ax-1ne0 11257  ax-1rid 11258  ax-rnegex 11259  ax-rrecex 11260  ax-cnre 11261  ax-pre-lttri 11262  ax-pre-lttrn 11263  ax-pre-ltadd 11264  ax-pre-mulgt0 11265

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3445  df-v 3491  df-sbc 3806  df-csb 3923  df-dif 3980  df-un 3982  df-in 3984  df-ss 3994  df-pss 3997  df-nul 4354  df-if 4550  df-pw 4625  df-sn 4650  df-pr 4652  df-op 4656  df-uni 4934  df-iun 5019  df-br 5169  df-opab 5231  df-mpt 5252  df-tr 5286  df-id 5595  df-eprel 5601  df-po 5609  df-so 5610  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5708  df-rel 5709  df-cnv 5710  df-co 5711  df-dm 5712  df-rn 5713  df-res 5714  df-ima 5715  df-pred 6336  df-ord 6402  df-on 6403  df-lim 6404  df-suc 6405  df-iota 6529  df-fun 6579  df-fn 6580  df-f 6581  df-f1 6582  df-fo 6583  df-f1o 6584  df-fv 6585  df-riota 7408  df-ov 7455  df-oprab 7456  df-mpo 7457  df-om 7908  df-2nd 8035  df-frecs 8326  df-wrecs 8357  df-recs 8431  df-rdg 8470  df-er 8767  df-en 9008  df-dom 9009  df-sdom 9010  df-pnf 11330  df-mnf 11331  df-xr 11332  df-ltxr 11333  df-le 11334  df-sub 11527  df-neg 11528  df-nn 12300  df-2 12362  df-sets 17232  df-slot 17250  df-ndx 17262  df-base 17280  df-plusg 17345  df-0g 17522  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-mgp 20183  df-ur 20230  df-ring 20283  df-lmod 20903  df-assa 21917  df-ascl 21919

This theorem is referenced by: (None)