Theorem asclelbasALT 48869

Description: Alternate proof of asclelbas 48868. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclelbas.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclelbas.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
asclelbas.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
asclelbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
asclelbasALT	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))

Proof of Theorem asclelbasALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclelbas.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		asclelbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclelbas.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclelbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclval 21892	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
8	1, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
9		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10		asclelbas.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
11		assalmod 21872	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13		assaring 21873	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
14	9, 6	ringidcl 20255	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15	10, 13, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
16	9, 3, 5, 4, 12, 1, 15	lmodvscld 20869	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
17	8, 16	eqeltrd 2840	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243  Scalarcsca 17296   ·_𝑠 cvsca 17297  1_rcur 20174  Ringcrg 20226  LModclmod 20850  AssAlgcasa 21862  algSccascl 21864

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-plusg 17306  df-0g 17482  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-mgp 20134  df-ur 20175  df-ring 20228  df-lmod 20852  df-assa 21865  df-ascl 21867

This theorem is referenced by: (None)