Theorem asclelbasALT 48983

Description: Alternate proof of asclelbas 48982. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclelbas.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclelbas.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclelbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
asclelbas.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
asclelbas.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
asclelbasALT	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))

Proof of Theorem asclelbasALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclelbas.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		asclelbas.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclelbas.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclelbas.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclval 21795	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
8	1, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
9		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10		asclelbas.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
11		assalmod 21775	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
12	10, 11	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13		assaring 21776	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
14	9, 6	ringidcl 20180	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15	10, 13, 14	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
16	9, 3, 5, 4, 12, 1, 15	lmodvscld 20791	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
17	8, 16	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  Basecbs 17185  Scalarcsca 17229   ·_𝑠 cvsca 17230  1_rcur 20096  Ringcrg 20148  LModclmod 20772  AssAlgcasa 21765  algSccascl 21767

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mgp 20056  df-ur 20097  df-ring 20150  df-lmod 20774  df-assa 21768  df-ascl 21770

This theorem is referenced by: (None)