Theorem asclelbasALT 49946

Description: Alternate proof of asclelbas 22127. (Contributed by Zhi Wang, 11-Sep-2025.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclelbasALT.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclelbasALT.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
asclelbasALT.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
asclelbasALT.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
asclelbasALT.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
asclelbasALT	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))

Proof of Theorem asclelbasALT

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclelbasALT.c	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐵)
2		asclelbasALT.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
3		asclelbasALT.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		asclelbasALT.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
5		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
7	2, 3, 4, 5, 6	asclval 22123	. . 3 ⊢ (𝐶 ∈ 𝐵 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
8	1, 7	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) = (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
9		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
10		asclelbasALT.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ AssAlg)
11		assalmod 22104	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ LMod)
12	10, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
13		assaring 22105	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ AssAlg → 𝑊 ∈ Ring)
14	9, 6	ringidcl 20430	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15	10, 13, 14	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
16	9, 3, 5, 4, 12, 1, 15	lmodvscld 21090	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ (Base‘𝑊))
17	8, 16	eqeltrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝐶) ∈ (Base‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6534  (class class class)co 7415  Basecbs 17323  Scalarcsca 17367   ·_𝑠 cvsca 17368  1_rcur 20343  Ringcrg 20395  LModclmod 21071  AssAlgcasa 22094  algSccascl 22096

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7738  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7372  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8282  df-wrecs 8313  df-recs 8362  df-rdg 8401  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11489  df-neg 11490  df-nn 12280  df-2 12349  df-sets 17278  df-slot 17296  df-ndx 17308  df-base 17324  df-plusg 17377  df-0g 17548  df-mgm 18752  df-sgrp 18844  df-mnd 18860  df-mgp 20297  df-ur 20344  df-ring 20397  df-lmod 21073  df-assa 22097  df-ascl 22099

This theorem is used by: (None)