Theorem asclinvg 21909

Description: The group inverse (negation) of a lifted scalar is the lifted negation of the scalar. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
asclinvg.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
asclinvg.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
asclinvg.k	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
asclinvg.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
asclinvg.j	⊢ 𝐽 = (invg‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
asclinvg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐽‘(𝐴‘𝐶)) = (𝐴‘(𝐼‘𝐶)))

Proof of Theorem asclinvg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asclinvg.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
2		asclinvg.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ Ring)
4		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝑊 ∈ LMod)
5	1, 2, 3, 4	asclghm 21903	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑊))
6		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ 𝐵)
7		asclinvg.k	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		asclinvg.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
9		asclinvg.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (invg‘𝑊)
10	7, 8, 9	ghminv 19241	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑊) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐴‘(𝐼‘𝐶)) = (𝐽‘(𝐴‘𝐶)))
11	10	eqcomd 2743	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑊) ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐽‘(𝐴‘𝐶)) = (𝐴‘(𝐼‘𝐶)))
12	5, 6, 11	syl2anc 584	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑊 ∈ Ring ∧ 𝐶 ∈ 𝐵) → (𝐽‘(𝐴‘𝐶)) = (𝐴‘(𝐼‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  Scalarcsca 17300  inv_gcminusg 18952   GrpHom cghm 19230  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  algSccascl 21872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-ghm 19231  df-mgp 20138  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-ascl 21875

This theorem is referenced by:  chpscmatgsumbin  22850