Theorem chpscmatgsumbin 22800

Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of binomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chpscmat.d	⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))}
chpscmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpscmatgsum.f	⊢ 𝐹 = (.g‘𝑃)
chpscmatgsum.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
chpscmatgsum.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
chpscmatgsum.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
chpscmatgsum.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpscmatgsumbin	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛   𝐷,𝑙   𝐹,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙,𝑛   𝑀,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙   𝑅,𝑙   𝑆,𝑙   𝑋,𝑙   ↑ ,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   · (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐,𝑙)   ↑ (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝐽(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   − (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmatgsumbin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chp0mat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2		chp0mat.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		chp0mat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		chp0mat.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		chp0mat.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
6		chp0mat.m	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7		chpscmat.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))}
8		chpscmat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
9		chpscmat.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	chpscmat0 22799	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
11		crngring 20192	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14	4, 2, 13	vr1cl 22170	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15	12, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
16	15	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
17	11	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ Ring)
18		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
19	2	ply1ring 22200	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
20	2	ply1lmod 22204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
21		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
22	8, 18, 19, 20, 21, 13	asclf 21849	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
23	17, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
24		simpr2 1197	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝐽 ∈ 𝑁)
25		elrabi 3644	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))} → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
26	25	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))} → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
27	26, 7	eleq2s 2855	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
28	27	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
29	28	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
30		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	3, 30	matecl 22381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
32	24, 24, 29, 31	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
33	2	ply1sca 22205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
35	34	eqcomd 2743	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
36	35	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
37	36	fveq2d 6846	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
38	32, 37	eleqtrrd 2840	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
39	23, 38	ffvelcdmd 7039	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
40		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
41		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
42	13, 40, 41, 9	grpsubval 18927	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
43	16, 39, 42	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
44	12, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
45	44	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑃 ∈ LMod)
46	12, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
47	46	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑃 ∈ Ring)
48		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘(Scalar‘𝑃))
49	8, 18, 21, 48, 41	asclinvg 21857	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))))
50	45, 47, 38, 49	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))))
51		chpscmatgsum.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
52	34	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (invg‘𝑅) = (invg‘(Scalar‘𝑃)))
53	52	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (invg‘𝑅) = (invg‘(Scalar‘𝑃)))
54	51, 53	eqtr2id 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (invg‘(Scalar‘𝑃)) = 𝐼)
55	54	fveq1d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽)) = (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))
56	55	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))
57	50, 56	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))
58	57	oveq2d 7384	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))) = (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))))
59	43, 58	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))))
60	59	oveq2d 7384	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))))
61		simplr 769	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ CRing)
62		hashcl 14291	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
63	62	ad2antrr 727	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
64		ringgrp 20185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65	11, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
66	65	ad2antlr 728	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ Grp)
67	30, 51	grpinvcl 18929	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
68	66, 32, 67	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
69		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
70		chpscmatgsum.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (.g‘𝑃)
71		chpscmatgsum.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
72		chpscmatgsum.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
73	2, 4, 40, 69, 70, 5, 6, 30, 8, 71, 72	lply1binomsc 22267	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋))))))
74	61, 63, 68, 73	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋))))))
75	2	ply1assa 22152	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
76	75	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
77	76	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑃 ∈ AssAlg)
78		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
79	71	ringmgp 20186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
80	12, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐻 ∈ Mnd)
81	80	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝐻 ∈ Mnd)
82		fznn0sub 13484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) → ((♯‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
83	82	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → ((♯‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
84	71, 30	mgpbas 20092	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
85	68, 84	eleqtrdi 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝐻))
86	85	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝐻))
87	78, 72, 81, 83, 86	mulgnn0cld 19037	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘𝐻))
88	35	fveq2d 6846	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
89	88, 84	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
90	89	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
91	87, 90	eleqtrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
92	5, 13	mgpbas 20092	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
93	5	ringmgp 20186	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
94	11, 19, 93	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
95	94	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝐺 ∈ Mnd)
96		elfznn0 13548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
97	96	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
98	15	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
99	92, 6, 95, 97, 98	mulgnn0cld 19037	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
100	99	adantlr 716	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
101		chpscmatgsum.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
102	8, 18, 21, 13, 69, 101	asclmul1 21854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋)) = ((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))
103	77, 91, 100, 102	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → ((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋)) = ((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))
104	103	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋))) = (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))
105	104	mpteq2dva 5193	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋)))) = (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))))
106	105	oveq2d 7384	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))
107	74, 106	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))
108	10, 60, 107	3eqtrd 2776	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  ∃wrex 3062  {crab 3401  ifcif 4481   ↦ cmpt 5181  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Fincfn 8895  0cc0 11038   − cmin 11376  ℕ₀cn0 12413  ...cfz 13435  Ccbc 14237  ♯chash 14265  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  ._rcmulr 17190  Scalarcsca 17192   ·_𝑠 cvsca 17193  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  Mndcmnd 18671  Grpcgrp 18875  inv_gcminusg 18876  -_gcsg 18877  ._gcmg 19009  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181  LModclmod 20823  AssAlgcasa 21817  algSccascl 21819  var₁cv1 22128  Poly₁cpl1 22129   Mat cmat 22363   CharPlyMat cchpmat 22782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-ofr 7633  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-word 14449  df-lsw 14498  df-concat 14506  df-s1 14532  df-substr 14577  df-pfx 14607  df-splice 14685  df-reverse 14694  df-s2 14783  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-submnd 18721  df-efmnd 18806  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-ghm 19154  df-gim 19200  df-cntz 19258  df-oppg 19287  df-symg 19311  df-pmtr 19383  df-psgn 19432  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-srg 20134  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zrh 21470  df-dsmm 21699  df-frlm 21714  df-assa 21820  df-ascl 21822  df-psr 21877  df-mvr 21878  df-mpl 21879  df-opsr 21881  df-psr1 22132  df-vr1 22133  df-ply1 22134  df-mamu 22347  df-mat 22364  df-mdet 22541  df-mat2pmat 22663  df-chpmat 22783

This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  22801