MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpscmatgsumbin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chpscmatgsumbin 22568
Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of binomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
chp0mat.c 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
chp0mat.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
chp0mat.g 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
chp0mat.m ↑ = (.gβ€˜πΊ)
chpscmat.d 𝐷 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))}
chpscmat.s 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
chpscmat.m βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
chpscmatgsum.f 𝐹 = (.gβ€˜π‘ƒ)
chpscmatgsum.h 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
chpscmatgsum.e 𝐸 = (.gβ€˜π»)
chpscmatgsum.i 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
chpscmatgsum.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
Assertion
Ref Expression
chpscmatgsumbin (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))))
Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,π‘š   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,π‘š,𝑛   𝑁,𝑐,π‘š,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,π‘š,𝑛   𝑆,𝑛   𝐷,𝑙   𝐹,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙,𝑛   𝑀,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙   𝑅,𝑙   𝑆,𝑙   𝑋,𝑙   ↑ ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑙)   𝐢(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐷(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   𝑃(π‘š,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   Β· (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐,𝑙)   ↑ (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   𝐽(𝑖,𝑗,π‘š,𝑐)   βˆ’ (𝑖,𝑗,π‘š,𝑛,𝑐,𝑙)   𝑋(π‘š,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmatgsumbin
StepHypRef Expression
1 chp0mat.c . . 3 𝐢 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2 chp0mat.p . . 3 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
3 chp0mat.a . . 3 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 chp0mat.x . . 3 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
5 chp0mat.g . . 3 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
6 chp0mat.m . . 3 ↑ = (.gβ€˜πΊ)
7 chpscmat.d . . 3 𝐷 = {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))}
8 chpscmat.s . . 3 𝑆 = (algScβ€˜π‘ƒ)
9 chpscmat.m . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ƒ)
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9chpscmat0 22567 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽)))))
11 crngring 20141 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1211adantl 480 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
13 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
144, 2, 13vr1cl 21962 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
1512, 14syl 17 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
1615adantr 479 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
1711ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
18 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
192ply1ring 21992 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
202ply1lmod 21996 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
21 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
228, 18, 19, 20, 21, 13asclf 21657 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑆:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
2317, 22syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ 𝑆:(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))⟢(Baseβ€˜π‘ƒ))
24 simpr2 1193 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ 𝐽 ∈ 𝑁)
25 elrabi 3678 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))} β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
2625a1d 25 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ {π‘š ∈ (Baseβ€˜π΄) ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Baseβ€˜π‘…)βˆ€π‘– ∈ 𝑁 βˆ€π‘— ∈ 𝑁 (π‘–π‘šπ‘—) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0gβ€˜π‘…))} β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)))
2726, 7eleq2s 2849 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)))
28273ad2ant1 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) β†’ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)))
2928impcom 406 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄))
30 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
313, 30matecl 22149 . . . . . . . 8 ((𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜π΄)) β†’ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3224, 24, 29, 31syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
332ply1sca 21997 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3433adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
3534eqcomd 2736 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
3635adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (Scalarβ€˜π‘ƒ) = 𝑅)
3736fveq2d 6896 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
3832, 37eleqtrrd 2834 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
3923, 38ffvelcdmd 7088 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
40 eqid 2730 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘ƒ) = (+gβ€˜π‘ƒ)
41 eqid 2730 . . . . . 6 (invgβ€˜π‘ƒ) = (invgβ€˜π‘ƒ)
4213, 40, 41, 9grpsubval 18908 . . . . 5 ((𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ) ∧ (π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽)))))
4316, 39, 42syl2anc 582 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽)))))
4412, 20syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4544adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
4612, 19syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
4746adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ 𝑃 ∈ Ring)
48 eqid 2730 . . . . . . . 8 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
498, 18, 21, 48, 41asclinvg 21664 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽))) = (π‘†β€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))β€˜(𝐽𝑀𝐽))))
5045, 47, 38, 49syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽))) = (π‘†β€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))β€˜(𝐽𝑀𝐽))))
51 chpscmatgsum.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (invgβ€˜π‘…)
5234fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5352adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
5451, 53eqtr2id 2783 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = 𝐼)
5554fveq1d 6894 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))β€˜(𝐽𝑀𝐽)) = (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))
5655fveq2d 6896 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (π‘†β€˜((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))β€˜(𝐽𝑀𝐽))) = (π‘†β€˜(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))
5750, 56eqtrd 2770 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ ((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽))) = (π‘†β€˜(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))
5857oveq2d 7429 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)((invgβ€˜π‘ƒ)β€˜(π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽)))) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)(π‘†β€˜(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))))
5943, 58eqtrd 2770 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)(π‘†β€˜(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)))))
6059oveq2d 7429 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋 βˆ’ (π‘†β€˜(𝐽𝑀𝐽)))) = ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)(π‘†β€˜(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))))
61 simplr 765 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
62 hashcl 14322 . . . . 5 (𝑁 ∈ Fin β†’ (β™―β€˜π‘) ∈ β„•0)
6362ad2antrr 722 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (β™―β€˜π‘) ∈ β„•0)
64 ringgrp 20134 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6511, 64syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6665ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
6730, 51grpinvcl 18910 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
6866, 32, 67syl2anc 582 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
69 eqid 2730 . . . . 5 (.rβ€˜π‘ƒ) = (.rβ€˜π‘ƒ)
70 chpscmatgsum.f . . . . 5 𝐹 = (.gβ€˜π‘ƒ)
71 chpscmatgsum.h . . . . 5 𝐻 = (mulGrpβ€˜π‘…)
72 chpscmatgsum.e . . . . 5 𝐸 = (.gβ€˜π»)
732, 4, 40, 69, 70, 5, 6, 30, 8, 71, 72lply1binomsc 22053 . . . 4 ((𝑅 ∈ CRing ∧ (β™―β€˜π‘) ∈ β„•0 ∧ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)(π‘†β€˜(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((π‘†β€˜(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑙 ↑ 𝑋))))))
7461, 63, 68, 73syl3anc 1369 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)(π‘†β€˜(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((π‘†β€˜(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑙 ↑ 𝑋))))))
752ply1assa 21944 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
7675adantl 480 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
7776ad2antrr 722 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
78 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π») = (Baseβ€˜π»)
7971ringmgp 20135 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
8012, 79syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
8180ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝐻 ∈ Mnd)
82 fznn0sub 13539 . . . . . . . . . 10 (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) β†’ ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙) ∈ β„•0)
8382adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ ((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙) ∈ β„•0)
8471, 30mgpbas 20036 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π»)
8568, 84eleqtrdi 2841 . . . . . . . . . 10 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π»))
8685adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Baseβ€˜π»))
8778, 72, 81, 83, 86mulgnn0cld 19013 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Baseβ€˜π»))
8835fveq2d 6896 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π‘…))
8988, 84eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π»))
9089ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜π»))
9187, 90eleqtrrd 2834 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
925, 13mgpbas 20036 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜πΊ)
935ringmgp 20135 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
9411, 19, 933syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
9594ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
96 elfznn0 13600 . . . . . . . . . 10 (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
9796adantl 480 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
9815adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
9992, 6, 95, 97, 98mulgnn0cld 19013 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
10099adantlr 711 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
101 chpscmatgsum.s . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
1028, 18, 21, 13, 69, 101asclmul1 21661 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ (((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((π‘†β€˜(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑙 ↑ 𝑋)) = ((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
10377, 91, 100, 102syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ ((π‘†β€˜(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑙 ↑ 𝑋)) = ((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))
104103oveq2d 7429 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘))) β†’ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((π‘†β€˜(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑙 ↑ 𝑋))) = (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))
105104mpteq2dva 5249 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((π‘†β€˜(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑙 ↑ 𝑋)))) = (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋)))))
106105oveq2d 7429 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((π‘†β€˜(((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))(.rβ€˜π‘ƒ)(𝑙 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))))
10774, 106eqtrd 2770 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ ((β™―β€˜π‘) ↑ (𝑋(+gβ€˜π‘ƒ)(π‘†β€˜(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))))
10810, 60, 1073eqtrd 2774 1 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ βˆ€π‘› ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) β†’ (πΆβ€˜π‘€) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...(β™―β€˜π‘)) ↦ (((β™―β€˜π‘)C𝑙)𝐹((((β™―β€˜π‘) βˆ’ 𝑙)𝐸(πΌβ€˜(𝐽𝑀𝐽))) Β· (𝑙 ↑ 𝑋))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  ifcif 4529   ↦ cmpt 5232  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Fincfn 8943  0cc0 11114   βˆ’ cmin 11450  β„•0cn0 12478  ...cfz 13490  Ccbc 14268  β™―chash 14296  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Mndcmnd 18661  Grpcgrp 18857  invgcminusg 18858  -gcsg 18859  .gcmg 18988  mulGrpcmgp 20030  Ringcrg 20129  CRingccrg 20130  LModclmod 20616  AssAlgcasa 21626  algSccascl 21628  var1cv1 21921  Poly1cpl1 21922   Mat cmat 22129   CharPlyMat cchpmat 22550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1508  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-ofr 7675  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14034  df-fac 14240  df-bc 14269  df-hash 14297  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-submnd 18708  df-efmnd 18788  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-ghm 19130  df-gim 19175  df-cntz 19224  df-oppg 19253  df-symg 19278  df-pmtr 19353  df-psgn 19402  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-srg 20083  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-dvr 20294  df-rhm 20365  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20504  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-cnfld 21147  df-zring 21220  df-zrh 21274  df-dsmm 21508  df-frlm 21523  df-assa 21629  df-ascl 21631  df-psr 21683  df-mvr 21684  df-mpl 21685  df-opsr 21687  df-psr1 21925  df-vr1 21926  df-ply1 21927  df-mamu 22108  df-mat 22130  df-mdet 22309  df-mat2pmat 22431  df-chpmat 22551
This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  22569
  Copyright terms: Public domain W3C validator