Theorem chpscmatgsumbin 22337

Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of binomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chpscmat.d	⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))}
chpscmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpscmatgsum.f	⊢ 𝐹 = (.g‘𝑃)
chpscmatgsum.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
chpscmatgsum.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
chpscmatgsum.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
chpscmatgsum.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpscmatgsumbin	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛   𝐷,𝑙   𝐹,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙,𝑛   𝑀,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙   𝑅,𝑙   𝑆,𝑙   𝑋,𝑙   ↑ ,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   · (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐,𝑙)   ↑ (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝐽(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   − (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmatgsumbin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chp0mat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2		chp0mat.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		chp0mat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		chp0mat.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		chp0mat.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
6		chp0mat.m	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7		chpscmat.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))}
8		chpscmat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
9		chpscmat.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	chpscmat0 22336	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
11		crngring 20061	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14	4, 2, 13	vr1cl 21732	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15	12, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
17	11	ad2antlr 725	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ Ring)
18		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
19	2	ply1ring 21761	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
20	2	ply1lmod 21765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
21		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
22	8, 18, 19, 20, 21, 13	asclf 21427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
23	17, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
24		simpr2 1195	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝐽 ∈ 𝑁)
25		elrabi 3676	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))} → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
26	25	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))} → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
27	26, 7	eleq2s 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
29	28	impcom 408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
30		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	3, 30	matecl 21918	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
32	24, 24, 29, 31	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
33	2	ply1sca 21766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
35	34	eqcomd 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
37	36	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
38	32, 37	eleqtrrd 2836	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
39	23, 38	ffvelcdmd 7084	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
40		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
41		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
42	13, 40, 41, 9	grpsubval 18866	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
43	16, 39, 42	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
44	12, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
45	44	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑃 ∈ LMod)
46	12, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
47	46	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑃 ∈ Ring)
48		eqid 2732	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘(Scalar‘𝑃))
49	8, 18, 21, 48, 41	asclinvg 21434	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))))
50	45, 47, 38, 49	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))))
51		chpscmatgsum.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
52	34	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (invg‘𝑅) = (invg‘(Scalar‘𝑃)))
53	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (invg‘𝑅) = (invg‘(Scalar‘𝑃)))
54	51, 53	eqtr2id 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (invg‘(Scalar‘𝑃)) = 𝐼)
55	54	fveq1d 6890	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽)) = (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))
56	55	fveq2d 6892	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))
57	50, 56	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))
58	57	oveq2d 7421	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))) = (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))))
59	43, 58	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))))
60	59	oveq2d 7421	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))))
61		simplr 767	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ CRing)
62		hashcl 14312	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
63	62	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
64		ringgrp 20054	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65	11, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
66	65	ad2antlr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ Grp)
67	30, 51	grpinvcl 18868	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
68	66, 32, 67	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
69		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
70		chpscmatgsum.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (.g‘𝑃)
71		chpscmatgsum.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
72		chpscmatgsum.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
73	2, 4, 40, 69, 70, 5, 6, 30, 8, 71, 72	lply1binomsc 21822	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋))))))
74	61, 63, 68, 73	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋))))))
75	2	ply1assa 21714	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
76	75	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
77	76	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑃 ∈ AssAlg)
78		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
79	71	ringmgp 20055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
80	12, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐻 ∈ Mnd)
81	80	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝐻 ∈ Mnd)
82		fznn0sub 13529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) → ((♯‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
83	82	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → ((♯‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
84	71, 30	mgpbas 19987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
85	68, 84	eleqtrdi 2843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝐻))
86	85	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝐻))
87	78, 72, 81, 83, 86	mulgnn0cld 18969	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘𝐻))
88	35	fveq2d 6892	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
89	88, 84	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
90	89	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
91	87, 90	eleqtrrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
92	5, 13	mgpbas 19987	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
93	5	ringmgp 20055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
94	11, 19, 93	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
95	94	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝐺 ∈ Mnd)
96		elfznn0 13590	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
97	96	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
98	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
99	92, 6, 95, 97, 98	mulgnn0cld 18969	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
100	99	adantlr 713	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
101		chpscmatgsum.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
102	8, 18, 21, 13, 69, 101	asclmul1 21431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋)) = ((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))
103	77, 91, 100, 102	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → ((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋)) = ((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))
104	103	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋))) = (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))
105	104	mpteq2dva 5247	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋)))) = (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))))
106	105	oveq2d 7421	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))
107	74, 106	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))
108	10, 60, 107	3eqtrd 2776	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3061  ∃wrex 3070  {crab 3432  ifcif 4527   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Fincfn 8935  0cc0 11106   − cmin 11440  ℕ₀cn0 12468  ...cfz 13480  Ccbc 14258  ♯chash 14286  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382  Mndcmnd 18621  Grpcgrp 18815  inv_gcminusg 18816  -_gcsg 18817  ._gcmg 18944  mulGrpcmgp 19981  Ringcrg 20049  CRingccrg 20050  LModclmod 20463  AssAlgcasa 21396  algSccascl 21398  var₁cv1 21691  Poly₁cpl1 21692   Mat cmat 21898   CharPlyMat cchpmat 22319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-word 14461  df-lsw 14509  df-concat 14517  df-s1 14542  df-substr 14587  df-pfx 14617  df-splice 14696  df-reverse 14705  df-s2 14795  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-efmnd 18746  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-gim 19127  df-cntz 19175  df-oppg 19204  df-symg 19229  df-pmtr 19304  df-psgn 19353  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-srg 20003  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-sra 20777  df-rgmod 20778  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-dsmm 21278  df-frlm 21293  df-assa 21399  df-ascl 21401  df-psr 21453  df-mvr 21454  df-mpl 21455  df-opsr 21457  df-psr1 21695  df-vr1 21696  df-ply1 21697  df-mamu 21877  df-mat 21899  df-mdet 22078  df-mat2pmat 22200  df-chpmat 22320

This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  22338