Theorem chpscmatgsumbin 22827

Description: The characteristic polynomial of a (nonempty!) scalar matrix, expressed as finite group sum of binomials. (Contributed by AV, 2-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
chp0mat.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
chp0mat.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
chp0mat.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
chp0mat.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
chp0mat.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
chp0mat.m	⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
chpscmat.d	⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))}
chpscmat.s	⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
chpscmat.m	⊢ − = (-g‘𝑃)
chpscmatgsum.f	⊢ 𝐹 = (.g‘𝑃)
chpscmatgsum.h	⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
chpscmatgsum.e	⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
chpscmatgsum.i	⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
chpscmatgsum.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)

Assertion

Ref	Expression
chpscmatgsumbin	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝐴   𝑖,𝑁,𝑗   𝑃,𝑖,𝑗   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑋,𝑗   𝐴,𝑐,𝑚   𝐷,𝑛   𝑛,𝐸   𝑛,𝐼   𝑀,𝑐,𝑖,𝑗,𝑚,𝑛   𝑁,𝑐,𝑚,𝑛   𝑃,𝑛   𝑅,𝑐,𝑚,𝑛   𝑆,𝑛   𝐷,𝑙   𝐹,𝑙   𝐼,𝑙   𝐽,𝑙,𝑛   𝑀,𝑙   𝑁,𝑙   𝑃,𝑙   𝑅,𝑙   𝑆,𝑙   𝑋,𝑙   ↑ ,𝑙

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑛,𝑙)   𝐶(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝑃(𝑚,𝑐)   𝑆(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   · (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐸(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐,𝑙)   ↑ (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐹(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐)   𝐺(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐻(𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   𝐽(𝑖,𝑗,𝑚,𝑐)   − (𝑖,𝑗,𝑚,𝑛,𝑐,𝑙)   𝑋(𝑚,𝑛,𝑐)

Proof of Theorem chpscmatgsumbin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chp0mat.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (𝑁 CharPlyMat 𝑅)
2		chp0mat.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
3		chp0mat.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		chp0mat.x	. . 3 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
5		chp0mat.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑃)
6		chp0mat.m	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘𝐺)
7		chpscmat.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))}
8		chpscmat.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (algSc‘𝑃)
9		chpscmat.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑃)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	chpscmat0 22826	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
11		crngring 20217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
12	11	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 ∈ Ring)
13		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
14	4, 2, 13	vr1cl 22202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15	12, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
16	15	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
17	11	ad2antlr 733	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ Ring)
18		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
19	2	ply1ring 22232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
20	2	ply1lmod 22236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
21		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
22	8, 18, 19, 20, 21, 13	asclf 21856	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
23	17, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑆:(Base‘(Scalar‘𝑃))⟶(Base‘𝑃))
24		simpr2 1202	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝐽 ∈ 𝑁)
25		elrabi 3625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))} → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
26	25	a1d 25	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ {𝑚 ∈ (Base‘𝐴) ∣ ∃𝑐 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖𝑚𝑗) = if(𝑖 = 𝑗, 𝑐, (0g‘𝑅))} → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
27	26, 7	eleq2s 2857	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐷 → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
28	27	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽)) → ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)))
29	28	impcom 408	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
30		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
31	3, 30	matecl 22408	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
32	24, 24, 29, 31	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅))
33	2	ply1sca 22237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
34	33	adantl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
35	34	eqcomd 2745	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
36	35	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (Scalar‘𝑃) = 𝑅)
37	36	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
38	32, 37	eleqtrrd 2842	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
39	23, 38	ffvelcdmd 7026	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑃))
40		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
41		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑃) = (invg‘𝑃)
42	13, 40, 41, 9	grpsubval 18952	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ∧ (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
43	16, 39, 42	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))))
44	12, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ LMod)
45	44	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑃 ∈ LMod)
46	12, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ Ring)
47	46	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑃 ∈ Ring)
48		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑃)) = (invg‘(Scalar‘𝑃))
49	8, 18, 21, 48, 41	asclinvg 21864	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑃 ∈ Ring ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃))) → ((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))))
50	45, 47, 38, 49	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))))
51		chpscmatgsum.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (invg‘𝑅)
52	34	fveq2d 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (invg‘𝑅) = (invg‘(Scalar‘𝑃)))
53	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (invg‘𝑅) = (invg‘(Scalar‘𝑃)))
54	51, 53	eqtr2id 2787	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (invg‘(Scalar‘𝑃)) = 𝐼)
55	54	fveq1d 6829	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽)) = (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))
56	55	fveq2d 6831	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑆‘((invg‘(Scalar‘𝑃))‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))
57	50, 56	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))
58	57	oveq2d 7372	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋(+g‘𝑃)((invg‘𝑃)‘(𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))) = (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))))
59	43, 58	eqtrd 2774	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽))) = (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)))))
60	59	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋 − (𝑆‘(𝐽𝑀𝐽)))) = ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))))
61		simplr 774	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ CRing)
62		hashcl 14309	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
63	62	ad2antrr 732	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (♯‘𝑁) ∈ ℕ0)
64		ringgrp 20210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
65	11, 64	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Grp)
66	65	ad2antlr 733	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → 𝑅 ∈ Grp)
67	30, 51	grpinvcl 18954	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐽𝑀𝐽) ∈ (Base‘𝑅)) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
68	66, 32, 67	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅))
69		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑃) = (.r‘𝑃)
70		chpscmatgsum.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (.g‘𝑃)
71		chpscmatgsum.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (mulGrp‘𝑅)
72		chpscmatgsum.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (.g‘𝐻)
73	2, 4, 40, 69, 70, 5, 6, 30, 8, 71, 72	lply1binomsc 22297	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ (♯‘𝑁) ∈ ℕ0 ∧ (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋))))))
74	61, 63, 68, 73	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋))))))
75	2	ply1assa 22184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
76	75	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑃 ∈ AssAlg)
77	76	ad2antrr 732	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑃 ∈ AssAlg)
78		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
79	71	ringmgp 20211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐻 ∈ Mnd)
80	12, 79	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐻 ∈ Mnd)
81	80	ad2antrr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝐻 ∈ Mnd)
82		fznn0sub 13501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) → ((♯‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
83	82	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → ((♯‘𝑁) − 𝑙) ∈ ℕ0)
84	71, 30	mgpbas 20117	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐻)
85	68, 84	eleqtrdi 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝐻))
86	85	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝐼‘(𝐽𝑀𝐽)) ∈ (Base‘𝐻))
87	78, 72, 81, 83, 86	mulgnn0cld 19062	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘𝐻))
88	35	fveq2d 6831	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝑅))
89	88, 84	eqtrdi 2790	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
90	89	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘𝐻))
91	87, 90	eleqtrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
92	5, 13	mgpbas 20117	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝐺)
93	5	ringmgp 20211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)
94	11, 19, 93	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ Mnd)
95	94	ad2antlr 733	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝐺 ∈ Mnd)
96		elfznn0 13565	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) → 𝑙 ∈ ℕ0)
97	96	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑙 ∈ ℕ0)
98	15	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
99	92, 6, 95, 97, 98	mulgnn0cld 19062	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
100	99	adantlr 721	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
101		chpscmatgsum.s	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
102	8, 18, 21, 13, 69, 101	asclmul1 21861	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ AssAlg ∧ (((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑙 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑃)) → ((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋)) = ((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))
103	77, 91, 100, 102	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → ((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋)) = ((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))
104	103	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) ∧ 𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁))) → (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋))) = (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))
105	104	mpteq2dva 5165	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋)))) = (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋)))))
106	105	oveq2d 7372	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((𝑆‘(((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))(.r‘𝑃)(𝑙 ↑ 𝑋))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))
107	74, 106	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → ((♯‘𝑁) ↑ (𝑋(+g‘𝑃)(𝑆‘(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))
108	10, 60, 107	3eqtrd 2778	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑀 ∈ 𝐷 ∧ 𝐽 ∈ 𝑁 ∧ ∀𝑛 ∈ 𝑁 (𝑛𝑀𝑛) = (𝐽𝑀𝐽))) → (𝐶‘𝑀) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ (0...(♯‘𝑁)) ↦ (((♯‘𝑁)C𝑙)𝐹((((♯‘𝑁) − 𝑙)𝐸(𝐼‘(𝐽𝑀𝐽))) · (𝑙 ↑ 𝑋))))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {crab 3391  ifcif 4454   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Fincfn 8883  0cc0 11029   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452  Ccbc 14255  ♯chash 14283  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Mndcmnd 18693  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  -_gcsg 18902  ._gcmg 19034  mulGrpcmgp 20112  Ringcrg 20205  CRingccrg 20206  LModclmod 20850  AssAlgcasa 21825  algSccascl 21827  var₁cv1 22161  Poly₁cpl1 22162   Mat cmat 22390   CharPlyMat cchpmat 22809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-addf 11108  ax-mulf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-xor 1519  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-ot 4564  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-word 14467  df-lsw 14516  df-concat 14524  df-s1 14550  df-substr 14595  df-pfx 14625  df-splice 14703  df-reverse 14712  df-s2 14801  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-prds 17401  df-pws 17403  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-efmnd 18828  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-mulg 19035  df-subg 19090  df-ghm 19179  df-gim 19225  df-cntz 19283  df-oppg 19312  df-symg 19336  df-pmtr 19408  df-psgn 19457  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-srg 20159  df-ring 20207  df-cring 20208  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-dvr 20372  df-rhm 20443  df-subrng 20518  df-subrg 20542  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lss 20922  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-cnfld 21348  df-zring 21422  df-zrh 21478  df-dsmm 21707  df-frlm 21722  df-assa 21828  df-ascl 21830  df-psr 21884  df-mvr 21885  df-mpl 21886  df-opsr 21888  df-psr1 22165  df-vr1 22166  df-ply1 22167  df-mamu 22374  df-mat 22391  df-mdet 22568  df-mat2pmat 22690  df-chpmat 22810

This theorem is referenced by:  chpscmatgsummon  22828