Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem6 26855
 Description: Lemma for axcont 26862. State the defining properties of the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem5.1 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem5.2 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐷,𝑥   𝑖,𝑝,𝑡,𝑥,𝑁   𝑃,𝑖,𝑡,𝑥   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem6
Dummy variables 𝑠 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2759 . . 3 (𝐹𝑃) = (𝐹𝑃)
2 axcontlem5.1 . . . 4 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
3 axcontlem5.2 . . . . 5 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
43axcontlem1 26850 . . . 4 𝐹 = {⟨𝑦, 𝑠⟩ ∣ (𝑦𝐷 ∧ (𝑠 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑦𝑗) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑗)) + (𝑠 · (𝑈𝑗)))))}
52, 4axcontlem5 26854 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) = (𝐹𝑃) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑗) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗))))))
61, 5mpbii 236 . 2 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑗) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗)))))
7 fveq2 6659 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑖))
8 fveq2 6659 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝑍𝑗) = (𝑍𝑖))
98oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) = ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)))
10 fveq2 6659 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝑈𝑗) = (𝑈𝑖))
1110oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗)) = ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))
129, 11oveq12d 7169 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗))) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))))
137, 12eqeq12d 2775 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃𝑗) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗))) ↔ (𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))))
1413cbvralvw 3362 . . 3 (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑗) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))))
1514anbi2i 626 . 2 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑗) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗)))) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))))
166, 15sylib 221 1 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 845   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  {crab 3075  ⟨cop 4529   class class class wbr 5033  {copab 5095  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571   · cmul 10573  +∞cpnf 10703   − cmin 10901  ℕcn 11667  [,)cico 12774  ...cfz 12932  𝔼cee 26774   Btwn cbtwn 26775 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-z 12014  df-uz 12276  df-ico 12778  df-icc 12779  df-fz 12933  df-ee 26777  df-btwn 26778 This theorem is referenced by:  axcontlem7  26856  axcontlem8  26857
 Copyright terms: Public domain W3C validator