Theorem axcontlem6 29167

Description: Lemma for axcont 29174. State the defining properties of the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 19-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcontlem5.1	⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem5.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}

Assertion

Ref	Expression
axcontlem6	⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐷,𝑥   𝑖,𝑝,𝑡,𝑥,𝑁   𝑃,𝑖,𝑡,𝑥   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem6

Dummy variables 𝑠 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)
2		axcontlem5.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
3		axcontlem5.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
4	3	axcontlem1 29162	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑦, 𝑠⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (𝑠 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑗) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑠 · (𝑈‘𝑗)))))}
5	2, 4	axcontlem5 29166	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑃) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗))))))
6	1, 5	mpbii 235	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗)))))
7		fveq2 6867	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑖))
8		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑍‘𝑗) = (𝑍‘𝑖))
9	8	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) = ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)))
10		fveq2 6867	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑈‘𝑗) = (𝑈‘𝑖))
11	10	oveq2d 7412	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))
12	9, 11	oveq12d 7414	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗))) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))
13	7, 12	eqeq12d 2778	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗))) ↔ (𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
14	13	cbvralvw 3240	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))
15	14	anbi2i 632	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗)))) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
16	6, 15	sylib 220	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  {crab 3414  ⟨cop 4588   class class class wbr 5100  {copab 5162  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  +∞cpnf 11213   − cmin 11414  ℕcn 12210  [,)cico 13351  ...cfz 13512  𝔼cee 29085   Btwn cbtwn 29086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-z 12569  df-uz 12840  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-ee 29088  df-btwn 29089

This theorem is referenced by:  axcontlem7  29168  axcontlem8  29169