Theorem axcontlem6 27337

Description: Lemma for axcont 27344. State the defining properties of the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 19-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcontlem5.1	⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem5.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}

Assertion

Ref	Expression
axcontlem6	⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐷,𝑥   𝑖,𝑝,𝑡,𝑥,𝑁   𝑃,𝑖,𝑡,𝑥   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem6

Dummy variables 𝑠 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)
2		axcontlem5.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
3		axcontlem5.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
4	3	axcontlem1 27332	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑦, 𝑠⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (𝑠 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑗) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑠 · (𝑈‘𝑗)))))}
5	2, 4	axcontlem5 27336	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑃) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗))))))
6	1, 5	mpbii 232	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗)))))
7		fveq2 6774	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑖))
8		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑍‘𝑗) = (𝑍‘𝑖))
9	8	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) = ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)))
10		fveq2 6774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑈‘𝑗) = (𝑈‘𝑖))
11	10	oveq2d 7291	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))
12	9, 11	oveq12d 7293	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗))) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))
13	7, 12	eqeq12d 2754	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗))) ↔ (𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
14	13	cbvralvw 3383	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))
15	14	anbi2i 623	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗)))) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
16	6, 15	sylib 217	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  {crab 3068  ⟨cop 4567   class class class wbr 5074  {copab 5136  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  +∞cpnf 11006   − cmin 11205  ℕcn 11973  [,)cico 13081  ...cfz 13239  𝔼cee 27256   Btwn cbtwn 27257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-z 12320  df-uz 12583  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-ee 27259  df-btwn 27260

This theorem is referenced by:  axcontlem7  27338  axcontlem8  27339