Theorem axcontlem6 28092

Description: Lemma for axcont 28099. State the defining properties of the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 19-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcontlem5.1	⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem5.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}

Assertion

Ref	Expression
axcontlem6	⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐷,𝑥   𝑖,𝑝,𝑡,𝑥,𝑁   𝑃,𝑖,𝑡,𝑥   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝐹

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem6

Dummy variables 𝑠 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2731	. . 3 ⊢ (𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑃)
2		axcontlem5.1	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
3		axcontlem5.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
4	3	axcontlem1 28087	. . . 4 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑦, 𝑠⟩ ∣ (𝑦 ∈ 𝐷 ∧ (𝑠 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑦‘𝑗) = (((1 − 𝑠) · (𝑍‘𝑗)) + (𝑠 · (𝑈‘𝑗)))))}
5	2, 4	axcontlem5 28091	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑃) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗))))))
6	1, 5	mpbii 232	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗)))))
7		fveq2 6878	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑃‘𝑗) = (𝑃‘𝑖))
8		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑍‘𝑗) = (𝑍‘𝑖))
9	8	oveq2d 7409	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) = ((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)))
10		fveq2 6878	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑈‘𝑗) = (𝑈‘𝑖))
11	10	oveq2d 7409	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗)) = ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))
12	9, 11	oveq12d 7411	. . . . 5 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗))) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))
13	7, 12	eqeq12d 2747	. . . 4 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗))) ↔ (𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
14	13	cbvralvw 3233	. . 3 ⊢ (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖))))
15	14	anbi2i 623	. 2 ⊢ (((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑗) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑗)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑗)))) ↔ ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))
16	6, 15	sylib 217	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − (𝐹‘𝑃)) · (𝑍‘𝑖)) + ((𝐹‘𝑃) · (𝑈‘𝑖)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  {crab 3431  ⟨cop 4628   class class class wbr 5141  {copab 5203  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  0cc0 11092  1c1 11093   + caddc 11095   · cmul 11097  +∞cpnf 11227   − cmin 11426  ℕcn 12194  [,)cico 13308  ...cfz 13466  𝔼cee 28011   Btwn cbtwn 28012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708  ax-cnex 11148  ax-resscn 11149  ax-1cn 11150  ax-icn 11151  ax-addcl 11152  ax-addrcl 11153  ax-mulcl 11154  ax-mulrcl 11155  ax-mulcom 11156  ax-addass 11157  ax-mulass 11158  ax-distr 11159  ax-i2m1 11160  ax-1ne0 11161  ax-1rid 11162  ax-rnegex 11163  ax-rrecex 11164  ax-cnre 11165  ax-pre-lttri 11166  ax-pre-lttrn 11167  ax-pre-ltadd 11168  ax-pre-mulgt0 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6289  df-ord 6356  df-on 6357  df-lim 6358  df-suc 6359  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-om 7839  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-frecs 8248  df-wrecs 8279  df-recs 8353  df-rdg 8392  df-er 8686  df-map 8805  df-en 8923  df-dom 8924  df-sdom 8925  df-pnf 11232  df-mnf 11233  df-xr 11234  df-ltxr 11235  df-le 11236  df-sub 11428  df-neg 11429  df-div 11854  df-nn 12195  df-z 12541  df-uz 12805  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13467  df-ee 28014  df-btwn 28015

This theorem is referenced by:  axcontlem7  28093  axcontlem8  28094