MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem6 28999
Description: Lemma for axcont 29006. State the defining properties of the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem5.1 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem5.2 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem6 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐷,𝑥   𝑖,𝑝,𝑡,𝑥,𝑁   𝑃,𝑖,𝑡,𝑥   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝐹
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem6
Dummy variables 𝑠 𝑦 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . 3 (𝐹𝑃) = (𝐹𝑃)
2 axcontlem5.1 . . . 4 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
3 axcontlem5.2 . . . . 5 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
43axcontlem1 28994 . . . 4 𝐹 = {⟨𝑦, 𝑠⟩ ∣ (𝑦𝐷 ∧ (𝑠 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑦𝑗) = (((1 − 𝑠) · (𝑍𝑗)) + (𝑠 · (𝑈𝑗)))))}
52, 4axcontlem5 28998 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) = (𝐹𝑃) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑗) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗))))))
61, 5mpbii 233 . 2 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑗) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗)))))
7 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (𝑃𝑗) = (𝑃𝑖))
8 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝑍𝑗) = (𝑍𝑖))
98oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) = ((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)))
10 fveq2 6907 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝑈𝑗) = (𝑈𝑖))
1110oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗)) = ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))
129, 11oveq12d 7449 . . . . 5 (𝑗 = 𝑖 → (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗))) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))))
137, 12eqeq12d 2751 . . . 4 (𝑗 = 𝑖 → ((𝑃𝑗) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗))) ↔ (𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))))
1413cbvralvw 3235 . . 3 (∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑗) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖))))
1514anbi2i 623 . 2 (((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑗 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑗) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑗)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑗)))) ↔ ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))))
166, 15sylib 218 1 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − (𝐹𝑃)) · (𝑍𝑖)) + ((𝐹𝑃) · (𝑈𝑖)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  {crab 3433  cop 4637   class class class wbr 5148  {copab 5210  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  +∞cpnf 11290  cmin 11490  cn 12264  [,)cico 13386  ...cfz 13544  𝔼cee 28918   Btwn cbtwn 28919
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-z 12612  df-uz 12877  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-ee 28921  df-btwn 28922
This theorem is referenced by:  axcontlem7  29000  axcontlem8  29001
  Copyright terms: Public domain W3C validator