MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem6 28491
Description: Lemma for axcont 28498. State the defining properties of the value of ๐น. (Contributed by Scott Fenton, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem5.1 ๐ท = {๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆฃ (๐‘ˆ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆจ ๐‘ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ˆโŸฉ)}
axcontlem5.2 ๐น = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem6 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐ท,๐‘ฅ   ๐‘–,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘ก,๐‘ฅ   ๐‘ˆ,๐‘–,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ   ๐‘–,๐‘,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ   ๐‘–,๐น
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘–,๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ก,๐‘)

Proof of Theorem axcontlem6
Dummy variables ๐‘  ๐‘ฆ ๐‘— are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2731 . . 3 (๐นโ€˜๐‘ƒ) = (๐นโ€˜๐‘ƒ)
2 axcontlem5.1 . . . 4 ๐ท = {๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆฃ (๐‘ˆ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆจ ๐‘ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ˆโŸฉ)}
3 axcontlem5.2 . . . . 5 ๐น = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))}
43axcontlem1 28486 . . . 4 ๐น = {โŸจ๐‘ฆ, ๐‘ โŸฉ โˆฃ (๐‘ฆ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘  โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฆโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ ๐‘ ) ยท (๐‘โ€˜๐‘—)) + (๐‘  ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘—)))))}
52, 4axcontlem5 28490 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = (๐นโ€˜๐‘ƒ) โ†” ((๐นโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘—)) + ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘—))))))
61, 5mpbii 232 . 2 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘—)) + ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘—)))))
7 fveq2 6892 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘—) = (๐‘ƒโ€˜๐‘–))
8 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘โ€˜๐‘—) = (๐‘โ€˜๐‘–))
98oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘– โ†’ ((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘—)) = ((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)))
10 fveq2 6892 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘ˆโ€˜๐‘—) = (๐‘ˆโ€˜๐‘–))
1110oveq2d 7428 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘– โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘—)) = ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))
129, 11oveq12d 7430 . . . . 5 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘—)) + ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘—))) = (((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))
137, 12eqeq12d 2747 . . . 4 (๐‘— = ๐‘– โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘—)) + ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘—))) โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
1413cbvralvw 3233 . . 3 (โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘—)) + ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘—))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))
1514anbi2i 622 . 2 (((๐นโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘— โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘—) = (((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘—)) + ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘—)))) โ†” ((๐นโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
166, 15sylib 217 1 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ (๐นโ€˜๐‘ƒ)) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + ((๐นโ€˜๐‘ƒ) ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆ€wral 3060  {crab 3431  โŸจcop 4635   class class class wbr 5149  {copab 5211  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118  +โˆžcpnf 11250   โˆ’ cmin 11449  โ„•cn 12217  [,)cico 13331  ...cfz 13489  ๐”ผcee 28410   Btwn cbtwn 28411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-z 12564  df-uz 12828  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-ee 28413  df-btwn 28414
This theorem is referenced by:  axcontlem7  28492  axcontlem8  28493
  Copyright terms: Public domain W3C validator