Theorem axcontlem5 27980

Description: Lemma for axcont 27988. Compute the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcontlem5.1	⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem5.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}

Assertion

Ref	Expression
axcontlem5	⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐷,𝑥   𝑖,𝑝,𝑡,𝑥,𝑁   𝑃,𝑖,𝑡,𝑥   𝑥,𝑇,𝑖,𝑡   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑇(𝑝)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcontlem5.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
2		axcontlem5.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
3	1, 2	axcontlem2 27977	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞))
4		f1of 6789	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
6	5	ffvelcdmda 7040	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞))
7		eleq1 2820	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
8	6, 7	syl5ibcom 244	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 → 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
9		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) → 𝑇 ∈ (0[,)+∞))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) → 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
11		f1ofn 6790	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹 Fn 𝐷)
12	3, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹 Fn 𝐷)
13		fnbrfvb 6900	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ 𝑃𝐹𝑇))
14	12, 13	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ 𝑃𝐹𝑇))
15	14	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ 𝑃𝐹𝑇))
16		eleq1 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑃 ∈ 𝐷))
17		fveq1 6846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝑥‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
18	17	eqeq1d 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) ↔ (𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))
19	18	ralbidv 3170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))
20	19	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))))
21	16, 20	anbi12d 631	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))))
22		eleq1 2820	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
23		oveq2 7370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑇))
24	23	oveq1d 7377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)))
25		oveq1 7369	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝑈‘𝑖)) = (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))
26	24, 25	oveq12d 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))
27	26	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) ↔ (𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))
28	27	ralbidv 3170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))
29	22, 28	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
30	29	anbi2d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))))
31		anass 469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))))
32		anidm 565	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))
33	32	anbi2i 623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
34	31, 33	bitr2i 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
35	34	anbi1i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))
36		anass 469	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
37		anass 469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
38	35, 36, 37	3bitr3i 300	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
39	30, 38	bitrdi 286	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))))
40	21, 39, 2	brabg 5501	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))))
41	40	bianabs 542	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
42	41	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
43	15, 42	bitrd 278	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
44	43	3expia 1121	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → (𝑇 ∈ (0[,)+∞) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))))
45	8, 10, 44	pm5.21ndd 380	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  {crab 3405  ⟨cop 4597   class class class wbr 5110  {copab 5172   Fn wfn 6496  ⟶wf 6497  –1-1-onto→wf1o 6500  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11060  1c1 11061   + caddc 11063   · cmul 11065  +∞cpnf 11195   − cmin 11394  ℕcn 12162  [,)cico 13276  ...cfz 13434  𝔼cee 27900   Btwn cbtwn 27901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-div 11822  df-nn 12163  df-z 12509  df-uz 12773  df-ico 13280  df-icc 13281  df-fz 13435  df-ee 27903  df-btwn 27904

This theorem is referenced by:  axcontlem6  27981