MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem5 28014
Description: Lemma for axcont 28022. Compute the value of ๐น. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem5.1 ๐ท = {๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆฃ (๐‘ˆ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆจ ๐‘ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ˆโŸฉ)}
axcontlem5.2 ๐น = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem5 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐ท,๐‘ฅ   ๐‘–,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘ก,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘–,๐‘ก   ๐‘ˆ,๐‘–,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ   ๐‘–,๐‘,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘–,๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘)   ๐‘‡(๐‘)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ก,๐‘–,๐‘)

Proof of Theorem axcontlem5
StepHypRef Expression
1 axcontlem5.1 . . . . . 6 ๐ท = {๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆฃ (๐‘ˆ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆจ ๐‘ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ˆโŸฉ)}
2 axcontlem5.2 . . . . . 6 ๐น = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))}
31, 2axcontlem2 28011 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โ†’ ๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž))
4 f1of 6804 . . . . 5 (๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โ†’ ๐น:๐ทโŸถ(0[,)+โˆž))
53, 4syl 17 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โ†’ ๐น:๐ทโŸถ(0[,)+โˆž))
65ffvelcdmda 7055 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
7 eleq1 2820 . . 3 ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
86, 7syl5ibcom 244 . 2 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
9 simpl 483 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž))
109a1i 11 . 2 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
11 f1ofn 6805 . . . . . . 7 (๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โ†’ ๐น Fn ๐ท)
123, 11syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โ†’ ๐น Fn ๐ท)
13 fnbrfvb 6915 . . . . . 6 ((๐น Fn ๐ท โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” ๐‘ƒ๐น๐‘‡))
1412, 13sylan 580 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” ๐‘ƒ๐น๐‘‡))
15143adant3 1132 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” ๐‘ƒ๐น๐‘‡))
16 eleq1 2820 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†” ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท))
17 fveq1 6861 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (๐‘ƒโ€˜๐‘–))
1817eqeq1d 2733 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
1918ralbidv 3176 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
2019anbi2d 629 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
2116, 20anbi12d 631 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
22 eleq1 2820 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
23 oveq2 7385 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ ๐‘‡))
2423oveq1d 7392 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)))
25 oveq1 7384 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)) = (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))
2624, 25oveq12d 7395 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))
2726eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
2827ralbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
2922, 28anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
3029anbi2d 629 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
31 anass 469 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž))))
32 anidm 565 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†” ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž))
3332anbi2i 623 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
3431, 33bitr2i 275 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
3534anbi1i 624 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” (((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
36 anass 469 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
37 anass 469 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
3835, 36, 373bitr3i 300 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
3930, 38bitrdi 286 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
4021, 39, 2brabg 5516 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ƒ๐น๐‘‡ โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
4140bianabs 542 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ƒ๐น๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
42413adant1 1130 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ƒ๐น๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
4315, 42bitrd 278 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
44433expia 1121 . 2 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
458, 10, 44pm5.21ndd 380 1 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2939  โˆ€wral 3060  {crab 3418  โŸจcop 4612   class class class wbr 5125  {copab 5187   Fn wfn 6511  โŸถwf 6512  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6515  โ€˜cfv 6516  (class class class)co 7377  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   ยท cmul 11080  +โˆžcpnf 11210   โˆ’ cmin 11409  โ„•cn 12177  [,)cico 13291  ...cfz 13449  ๐”ผcee 27934   Btwn cbtwn 27935
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-pred 6273  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7333  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-om 7823  df-1st 7941  df-2nd 7942  df-frecs 8232  df-wrecs 8263  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8670  df-map 8789  df-en 8906  df-dom 8907  df-sdom 8908  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11411  df-neg 11412  df-div 11837  df-nn 12178  df-z 12524  df-uz 12788  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13450  df-ee 27937  df-btwn 27938
This theorem is referenced by:  axcontlem6  28015
  Copyright terms: Public domain W3C validator