MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem5 28264
Description: Lemma for axcont 28272. Compute the value of ๐น. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem5.1 ๐ท = {๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆฃ (๐‘ˆ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆจ ๐‘ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ˆโŸฉ)}
axcontlem5.2 ๐น = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem5 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐ท,๐‘ฅ   ๐‘–,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘ก,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘–,๐‘ก   ๐‘ˆ,๐‘–,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ   ๐‘–,๐‘,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘–,๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘)   ๐‘‡(๐‘)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ก,๐‘–,๐‘)

Proof of Theorem axcontlem5
StepHypRef Expression
1 axcontlem5.1 . . . . . 6 ๐ท = {๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆฃ (๐‘ˆ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆจ ๐‘ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ˆโŸฉ)}
2 axcontlem5.2 . . . . . 6 ๐น = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))}
31, 2axcontlem2 28261 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โ†’ ๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž))
4 f1of 6833 . . . . 5 (๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โ†’ ๐น:๐ทโŸถ(0[,)+โˆž))
53, 4syl 17 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โ†’ ๐น:๐ทโŸถ(0[,)+โˆž))
65ffvelcdmda 7086 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
7 eleq1 2821 . . 3 ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
86, 7syl5ibcom 244 . 2 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
9 simpl 483 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž))
109a1i 11 . 2 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
11 f1ofn 6834 . . . . . . 7 (๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โ†’ ๐น Fn ๐ท)
123, 11syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โ†’ ๐น Fn ๐ท)
13 fnbrfvb 6944 . . . . . 6 ((๐น Fn ๐ท โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” ๐‘ƒ๐น๐‘‡))
1412, 13sylan 580 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” ๐‘ƒ๐น๐‘‡))
15143adant3 1132 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” ๐‘ƒ๐น๐‘‡))
16 eleq1 2821 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†” ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท))
17 fveq1 6890 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (๐‘ƒโ€˜๐‘–))
1817eqeq1d 2734 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
1918ralbidv 3177 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
2019anbi2d 629 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
2116, 20anbi12d 631 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
22 eleq1 2821 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
23 oveq2 7419 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ ๐‘‡))
2423oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)))
25 oveq1 7418 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)) = (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))
2624, 25oveq12d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))
2726eqeq2d 2743 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
2827ralbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
2922, 28anbi12d 631 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
3029anbi2d 629 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
31 anass 469 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž))))
32 anidm 565 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†” ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž))
3332anbi2i 623 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
3431, 33bitr2i 275 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
3534anbi1i 624 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” (((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
36 anass 469 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
37 anass 469 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
3835, 36, 373bitr3i 300 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
3930, 38bitrdi 286 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
4021, 39, 2brabg 5539 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ƒ๐น๐‘‡ โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
4140bianabs 542 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ƒ๐น๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
42413adant1 1130 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ƒ๐น๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
4315, 42bitrd 278 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
44433expia 1121 . 2 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
458, 10, 44pm5.21ndd 380 1 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  โˆ€wral 3061  {crab 3432  โŸจcop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   Fn wfn 6538  โŸถwf 6539  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  +โˆžcpnf 11247   โˆ’ cmin 11446  โ„•cn 12214  [,)cico 13328  ...cfz 13486  ๐”ผcee 28184   Btwn cbtwn 28185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-z 12561  df-uz 12825  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-ee 28187  df-btwn 28188
This theorem is referenced by:  axcontlem6  28265
  Copyright terms: Public domain W3C validator