Theorem axcontlem5 28952

Description: Lemma for axcont 28960. Compute the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
axcontlem5.1	⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem5.2	⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}

Assertion

Ref	Expression
axcontlem5	⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))

Distinct variable groups:   𝑡,𝐷,𝑥   𝑖,𝑝,𝑡,𝑥,𝑁   𝑃,𝑖,𝑡,𝑥   𝑥,𝑇,𝑖,𝑡   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑇(𝑝)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axcontlem5.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
2		axcontlem5.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))}
3	1, 2	axcontlem2 28949	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞))
4		f1of 6823	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
5	3, 4	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
6	5	ffvelcdmda 7079	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞))
7		eleq1 2823	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
8	6, 7	syl5ibcom 245	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 → 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
9		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) → 𝑇 ∈ (0[,)+∞))
10	9	a1i 11	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) → 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
11		f1ofn 6824	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹 Fn 𝐷)
12	3, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹 Fn 𝐷)
13		fnbrfvb 6934	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ 𝑃𝐹𝑇))
14	12, 13	sylan 580	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ 𝑃𝐹𝑇))
15	14	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ 𝑃𝐹𝑇))
16		eleq1 2823	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑃 ∈ 𝐷))
17		fveq1 6880	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝑥‘𝑖) = (𝑃‘𝑖))
18	17	eqeq1d 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) ↔ (𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))
19	18	ralbidv 3164	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))
20	19	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))))
21	16, 20	anbi12d 632	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))))
22		eleq1 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
23		oveq2 7418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑇))
24	23	oveq1d 7425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)))
25		oveq1 7417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝑈‘𝑖)) = (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))
26	24, 25	oveq12d 7428	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))
27	26	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) ↔ (𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))
28	27	ralbidv 3164	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))
29	22, 28	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
30	29	anbi2d 630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))))
31		anass 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))))
32		anidm 564	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))
33	32	anbi2i 623	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
34	31, 33	bitr2i 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
35	34	anbi1i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))
36		anass 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
37		anass 468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
38	35, 36, 37	3bitr3i 301	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
39	30, 38	bitrdi 287	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))))
40	21, 39, 2	brabg 5519	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))))
41	40	bianabs 541	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
42	41	3adant1 1130	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
43	15, 42	bitrd 279	. . 3 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))
44	43	3expia 1121	. 2 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → (𝑇 ∈ (0[,)+∞) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))))
45	8, 10, 44	pm5.21ndd 379	1 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  {crab 3420  ⟨cop 4612   class class class wbr 5124  {copab 5186   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  –1-1-onto→wf1o 6535  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139  +∞cpnf 11271   − cmin 11471  ℕcn 12245  [,)cico 13369  ...cfz 13529  𝔼cee 28872   Btwn cbtwn 28873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-z 12594  df-uz 12858  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-ee 28875  df-btwn 28876

This theorem is referenced by:  axcontlem6  28953