MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem5 28490
Description: Lemma for axcont 28498. Compute the value of ๐น. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem5.1 ๐ท = {๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆฃ (๐‘ˆ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆจ ๐‘ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ˆโŸฉ)}
axcontlem5.2 ๐น = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem5 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
Distinct variable groups:   ๐‘ก,๐ท,๐‘ฅ   ๐‘–,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ,๐‘   ๐‘ƒ,๐‘–,๐‘ก,๐‘ฅ   ๐‘ฅ,๐‘‡,๐‘–,๐‘ก   ๐‘ˆ,๐‘–,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ   ๐‘–,๐‘,๐‘,๐‘ก,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ท(๐‘–,๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘)   ๐‘‡(๐‘)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘ก,๐‘–,๐‘)

Proof of Theorem axcontlem5
StepHypRef Expression
1 axcontlem5.1 . . . . . 6 ๐ท = {๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆฃ (๐‘ˆ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ โˆจ ๐‘ Btwn โŸจ๐‘, ๐‘ˆโŸฉ)}
2 axcontlem5.2 . . . . . 6 ๐น = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘กโŸฉ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))}
31, 2axcontlem2 28487 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โ†’ ๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž))
4 f1of 6834 . . . . 5 (๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โ†’ ๐น:๐ทโŸถ(0[,)+โˆž))
53, 4syl 17 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โ†’ ๐น:๐ทโŸถ(0[,)+โˆž))
65ffvelcdmda 7087 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (0[,)+โˆž))
7 eleq1 2820 . . 3 ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
86, 7syl5ibcom 244 . 2 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
9 simpl 482 . . 3 ((๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž))
109a1i 11 . 2 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
11 f1ofn 6835 . . . . . . 7 (๐น:๐ทโ€“1-1-ontoโ†’(0[,)+โˆž) โ†’ ๐น Fn ๐ท)
123, 11syl 17 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โ†’ ๐น Fn ๐ท)
13 fnbrfvb 6945 . . . . . 6 ((๐น Fn ๐ท โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” ๐‘ƒ๐น๐‘‡))
1412, 13sylan 579 . . . . 5 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” ๐‘ƒ๐น๐‘‡))
15143adant3 1131 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” ๐‘ƒ๐น๐‘‡))
16 eleq1 2820 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โ†” ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท))
17 fveq1 6891 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (๐‘ƒโ€˜๐‘–))
1817eqeq1d 2733 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
1918ralbidv 3176 . . . . . . . . 9 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
2019anbi2d 628 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
2116, 20anbi12d 630 . . . . . . 7 (๐‘ฅ = ๐‘ƒ โ†’ ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
22 eleq1 2820 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†” ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
23 oveq2 7420 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (1 โˆ’ ๐‘ก) = (1 โˆ’ ๐‘‡))
2423oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) = ((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)))
25 oveq1 7419 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)) = (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))
2624, 25oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))
2726eqeq2d 2742 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) โ†” (๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
2827ralbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))) โ†” โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
2922, 28anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
3029anbi2d 628 . . . . . . . 8 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
31 anass 468 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž))))
32 anidm 564 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†” ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž))
3332anbi2i 622 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
3431, 33bitr2i 275 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)))
3534anbi1i 623 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” (((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))
36 anass 468 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” (๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
37 anass 468 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
3835, 36, 373bitr3i 300 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
3930, 38bitrdi 286 . . . . . . 7 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง (๐‘ก โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘ก) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘ก ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))) โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
4021, 39, 2brabg 5540 . . . . . 6 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ƒ๐น๐‘‡ โ†” ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โˆง (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
4140bianabs 541 . . . . 5 ((๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ƒ๐น๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
42413adant1 1129 . . . 4 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ (๐‘ƒ๐น๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
4315, 42bitrd 278 . . 3 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท โˆง ๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž)) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
44433expia 1120 . 2 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–)))))))
458, 10, 44pm5.21ndd 379 1 ((((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘) โˆง ๐‘ˆ โˆˆ (๐”ผโ€˜๐‘)) โˆง ๐‘ โ‰  ๐‘ˆ) โˆง ๐‘ƒ โˆˆ ๐ท) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ƒ) = ๐‘‡ โ†” (๐‘‡ โˆˆ (0[,)+โˆž) โˆง โˆ€๐‘– โˆˆ (1...๐‘)(๐‘ƒโ€˜๐‘–) = (((1 โˆ’ ๐‘‡) ยท (๐‘โ€˜๐‘–)) + (๐‘‡ ยท (๐‘ˆโ€˜๐‘–))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1086   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939  โˆ€wral 3060  {crab 3431  โŸจcop 4635   class class class wbr 5149  {copab 5211   Fn wfn 6539  โŸถwf 6540  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6543  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   + caddc 11116   ยท cmul 11118  +โˆžcpnf 11250   โˆ’ cmin 11449  โ„•cn 12217  [,)cico 13331  ...cfz 13489  ๐”ผcee 28410   Btwn cbtwn 28411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-z 12564  df-uz 12828  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-ee 28413  df-btwn 28414
This theorem is referenced by:  axcontlem6  28491
  Copyright terms: Public domain W3C validator