Proof of Theorem axcontlem5
| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | axcontlem5.1 | . . . . . 6
⊢ 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn 〈𝑍, 𝑝〉 ∨ 𝑝 Btwn 〈𝑍, 𝑈〉)} | 
| 2 |  | axcontlem5.2 | . . . . . 6
⊢ 𝐹 = {〈𝑥, 𝑡〉 ∣ (𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))} | 
| 3 | 1, 2 | axcontlem2 28981 | . . . . 5
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞)) | 
| 4 |  | f1of 6847 | . . . . 5
⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞)) | 
| 5 | 3, 4 | syl 17 | . . . 4
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞)) | 
| 6 | 5 | ffvelcdmda 7103 | . . 3
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞)) | 
| 7 |  | eleq1 2828 | . . 3
⊢ ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 → ((𝐹‘𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑇 ∈
(0[,)+∞))) | 
| 8 | 6, 7 | syl5ibcom 245 | . 2
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 → 𝑇 ∈ (0[,)+∞))) | 
| 9 |  | simpl 482 | . . 3
⊢ ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧
∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) → 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) | 
| 10 | 9 | a1i 11 | . 2
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) → 𝑇 ∈ (0[,)+∞))) | 
| 11 |  | f1ofn 6848 | . . . . . . 7
⊢ (𝐹:𝐷–1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹 Fn 𝐷) | 
| 12 | 3, 11 | syl 17 | . . . . . 6
⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) → 𝐹 Fn 𝐷) | 
| 13 |  | fnbrfvb 6958 | . . . . . 6
⊢ ((𝐹 Fn 𝐷 ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ 𝑃𝐹𝑇)) | 
| 14 | 12, 13 | sylan 580 | . . . . 5
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ 𝑃𝐹𝑇)) | 
| 15 | 14 | 3adant3 1132 | . . . 4
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ 𝑃𝐹𝑇)) | 
| 16 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ 𝑃 ∈ 𝐷)) | 
| 17 |  | fveq1 6904 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑥 = 𝑃 → (𝑥‘𝑖) = (𝑃‘𝑖)) | 
| 18 | 17 | eqeq1d 2738 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) ↔ (𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))) | 
| 19 | 18 | ralbidv 3177 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 = 𝑃 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))) | 
| 20 | 19 | anbi2d 630 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 21 | 16, 20 | anbi12d 632 | . . . . . . 7
⊢ (𝑥 = 𝑃 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))))) | 
| 22 |  | eleq1 2828 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑇 ∈
(0[,)+∞))) | 
| 23 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑡 = 𝑇 → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑇)) | 
| 24 | 23 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖))) | 
| 25 |  | oveq1 7439 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝑈‘𝑖)) = (𝑇 · (𝑈‘𝑖))) | 
| 26 | 24, 25 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 = 𝑇 → (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) | 
| 27 | 26 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) ↔ (𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))) | 
| 28 | 27 | ralbidv 3177 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))) | 
| 29 | 22, 28 | anbi12d 632 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 30 | 29 | anbi2d 630 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))) | 
| 31 |  | anass 468 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔
(𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈
(0[,)+∞)))) | 
| 32 |  | anidm 564 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧
𝑇 ∈ (0[,)+∞))
↔ 𝑇 ∈
(0[,)+∞)) | 
| 33 | 32 | anbi2i 623 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))) ↔
(𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))) | 
| 34 | 31, 33 | bitr2i 276 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈
(0[,)+∞))) | 
| 35 | 34 | anbi1i 624 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧
∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))) | 
| 36 |  | anass 468 | . . . . . . . . 9
⊢ (((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ (𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 37 |  | anass 468 | . . . . . . . . 9
⊢ ((((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧
∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))) ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧
∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 38 | 35, 36, 37 | 3bitr3i 301 | . . . . . . . 8
⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧
∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 39 | 30, 38 | bitrdi 287 | . . . . . . 7
⊢ (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑡 · (𝑈‘𝑖))))) ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧
∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))) | 
| 40 | 21, 39, 2 | brabg 5543 | . . . . . 6
⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧
∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))) | 
| 41 | 40 | bianabs 541 | . . . . 5
⊢ ((𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 42 | 41 | 3adant1 1130 | . . . 4
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 43 | 15, 42 | bitrd 279 | . . 3
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷 ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))) | 
| 44 | 43 | 3expia 1121 | . 2
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → (𝑇 ∈ (0[,)+∞) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖))))))) | 
| 45 | 8, 10, 44 | pm5.21ndd 379 | 1
⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍 ≠ 𝑈) ∧ 𝑃 ∈ 𝐷) → ((𝐹‘𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃‘𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍‘𝑖)) + (𝑇 · (𝑈‘𝑖)))))) |