MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  axcontlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem axcontlem5 26765
Description: Lemma for axcont 26773. Compute the value of 𝐹. (Contributed by Scott Fenton, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
axcontlem5.1 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
axcontlem5.2 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
Assertion
Ref Expression
axcontlem5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
Distinct variable groups:   𝑡,𝐷,𝑥   𝑖,𝑝,𝑡,𝑥,𝑁   𝑃,𝑖,𝑡,𝑥   𝑥,𝑇,𝑖,𝑡   𝑈,𝑖,𝑝,𝑡,𝑥   𝑖,𝑍,𝑝,𝑡,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐷(𝑖,𝑝)   𝑃(𝑝)   𝑇(𝑝)   𝐹(𝑥,𝑡,𝑖,𝑝)

Proof of Theorem axcontlem5
StepHypRef Expression
1 axcontlem5.1 . . . . . 6 𝐷 = {𝑝 ∈ (𝔼‘𝑁) ∣ (𝑈 Btwn ⟨𝑍, 𝑝⟩ ∨ 𝑝 Btwn ⟨𝑍, 𝑈⟩)}
2 axcontlem5.2 . . . . . 6 𝐹 = {⟨𝑥, 𝑡⟩ ∣ (𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))}
31, 2axcontlem2 26762 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) → 𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞))
4 f1of 6606 . . . . 5 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
53, 4syl 17 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) → 𝐹:𝐷⟶(0[,)+∞))
65ffvelrnda 6842 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → (𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞))
7 eleq1 2903 . . 3 ((𝐹𝑃) = 𝑇 → ((𝐹𝑃) ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
86, 7syl5ibcom 248 . 2 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) = 𝑇𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
9 simpl 486 . . 3 ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))) → 𝑇 ∈ (0[,)+∞))
109a1i 11 . 2 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))) → 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
11 f1ofn 6607 . . . . . . 7 (𝐹:𝐷1-1-onto→(0[,)+∞) → 𝐹 Fn 𝐷)
123, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) → 𝐹 Fn 𝐷)
13 fnbrfvb 6709 . . . . . 6 ((𝐹 Fn 𝐷𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) = 𝑇𝑃𝐹𝑇))
1412, 13sylan 583 . . . . 5 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) = 𝑇𝑃𝐹𝑇))
15143adant3 1129 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹𝑃) = 𝑇𝑃𝐹𝑇))
16 eleq1 2903 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑃 → (𝑥𝐷𝑃𝐷))
17 fveq1 6660 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑃 → (𝑥𝑖) = (𝑃𝑖))
1817eqeq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))) ↔ (𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))
1918ralbidv 3192 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑃 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))
2019anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))) ↔ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))))))
2116, 20anbi12d 633 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑃 → ((𝑥𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑥𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))))) ↔ (𝑃𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))))))
22 eleq1 2903 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ↔ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
23 oveq2 7157 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑡 = 𝑇 → (1 − 𝑡) = (1 − 𝑇))
2423oveq1d 7164 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑇 → ((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) = ((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)))
25 oveq1 7156 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑡 = 𝑇 → (𝑡 · (𝑈𝑖)) = (𝑇 · (𝑈𝑖)))
2624, 25oveq12d 7167 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 = 𝑇 → (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))
2726eqeq2d 2835 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))) ↔ (𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))
2827ralbidv 3192 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = 𝑇 → (∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))) ↔ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))
2922, 28anbi12d 633 . . . . . . . . 9 (𝑡 = 𝑇 → ((𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖)))) ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
3029anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))))) ↔ (𝑃𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))))
31 anass 472 . . . . . . . . . . 11 (((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ (𝑃𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))))
32 anidm 568 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))
3332anbi2i 625 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞))) ↔ (𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
3431, 33bitr2i 279 . . . . . . . . . 10 ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ↔ ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)))
3534anbi1i 626 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))) ↔ (((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))
36 anass 472 . . . . . . . . 9 (((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))) ↔ (𝑃𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
37 anass 472 . . . . . . . . 9 ((((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ 𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))) ↔ ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
3835, 36, 373bitr3i 304 . . . . . . . 8 ((𝑃𝐷 ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))) ↔ ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
3930, 38syl6bb 290 . . . . . . 7 (𝑡 = 𝑇 → ((𝑃𝐷 ∧ (𝑡 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑡) · (𝑍𝑖)) + (𝑡 · (𝑈𝑖))))) ↔ ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))))
4021, 39, 2brabg 5413 . . . . . 6 ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) ∧ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))))
4140bianabs 545 . . . . 5 ((𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
42413adant1 1127 . . . 4 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → (𝑃𝐹𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
4315, 42bitrd 282 . . 3 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷𝑇 ∈ (0[,)+∞)) → ((𝐹𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
44433expia 1118 . 2 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → (𝑇 ∈ (0[,)+∞) → ((𝐹𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖)))))))
458, 10, 44pm5.21ndd 384 1 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑍 ∈ (𝔼‘𝑁) ∧ 𝑈 ∈ (𝔼‘𝑁)) ∧ 𝑍𝑈) ∧ 𝑃𝐷) → ((𝐹𝑃) = 𝑇 ↔ (𝑇 ∈ (0[,)+∞) ∧ ∀𝑖 ∈ (1...𝑁)(𝑃𝑖) = (((1 − 𝑇) · (𝑍𝑖)) + (𝑇 · (𝑈𝑖))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  {crab 3137  cop 4556   class class class wbr 5052  {copab 5114   Fn wfn 6338  wf 6339  1-1-ontowf1o 6342  cfv 6343  (class class class)co 7149  0cc0 10535  1c1 10536   + caddc 10538   · cmul 10540  +∞cpnf 10670  cmin 10868  cn 11634  [,)cico 12737  ...cfz 12894  𝔼cee 26685   Btwn cbtwn 26686
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-z 11979  df-uz 12241  df-ico 12741  df-icc 12742  df-fz 12895  df-ee 26688  df-btwn 26689
This theorem is referenced by:  axcontlem6  26766
  Copyright terms: Public domain W3C validator