Theorem isrhm 20760

Description: A function is a ring homomorphism iff it preserves both addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
isrhm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
isrhm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))

Proof of Theorem isrhm

Dummy variables 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrhm2 20755	. . 3 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))))
2	1	elmpocl 7694	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
3		oveq12 7460	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑟 GrpHom 𝑠) = (𝑅 GrpHom 𝑆))
4		fveq2 6916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
5		fveq2 6916	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (mulGrp‘𝑠) = (mulGrp‘𝑆))
6	4, 5	oveqan12d 7470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
7	3, 6	ineq12d 4121	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
8		ovex 7484	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∈ V
9	8	inex1 5284	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ∈ V
10	7, 1, 9	ovmpoa 7607	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝑅 RingHom 𝑆) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
11	10	eleq2d 2850	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
12		elin 4096	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
13		isrhm.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
14		isrhm.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)
15	13, 14	oveq12i 7463	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 MndHom 𝑁) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))
16	15	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) = (𝑀 MndHom 𝑁)
17	16	eleq2i 2856	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
18	17	anbi2i 635	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁)))
19	12, 18	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁)))
20	11, 19	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))
21	2, 20	biadanii 834	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∩ cin 4092  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   MndHom cmhm 19026   GrpHom cghm 19477  mulGrpcmgp 20411  Ringcrg 20510   RingHom crh 20750

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mhm 19028  df-ghm 19478  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-rhm 20753

This theorem is used by:  rhmmhm  20761  rhmisrnghm  20762  rhmghm  20765  isrhm2d  20772  idrhm  20776  rhmf1o  20778  rhmco  20790  pwsco1rhm  20792  pwsco2rhm  20793  isbrric2  20804  c0rhm  20837  resrhm  20904  resrhm2b  20905  pwsdiagrhm  20910  rhmpropd  20912  mat1rhm  22855  scmatrhm  22905  mat2pmatrhm  23107  m2cpmrhm  23119  pm2mprhm  23194  zringfrac  34189