Theorem isrhm 20426

Description: A function is a ring homomorphism iff it preserves both addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
isrhm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
isrhm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))

Proof of Theorem isrhm

Dummy variables 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrhm2 20422	. . 3 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))))
2	1	elmpocl 7609	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
3		oveq12 7377	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑟 GrpHom 𝑠) = (𝑅 GrpHom 𝑆))
4		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
5		fveq2 6842	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (mulGrp‘𝑠) = (mulGrp‘𝑆))
6	4, 5	oveqan12d 7387	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
7	3, 6	ineq12d 4175	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
8		ovex 7401	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∈ V
9	8	inex1 5264	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ∈ V
10	7, 1, 9	ovmpoa 7523	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝑅 RingHom 𝑆) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
11	10	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
12		elin 3919	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
13		isrhm.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
14		isrhm.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)
15	13, 14	oveq12i 7380	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 MndHom 𝑁) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))
16	15	eqcomi 2746	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) = (𝑀 MndHom 𝑁)
17	16	eleq2i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
18	17	anbi2i 624	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁)))
19	12, 18	bitri 275	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁)))
20	11, 19	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))
21	2, 20	biadanii 822	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3902  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   MndHom cmhm 18718   GrpHom cghm 19153  mulGrpcmgp 20087  Ringcrg 20180   RingHom crh 20417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-plusg 17202  df-0g 17373  df-mhm 18720  df-ghm 19154  df-mgp 20088  df-ur 20129  df-ring 20182  df-rhm 20420

This theorem is referenced by:  rhmmhm  20427  rhmisrnghm  20428  rhmghm  20431  isrhm2d  20434  idrhm  20437  rhmf1o  20438  rhmco  20446  pwsco1rhm  20447  pwsco2rhm  20448  brric2  20451  c0rhm  20479  resrhm  20546  resrhm2b  20547  pwsdiagrhm  20552  rhmpropd  20554  mat1rhm  22441  scmatrhm  22491  mat2pmatrhm  22690  m2cpmrhm  22702  pm2mprhm  22777  zringfrac  33647