MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isrhm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isrhm 19190
Description: A function is a ring homomorphism iff it preserves both addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isrhm.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
isrhm.n 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)
Assertion
Ref Expression
isrhm (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))

Proof of Theorem isrhm
Dummy variables 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfrhm2 19186 . . 3 RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))))
21elmpocl 7200 . 2 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
3 oveq12 6979 . . . . . 6 ((𝑟 = 𝑅𝑠 = 𝑆) → (𝑟 GrpHom 𝑠) = (𝑅 GrpHom 𝑆))
4 fveq2 6493 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
5 fveq2 6493 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → (mulGrp‘𝑠) = (mulGrp‘𝑆))
64, 5oveqan12d 6989 . . . . . 6 ((𝑟 = 𝑅𝑠 = 𝑆) → ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
73, 6ineq12d 4071 . . . . 5 ((𝑟 = 𝑅𝑠 = 𝑆) → ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
8 ovex 7002 . . . . . 6 (𝑅 GrpHom 𝑆) ∈ V
98inex1 5072 . . . . 5 ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ∈ V
107, 1, 9ovmpoa 7115 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝑅 RingHom 𝑆) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
1110eleq2d 2845 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
12 elin 4051 . . . 4 (𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
13 isrhm.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
14 isrhm.n . . . . . . . 8 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)
1513, 14oveq12i 6982 . . . . . . 7 (𝑀 MndHom 𝑁) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))
1615eqcomi 2781 . . . . . 6 ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) = (𝑀 MndHom 𝑁)
1716eleq2i 2851 . . . . 5 (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
1817anbi2i 613 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁)))
1912, 18bitri 267 . . 3 (𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁)))
2011, 19syl6bb 279 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))
212, 20biadanii 810 1 (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 198  wa 387   = wceq 1507  wcel 2050  cin 3822  cfv 6182  (class class class)co 6970   MndHom cmhm 17795   GrpHom cghm 18120  mulGrpcmgp 18956  Ringcrg 19014   RingHom crh 19181
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2744  ax-rep 5043  ax-sep 5054  ax-nul 5061  ax-pow 5113  ax-pr 5180  ax-un 7273  ax-cnex 10385  ax-resscn 10386  ax-1cn 10387  ax-icn 10388  ax-addcl 10389  ax-addrcl 10390  ax-mulcl 10391  ax-mulrcl 10392  ax-mulcom 10393  ax-addass 10394  ax-mulass 10395  ax-distr 10396  ax-i2m1 10397  ax-1ne0 10398  ax-1rid 10399  ax-rnegex 10400  ax-rrecex 10401  ax-cnre 10402  ax-pre-lttri 10403  ax-pre-lttrn 10404  ax-pre-ltadd 10405  ax-pre-mulgt0 10406
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2753  df-cleq 2765  df-clel 2840  df-nfc 2912  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3087  df-rex 3088  df-reu 3089  df-rab 3091  df-v 3411  df-sbc 3676  df-csb 3781  df-dif 3826  df-un 3828  df-in 3830  df-ss 3837  df-pss 3839  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4707  df-iun 4788  df-br 4924  df-opab 4986  df-mpt 5003  df-tr 5025  df-id 5306  df-eprel 5311  df-po 5320  df-so 5321  df-fr 5360  df-we 5362  df-xp 5407  df-rel 5408  df-cnv 5409  df-co 5410  df-dm 5411  df-rn 5412  df-res 5413  df-ima 5414  df-pred 5980  df-ord 6026  df-on 6027  df-lim 6028  df-suc 6029  df-iota 6146  df-fun 6184  df-fn 6185  df-f 6186  df-f1 6187  df-fo 6188  df-f1o 6189  df-fv 6190  df-riota 6931  df-ov 6973  df-oprab 6974  df-mpo 6975  df-om 7391  df-wrecs 7744  df-recs 7806  df-rdg 7844  df-er 8083  df-map 8202  df-en 8301  df-dom 8302  df-sdom 8303  df-pnf 10470  df-mnf 10471  df-xr 10472  df-ltxr 10473  df-le 10474  df-sub 10666  df-neg 10667  df-nn 11434  df-2 11497  df-ndx 16336  df-slot 16337  df-base 16339  df-sets 16340  df-plusg 16428  df-0g 16565  df-mhm 17797  df-ghm 18121  df-mgp 18957  df-ur 18969  df-ring 19016  df-rnghom 19184
This theorem is referenced by:  rhmmhm  19191  rhmghm  19194  isrhm2d  19197  idrhm  19200  rhmf1o  19201  rhmco  19206  pwsco1rhm  19207  pwsco2rhm  19208  brric2  19217  resrhm  19281  pwsdiagrhm  19285  rhmpropd  19287  mat1rhm  20792  scmatrhm  20842  mat2pmatrhm  21040  m2cpmrhm  21052  pm2mprhm  21127  c0rhm  43547  rhmisrnghm  43555
  Copyright terms: Public domain W3C validator