Theorem isrhm 20557

Description: A function is a ring homomorphism iff it preserves both addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
isrhm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
isrhm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))

Proof of Theorem isrhm

Dummy variables 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrhm2 20552	. . 3 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))))
2	1	elmpocl 7651	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
3		oveq12 7419	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑟 GrpHom 𝑠) = (𝑅 GrpHom 𝑆))
4		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
5		fveq2 6881	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (mulGrp‘𝑠) = (mulGrp‘𝑆))
6	4, 5	oveqan12d 7429	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
7	3, 6	ineq12d 4174	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
8		ovex 7443	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∈ V
9	8	inex1 5286	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ∈ V
10	7, 1, 9	ovmpoa 7565	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝑅 RingHom 𝑆) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
11	10	eleq2d 2849	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
12		elin 3921	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
13		isrhm.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
14		isrhm.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)
15	13, 14	oveq12i 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 MndHom 𝑁) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))
16	15	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) = (𝑀 MndHom 𝑁)
17	16	eleq2i 2855	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
18	17	anbi2i 634	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁)))
19	12, 18	bitri 278	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁)))
20	11, 19	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))
21	2, 20	biadanii 833	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ∩ cin 3904  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   MndHom cmhm 18834   GrpHom cghm 19278  mulGrpcmgp 20211  Ringcrg 20310   RingHom crh 20547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mhm 18836  df-ghm 19279  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-rhm 20550

This theorem is referenced by:  rhmmhm  20558  rhmisrnghm  20559  rhmghm  20562  isrhm2d  20569  idrhm  20573  rhmf1o  20575  rhmco  20587  pwsco1rhm  20589  pwsco2rhm  20590  isbrric2  20601  c0rhm  20633  resrhm  20700  resrhm2b  20701  pwsdiagrhm  20706  rhmpropd  20708  mat1rhm  22642  scmatrhm  22692  mat2pmatrhm  22891  m2cpmrhm  22903  pm2mprhm  22978  zringfrac  33844