Theorem isrhm 19963

Description: A function is a ring homomorphism iff it preserves both addition and multiplication. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isrhm.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
isrhm.n	⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
isrhm	⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))

Proof of Theorem isrhm

Dummy variables 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrhm2 19959	. . 3 ⊢ RingHom = (𝑟 ∈ Ring, 𝑠 ∈ Ring ↦ ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))))
2	1	elmpocl 7505	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) → (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring))
3		oveq12 7280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → (𝑟 GrpHom 𝑠) = (𝑅 GrpHom 𝑆))
4		fveq2 6771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (mulGrp‘𝑟) = (mulGrp‘𝑅))
5		fveq2 6771	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (mulGrp‘𝑠) = (mulGrp‘𝑆))
6	4, 5	oveqan12d 7290	. . . . . 6 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠)) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))
7	3, 6	ineq12d 4153	. . . . 5 ⊢ ((𝑟 = 𝑅 ∧ 𝑠 = 𝑆) → ((𝑟 GrpHom 𝑠) ∩ ((mulGrp‘𝑟) MndHom (mulGrp‘𝑠))) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
8		ovex 7304	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∈ V
9	8	inex1 5245	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ∈ V
10	7, 1, 9	ovmpoa 7422	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝑅 RingHom 𝑆) = ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
11	10	eleq2d 2826	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)))))
12		elin 3908	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))))
13		isrhm.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
14		isrhm.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (mulGrp‘𝑆)
15	13, 14	oveq12i 7283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 MndHom 𝑁) = ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))
16	15	eqcomi 2749	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) = (𝑀 MndHom 𝑁)
17	16	eleq2i 2832	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆)) ↔ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))
18	17	anbi2i 623	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁)))
19	12, 18	bitri 274	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ ((𝑅 GrpHom 𝑆) ∩ ((mulGrp‘𝑅) MndHom (mulGrp‘𝑆))) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁)))
20	11, 19	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) → (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))
21	2, 20	biadanii 819	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑅 RingHom 𝑆) ↔ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ Ring) ∧ (𝐹 ∈ (𝑅 GrpHom 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝑀 MndHom 𝑁))))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ∩ cin 3891  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271   MndHom cmhm 18426   GrpHom cghm 18829  mulGrpcmgp 19718  Ringcrg 19781   RingHom crh 19954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-plusg 16973  df-0g 17150  df-mhm 18428  df-ghm 18830  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-rnghom 19957

This theorem is referenced by:  rhmmhm  19964  rhmghm  19967  isrhm2d  19970  idrhm  19973  rhmf1o  19974  rhmco  19979  pwsco1rhm  19980  pwsco2rhm  19981  brric2  19987  resrhm  20051  pwsdiagrhm  20056  rhmpropd  20058  mat1rhm  21632  scmatrhm  21682  mat2pmatrhm  21881  m2cpmrhm  21893  pm2mprhm  21968  c0rhm  45439  rhmisrnghm  45447