Theorem ccatw2s1len 13828

Description: The length of the concatenation of a word with two singleton words. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 5-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccatw2s1len	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))

Proof of Theorem ccatw2s1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ccatws1clv 13820	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V)
2		ccatws1len 13823	. . 3 ⊢ ((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ∈ Word V → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + 1))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + 1))
4		ccatws1len 13823	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
5	4	oveq1d 7036	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) + 1) = (((♯‘𝑊) + 1) + 1))
6		lencl 13734	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘𝑊) ∈ ℕ0)
7		nn0cn 11760	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ0 → (♯‘𝑊) ∈ ℂ)
8		add1p1 11741	. . 3 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℂ → (((♯‘𝑊) + 1) + 1) = ((♯‘𝑊) + 2))
9	6, 7, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (((♯‘𝑊) + 1) + 1) = ((♯‘𝑊) + 2))
10	3, 5, 9	3eqtrd 2835	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘((𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩) ++ ⟨“𝑌”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 2))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1522   ∈ wcel 2081  Vcvv 3437  ‘cfv 6230  (class class class)co 7021  ℂcc 10386  1c1 10389   + caddc 10391  2c2 11545  ℕ₀cn0 11750  ♯chash 13545  Word cword 13712   ++ cconcat 13773  ⟨“cs1 13798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5086  ax-sep 5099  ax-nul 5106  ax-pow 5162  ax-pr 5226  ax-un 7324  ax-cnex 10444  ax-resscn 10445  ax-1cn 10446  ax-icn 10447  ax-addcl 10448  ax-addrcl 10449  ax-mulcl 10450  ax-mulrcl 10451  ax-mulcom 10452  ax-addass 10453  ax-mulass 10454  ax-distr 10455  ax-i2m1 10456  ax-1ne0 10457  ax-1rid 10458  ax-rnegex 10459  ax-rrecex 10460  ax-cnre 10461  ax-pre-lttri 10462  ax-pre-lttrn 10463  ax-pre-ltadd 10464  ax-pre-mulgt0 10465

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3710  df-csb 3816  df-dif 3866  df-un 3868  df-in 3870  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4216  df-if 4386  df-pw 4459  df-sn 4477  df-pr 4479  df-tp 4481  df-op 4483  df-uni 4750  df-int 4787  df-iun 4831  df-br 4967  df-opab 5029  df-mpt 5046  df-tr 5069  df-id 5353  df-eprel 5358  df-po 5367  df-so 5368  df-fr 5407  df-we 5409  df-xp 5454  df-rel 5455  df-cnv 5456  df-co 5457  df-dm 5458  df-rn 5459  df-res 5460  df-ima 5461  df-pred 6028  df-ord 6074  df-on 6075  df-lim 6076  df-suc 6077  df-iota 6194  df-fun 6232  df-fn 6233  df-f 6234  df-f1 6235  df-fo 6236  df-f1o 6237  df-fv 6238  df-riota 6982  df-ov 7024  df-oprab 7025  df-mpo 7026  df-om 7442  df-1st 7550  df-2nd 7551  df-wrecs 7803  df-recs 7865  df-rdg 7903  df-1o 7958  df-oadd 7962  df-er 8144  df-en 8363  df-dom 8364  df-sdom 8365  df-fin 8366  df-card 9219  df-pnf 10528  df-mnf 10529  df-xr 10530  df-ltxr 10531  df-le 10532  df-sub 10724  df-neg 10725  df-nn 11492  df-2 11553  df-n0 11751  df-z 11835  df-uz 12099  df-fz 12748  df-fzo 12889  df-hash 13546  df-word 13713  df-concat 13774  df-s1 13799

This theorem is referenced by:  clwwlknonex2  27580