Theorem ccatws1len 14515

Description: The length of the concatenation of a word with a singleton word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 4-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccatws1len	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))

Proof of Theorem ccatws1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cli 14500	. . 3 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
2		ccatlen 14470	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
4		s1len 14501	. . 3 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
5	4	oveq2i 7351	. 2 ⊢ ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1)
6	3, 5	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3433  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  1c1 10998   + caddc 11000  ♯chash 14225  Word cword 14408   ++ cconcat 14465  ⟨“cs1 14490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-n0 12373  df-z 12460  df-uz 12724  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-hash 14226  df-word 14409  df-concat 14466  df-s1 14491

This theorem is referenced by:  ccatws1lenp1b  14516  wrdlenccats1lenm1  14517  ccatw2s1len  14520  ccatws1n0  14527  ccatw2s1p1  14531  ccatw2s1p2  14532  cats1un  14615  gsmsymgrfix  19294  gsmsymgreqlem2  19297  wlklenvclwlk  29586  wwlksext2clwwlk  29988  ccatws1f1olast  32889  chnind  32948  chnub  32949  chnccats1  32952  cycpmco2lem2  33064  cycpmco2lem3  33065  cycpmco2lem4  33066  cycpmco2lem5  33067  cycpmco2lem6  33068  cycpmco2  33070  1arithidomlem2  33469  1arithidom  33470  dfufd2lem  33482  sseqf  34373  signstfvneq0  34553  signshf  34569