Theorem ccatws1len 14561

Description: The length of the concatenation of a word with a singleton word. (Contributed by Alexander van der Vekens, 22-Sep-2018.) (Revised by AV, 4-Mar-2022.)

Assertion

Ref	Expression
ccatws1len	⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))

Proof of Theorem ccatws1len

Step	Hyp	Ref	Expression
1		s1cli 14546	. . 3 ⊢ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V
2		ccatlen 14516	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑋”⟩ ∈ Word V) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
3	1, 2	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)))
4		s1len 14547	. . 3 ⊢ (♯‘⟨“𝑋”⟩) = 1
5	4	oveq2i 7380	. 2 ⊢ ((♯‘𝑊) + (♯‘⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1)
6	3, 5	eqtrdi 2780	1 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑋”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047  ♯chash 14271  Word cword 14454   ++ cconcat 14511  ⟨“cs1 14536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-hash 14272  df-word 14455  df-concat 14512  df-s1 14537

This theorem is referenced by:  ccatws1lenp1b  14562  wrdlenccats1lenm1  14563  ccatw2s1len  14566  ccatws1n0  14573  ccatw2s1p1  14577  ccatw2s1p2  14578  cats1un  14662  gsmsymgrfix  19334  gsmsymgreqlem2  19337  wlklenvclwlk  29557  wwlksext2clwwlk  29959  ccatws1f1olast  32847  chnind  32910  chnub  32911  chnccats1  32914  cycpmco2lem2  33057  cycpmco2lem3  33058  cycpmco2lem4  33059  cycpmco2lem5  33060  cycpmco2lem6  33061  cycpmco2  33063  1arithidomlem2  33480  1arithidom  33481  dfufd2lem  33493  sseqf  34356  signstfvneq0  34536  signshf  34552