MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gamcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gamcvg 27001
Description: The pointwise exponential of the series 𝐺 converges to Ξ“(𝐴) Β· 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamcvg.g 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / π‘š) + 1))))
lgamcvg.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
Assertion
Ref Expression
gamcvg (πœ‘ β†’ (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ ((Ξ“β€˜π΄) Β· 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘š   πœ‘,π‘š
Allowed substitution hint:   𝐺(π‘š)

Proof of Theorem gamcvg
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12896 . . 3 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
2 1zzd 12624 . . 3 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„€)
3 efcn 26393 . . . 4 exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
43a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ exp ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
5 lgamcvg.a . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
65eldifad 3959 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
76adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
8 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„•)
98peano2nnd 12260 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ β„•)
109nnrpd 13047 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (π‘š + 1) ∈ ℝ+)
118nnrpd 13047 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ ℝ+)
1210, 11rpdivcld 13066 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((π‘š + 1) / π‘š) ∈ ℝ+)
1312relogcld 26570 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) ∈ ℝ)
1413recnd 11273 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š)) ∈ β„‚)
157, 14mulcld 11265 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝐴 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) ∈ β„‚)
168nncnd 12259 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š ∈ β„‚)
178nnne0d 12293 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ π‘š β‰  0)
187, 16, 17divcld 12021 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (𝐴 / π‘š) ∈ β„‚)
19 1cnd 11240 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„‚)
2018, 19addcld 11264 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / π‘š) + 1) ∈ β„‚)
215adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)))
2221, 8dmgmdivn0 26973 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐴 / π‘š) + 1) β‰  0)
2320, 22logcld 26517 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ (logβ€˜((𝐴 / π‘š) + 1)) ∈ β„‚)
2415, 23subcld 11602 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘š ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / π‘š) + 1))) ∈ β„‚)
25 lgamcvg.g . . . . . 6 𝐺 = (π‘š ∈ β„• ↦ ((𝐴 Β· (logβ€˜((π‘š + 1) / π‘š))) βˆ’ (logβ€˜((𝐴 / π‘š) + 1))))
2624, 25fmptd 7124 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:β„•βŸΆβ„‚)
2726ffvelcdmda 7094 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (πΊβ€˜π‘›) ∈ β„‚)
281, 2, 27serf 14028 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐺):β„•βŸΆβ„‚)
2925, 5lgamcvg 26999 . . 3 (πœ‘ β†’ seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Ξ“β€˜π΄) + (logβ€˜π΄)))
30 lgamcl 26986 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ (log Ξ“β€˜π΄) ∈ β„‚)
315, 30syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (log Ξ“β€˜π΄) ∈ β„‚)
325dmgmn0 26971 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 β‰  0)
336, 32logcld 26517 . . . 4 (πœ‘ β†’ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚)
3431, 33addcld 11264 . . 3 (πœ‘ β†’ ((log Ξ“β€˜π΄) + (logβ€˜π΄)) ∈ β„‚)
351, 2, 4, 28, 29, 34climcncf 24833 . 2 (πœ‘ β†’ (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ (expβ€˜((log Ξ“β€˜π΄) + (logβ€˜π΄))))
36 efadd 16071 . . . 4 (((log Ξ“β€˜π΄) ∈ β„‚ ∧ (logβ€˜π΄) ∈ β„‚) β†’ (expβ€˜((log Ξ“β€˜π΄) + (logβ€˜π΄))) = ((expβ€˜(log Ξ“β€˜π΄)) Β· (expβ€˜(logβ€˜π΄))))
3731, 33, 36syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ (expβ€˜((log Ξ“β€˜π΄) + (logβ€˜π΄))) = ((expβ€˜(log Ξ“β€˜π΄)) Β· (expβ€˜(logβ€˜π΄))))
38 eflgam 26990 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„‚ βˆ– (β„€ βˆ– β„•)) β†’ (expβ€˜(log Ξ“β€˜π΄)) = (Ξ“β€˜π΄))
395, 38syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(log Ξ“β€˜π΄)) = (Ξ“β€˜π΄))
40 eflog 26523 . . . . 5 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 β‰  0) β†’ (expβ€˜(logβ€˜π΄)) = 𝐴)
416, 32, 40syl2anc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(logβ€˜π΄)) = 𝐴)
4239, 41oveq12d 7438 . . 3 (πœ‘ β†’ ((expβ€˜(log Ξ“β€˜π΄)) Β· (expβ€˜(logβ€˜π΄))) = ((Ξ“β€˜π΄) Β· 𝐴))
4337, 42eqtrd 2768 . 2 (πœ‘ β†’ (expβ€˜((log Ξ“β€˜π΄) + (logβ€˜π΄))) = ((Ξ“β€˜π΄) Β· 𝐴))
4435, 43breqtrd 5174 1 (πœ‘ β†’ (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ ((Ξ“β€˜π΄) Β· 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937   βˆ– cdif 3944   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5682  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  0cc0 11139  1c1 11140   + caddc 11142   Β· cmul 11144   βˆ’ cmin 11475   / cdiv 11902  β„•cn 12243  β„€cz 12589  seqcseq 13999   ⇝ cli 15461  expce 16038  β€“cnβ†’ccncf 24809  logclog 26501  log Ξ“clgam 26961  Ξ“cgam 26962
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-tan 16048  df-pi 16049  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-ulm 26326  df-log 26503  df-cxp 26504  df-lgam 26964  df-gam 26965
This theorem is referenced by:  gamcvg2  27005
  Copyright terms: Public domain W3C validator