Theorem gamcvg 26549

Description: The pointwise exponential of the series 𝐺 converges to Γ(𝐴) · 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamcvg.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
lgamcvg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Assertion

Ref	Expression
gamcvg	⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ ((Γ‘𝐴) · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12861	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12589	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		efcn 25946	. . . 4 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5		lgamcvg.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
6	5	eldifad 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		simpr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
9	8	peano2nnd 12225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
10	9	nnrpd 13010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
11	8	nnrpd 13010	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
12	10, 11	rpdivcld 13029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
13	12	relogcld 26122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
15	7, 14	mulcld 11230	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
16	8	nncnd 12224	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
17	8	nnne0d 12258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
18	7, 16, 17	divcld 11986	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑚) ∈ ℂ)
19		1cnd 11205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19	addcld 11229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
21	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
22	21, 8	dmgmdivn0 26521	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
23	20, 22	logcld 26070	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
24	15, 23	subcld 11567	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
25		lgamcvg.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
26	24, 25	fmptd 7110	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
27	26	ffvelcdmda 7083	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
28	1, 2, 27	serf 13992	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
29	25, 5	lgamcvg 26547	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
30		lgamcl 26534	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
31	5, 30	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
32	5	dmgmn0 26519	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
33	6, 32	logcld 26070	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
34	31, 33	addcld 11229	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
35	1, 2, 4, 28, 29, 34	climcncf 24407	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))
36		efadd 16033	. . . 4 ⊢ (((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))))
37	31, 33, 36	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))))
38		eflgam 26538	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
39	5, 38	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
40		eflog 26076	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
41	6, 32, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
42	39, 41	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
43	37, 42	eqtrd 2772	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
44	35, 43	breqtrd 5173	1 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ ((Γ‘𝐴) · 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3944   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   ∘ ccom 5679  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   − cmin 11440   / cdiv 11867  ℕcn 12208  ℤcz 12554  seqcseq 13962   ⇝ cli 15424  expce 16001  –cn→ccncf 24383  logclog 26054  log Γclgam 26509  Γcgam 26510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-tan 16011  df-pi 16012  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-ulm 25880  df-log 26056  df-cxp 26057  df-lgam 26512  df-gam 26513

This theorem is referenced by:  gamcvg2  26553