Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gamcvg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gamcvg 25733
 Description: The pointwise exponential of the series 𝐺 converges to Γ(𝐴) · 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
lgamcvg.g 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
lgamcvg.a (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
Assertion
Ref Expression
gamcvg (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚
Allowed substitution hint:   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 12314 . . 3 ℕ = (ℤ‘1)
2 1zzd 12045 . . 3 (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3 efcn 25130 . . . 4 exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
43a1i 11 . . 3 (𝜑 → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5 lgamcvg.a . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
65eldifad 3871 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
76adantr 485 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8 simpr 489 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
98peano2nnd 11684 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
109nnrpd 12463 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
118nnrpd 12463 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
1210, 11rpdivcld 12482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
1312relogcld 25306 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
1413recnd 10700 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
157, 14mulcld 10692 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
168nncnd 11683 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
178nnne0d 11717 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
187, 16, 17divcld 11447 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑚) ∈ ℂ)
19 1cnd 10667 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
2018, 19addcld 10691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
215adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
2221, 8dmgmdivn0 25705 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
2320, 22logcld 25254 . . . . . . 7 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
2415, 23subcld 11028 . . . . . 6 ((𝜑𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
25 lgamcvg.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
2624, 25fmptd 6870 . . . . 5 (𝜑𝐺:ℕ⟶ℂ)
2726ffvelrnda 6843 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺𝑛) ∈ ℂ)
281, 2, 27serf 13441 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
2925, 5lgamcvg 25731 . . 3 (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
30 lgamcl 25718 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
315, 30syl 17 . . . 4 (𝜑 → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
325dmgmn0 25703 . . . . 5 (𝜑𝐴 ≠ 0)
336, 32logcld 25254 . . . 4 (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
3431, 33addcld 10691 . . 3 (𝜑 → ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
351, 2, 4, 28, 29, 34climcncf 23594 . 2 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))
36 efadd 15488 . . . 4 (((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))))
3731, 33, 36syl2anc 588 . . 3 (𝜑 → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))))
38 eflgam 25722 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
395, 38syl 17 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
40 eflog 25260 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
416, 32, 40syl2anc 588 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
4239, 41oveq12d 7169 . . 3 (𝜑 → ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
4337, 42eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
4435, 43breqtrd 5059 1 (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   ∖ cdif 3856   class class class wbr 5033   ↦ cmpt 5113   ∘ ccom 5529  ‘cfv 6336  (class class class)co 7151  ℂcc 10566  0cc0 10568  1c1 10569   + caddc 10571   · cmul 10573   − cmin 10901   / cdiv 11328  ℕcn 11667  ℤcz 12013  seqcseq 13411   ⇝ cli 14882  expce 15456  –cn→ccncf 23570  logclog 25238  log Γclgam 25693  Γcgam 25694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-inf2 9130  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645  ax-pre-sup 10646  ax-addf 10647  ax-mulf 10648 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-int 4840  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-isom 6345  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7406  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-supp 7837  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-1o 8113  df-2o 8114  df-oadd 8117  df-er 8300  df-map 8419  df-pm 8420  df-ixp 8481  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-fin 8532  df-fsupp 8860  df-fi 8901  df-sup 8932  df-inf 8933  df-oi 9000  df-dju 9356  df-card 9394  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-div 11329  df-nn 11668  df-2 11730  df-3 11731  df-4 11732  df-5 11733  df-6 11734  df-7 11735  df-8 11736  df-9 11737  df-n0 11928  df-z 12014  df-dec 12131  df-uz 12276  df-q 12382  df-rp 12424  df-xneg 12541  df-xadd 12542  df-xmul 12543  df-ioo 12776  df-ioc 12777  df-ico 12778  df-icc 12779  df-fz 12933  df-fzo 13076  df-fl 13204  df-mod 13280  df-seq 13412  df-exp 13473  df-fac 13677  df-bc 13706  df-hash 13734  df-shft 14467  df-cj 14499  df-re 14500  df-im 14501  df-sqrt 14635  df-abs 14636  df-limsup 14869  df-clim 14886  df-rlim 14887  df-sum 15084  df-ef 15462  df-sin 15464  df-cos 15465  df-tan 15466  df-pi 15467  df-struct 16536  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-ress 16542  df-plusg 16629  df-mulr 16630  df-starv 16631  df-sca 16632  df-vsca 16633  df-ip 16634  df-tset 16635  df-ple 16636  df-ds 16638  df-unif 16639  df-hom 16640  df-cco 16641  df-rest 16747  df-topn 16748  df-0g 16766  df-gsum 16767  df-topgen 16768  df-pt 16769  df-prds 16772  df-xrs 16826  df-qtop 16831  df-imas 16832  df-xps 16834  df-mre 16908  df-mrc 16909  df-acs 16911  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-submnd 18016  df-mulg 18285  df-cntz 18507  df-cmn 18968  df-psmet 20151  df-xmet 20152  df-met 20153  df-bl 20154  df-mopn 20155  df-fbas 20156  df-fg 20157  df-cnfld 20160  df-top 21587  df-topon 21604  df-topsp 21626  df-bases 21639  df-cld 21712  df-ntr 21713  df-cls 21714  df-nei 21791  df-lp 21829  df-perf 21830  df-cn 21920  df-cnp 21921  df-haus 22008  df-cmp 22080  df-tx 22255  df-hmeo 22448  df-fil 22539  df-fm 22631  df-flim 22632  df-flf 22633  df-xms 23015  df-ms 23016  df-tms 23017  df-cncf 23572  df-limc 24558  df-dv 24559  df-ulm 25064  df-log 25240  df-cxp 25241  df-lgam 25696  df-gam 25697 This theorem is referenced by:  gamcvg2  25737
 Copyright terms: Public domain W3C validator