Theorem gamcvg 27365

Description: The pointwise exponential of the series 𝐺 converges to Γ(𝐴) · 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jul-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
lgamcvg.g	⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
lgamcvg.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))

Assertion

Ref	Expression
gamcvg	⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ ((Γ‘𝐴) · 𝐴))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑚   𝜑,𝑚

Allowed substitution hint:   𝐺(𝑚)

Proof of Theorem gamcvg

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 12985	. . 3 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
2		1zzd 12708	. . 3 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℤ)
3		efcn 26752	. . . 4 ⊢ exp ∈ (ℂ–cn→ℂ)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → exp ∈ (ℂ–cn→ℂ))
5		lgamcvg.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
6	5	eldifad 3911	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
7	6	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℂ)
8		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℕ)
9	8	peano2nnd 12333	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℕ)
10	9	nnrpd 13143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝑚 + 1) ∈ ℝ+)
11	8	nnrpd 13143	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℝ+)
12	10, 11	rpdivcld 13162	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝑚 + 1) / 𝑚) ∈ ℝ+)
13	12	relogcld 26933	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℝ)
14	13	recnd 11318	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚)) ∈ ℂ)
15	7, 14	mulcld 11310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) ∈ ℂ)
16	8	nncnd 12332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ∈ ℂ)
17	8	nnne0d 12369	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝑚 ≠ 0)
18	7, 16, 17	divcld 12074	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝑚) ∈ ℂ)
19		1cnd 11283	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℂ)
20	18, 19	addcld 11309	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ∈ ℂ)
21	5	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)))
22	21, 8	dmgmdivn0 27337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝑚) + 1) ≠ 0)
23	20, 22	logcld 26880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1)) ∈ ℂ)
24	15, 23	subcld 11650	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑚 ∈ ℕ) → ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))) ∈ ℂ)
25		lgamcvg.g	. . . . . 6 ⊢ 𝐺 = (𝑚 ∈ ℕ ↦ ((𝐴 · (log‘((𝑚 + 1) / 𝑚))) − (log‘((𝐴 / 𝑚) + 1))))
26	24, 25	fmptd 7106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:ℕ⟶ℂ)
27	26	ffvelcdmda 7076	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐺‘𝑛) ∈ ℂ)
28	1, 2, 27	serf 14153	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺):ℕ⟶ℂ)
29	25, 5	lgamcvg 27363	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq1( + , 𝐺) ⇝ ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)))
30		lgamcl 27350	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
31	5, 30	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log Γ‘𝐴) ∈ ℂ)
32	5	dmgmn0 27335	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0)
33	6, 32	logcld 26880	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (log‘𝐴) ∈ ℂ)
34	31, 33	addcld 11309	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴)) ∈ ℂ)
35	1, 2, 4, 28, 29, 34	climcncf 25201	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))))
36		efadd 16240	. . . 4 ⊢ (((log Γ‘𝐴) ∈ ℂ ∧ (log‘𝐴) ∈ ℂ) → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))))
37	31, 33, 36	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))))
38		eflgam 27354	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℂ ∖ (ℤ ∖ ℕ)) → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
39	5, 38	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log Γ‘𝐴)) = (Γ‘𝐴))
40		eflog 26886	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
41	6, 32, 40	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(log‘𝐴)) = 𝐴)
42	39, 41	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((exp‘(log Γ‘𝐴)) · (exp‘(log‘𝐴))) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
43	37, 42	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (𝜑 → (exp‘((log Γ‘𝐴) + (log‘𝐴))) = ((Γ‘𝐴) · 𝐴))
44	35, 43	breqtrd 5131	1 ⊢ (𝜑 → (exp ∘ seq1( + , 𝐺)) ⇝ ((Γ‘𝐴) · 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   ∖ cdif 3896   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  0cc0 11181  1c1 11182   + caddc 11184   · cmul 11186   − cmin 11522   / cdiv 11954  ℕcn 12316  ℤcz 12674  seqcseq 14124   ⇝ cli 15631  expce 16207  –cn→ccncf 25177  logclog 26864  log Γclgam 27325  Γcgam 27326

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259  ax-addf 11260

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9338  df-fi 9387  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-dju 9963  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-ioo 13461  df-ioc 13462  df-ico 13463  df-icc 13464  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-fac 14398  df-bc 14427  df-hash 14455  df-shft 15200  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-limsup 15618  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-ef 16213  df-sin 16215  df-cos 16216  df-tan 16217  df-pi 16218  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-starv 17423  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-ip 17426  df-tset 17427  df-ple 17428  df-ds 17430  df-unif 17431  df-hom 17432  df-cco 17433  df-rest 17573  df-topn 17574  df-0g 17592  df-gsum 17593  df-topgen 17594  df-pt 17595  df-prds 17598  df-xrs 17654  df-qtop 17659  df-imas 17660  df-xps 17662  df-mre 17736  df-mrc 17737  df-acs 17739  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-mulg 19258  df-cntz 19511  df-cmn 19976  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-fbas 21655  df-fg 21656  df-cnfld 21659  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-cld 23317  df-ntr 23318  df-cls 23319  df-nei 23396  df-lp 23434  df-perf 23435  df-cn 23525  df-cnp 23526  df-haus 23613  df-cmp 23685  df-tx 23861  df-hmeo 24054  df-fil 24145  df-fm 24237  df-flim 24238  df-flf 24239  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621  df-cncf 25179  df-limc 26166  df-dv 26167  df-ulm 26686  df-log 26866  df-cxp 26867  df-lgam 27328  df-gam 27329

This theorem is used by:  gamcvg2  27369