Theorem zncrng 20253

Description: ℤ/nℤ is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zncrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zncrng	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem zncrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 11729	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eqid 2826	. . . 4 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
3		eqid 2826	. . . 4 ⊢ (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
4	2, 3	zncrng2 20243	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing)
6		eqidd 2827	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
7		zncrng.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8	2, 3, 7	znbas2 20248	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑌))
9	2, 3, 7	znadd 20249	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑌))
10	9	oveqdr 6934	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑥(+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑌)𝑦))
11	2, 3, 7	znmul 20250	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑌))
12	11	oveqdr 6934	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑥(.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑌)𝑦))
13	6, 8, 10, 12	crngpropd 18938	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing ↔ 𝑌 ∈ CRing))
14	5, 13	mpbid 224	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  {csn 4398  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℕ₀cn0 11619  ℤcz 11705  Basecbs 16223  +_gcplusg 16306  ._rcmulr 16307   /_s cqus 16519   ~_QG cqg 17942  CRingccrg 18903  RSpancrsp 19533  ℤ_ringzring 20179  ℤ/nℤczn 20212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-addf 10332  ax-mulf 10333

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-tpos 7618  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-oadd 7831  df-er 8010  df-ec 8012  df-qs 8016  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-sup 8618  df-inf 8619  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-fz 12621  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-0g 16456  df-imas 16522  df-qus 16523  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-grp 17780  df-minusg 17781  df-sbg 17782  df-subg 17943  df-nsg 17944  df-eqg 17945  df-cmn 18549  df-abl 18550  df-mgp 18845  df-ur 18857  df-ring 18904  df-cring 18905  df-oppr 18978  df-subrg 19135  df-lmod 19222  df-lss 19290  df-lsp 19332  df-sra 19534  df-rgmod 19535  df-lidl 19536  df-rsp 19537  df-2idl 19594  df-cnfld 20108  df-zring 20180  df-zn 20216

This theorem is referenced by:  zncyg  20257  zndvds0  20259  znf1o  20260  zzngim  20261  znfld  20269  znchr  20271  znunit  20272  znrrg  20274  cygznlem3  20278  dchrelbas3  25377  dchrelbasd  25378  dchrzrh1  25383  dchrzrhmul  25385  dchrmulcl  25388  dchrn0  25389  dchrfi  25394  dchrghm  25395  dchrabs  25399  dchrinv  25400  dchrptlem1  25403  dchrptlem2  25404  dchrptlem3  25405  dchrpt  25406  dchrsum2  25407  dchrhash  25410  sum2dchr  25413  lgsdchr  25494  dchrisum0flblem1  25611  dchrisum0re  25616  frlmpwfi  38512  isnumbasgrplem3  38519  cznabel  42802  cznrng  42803