Theorem zncrng 21663

Description: ℤ/nℤ is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zncrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zncrng	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem zncrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12615	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
3		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
4	2, 3	zncrng2 21653	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing)
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing)
6		eqidd 2770	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
7		zncrng.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8	2, 3, 7	znbas2 21658	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑌))
9	2, 3, 7	znadd 21659	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑌))
10	9	oveqdr 7439	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑥(+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑌)𝑦))
11	2, 3, 7	znmul 21660	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑌))
12	11	oveqdr 7439	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑥(.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑌)𝑦))
13	6, 8, 10, 12	crngpropd 20372	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing ↔ 𝑌 ∈ CRing))
14	5, 13	mpbid 235	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4594  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℕ₀cn0 12504  ℤcz 12591  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  ._rcmulr 17311   /_s cqus 17559   ~_QG cqg 19188  CRingccrg 20316  RSpancrsp 21309  ℤ_ringczring 21565  ℤ/nℤczn 21621

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-addf 11179

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-er 8694  df-ec 8696  df-qs 8700  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-starv 17325  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-unif 17333  df-0g 17494  df-imas 17562  df-qus 17563  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-subg 19189  df-nsg 19190  df-eqg 19191  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-cring 20318  df-oppr 20419  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-lsp 21071  df-sra 21272  df-rgmod 21273  df-lidl 21310  df-rsp 21311  df-2idl 21360  df-cnfld 21492  df-zring 21566  df-zn 21625

This theorem is referenced by:  zncyg  21667  zndvds0  21669  znf1o  21670  zzngim  21671  znfld  21679  znchr  21681  znunit  21682  znrrg  21684  cygznlem3  21688  dchrelbas3  27368  dchrelbasd  27369  dchrzrh1  27374  dchrzrhmul  27376  dchrmulcl  27379  dchrn0  27380  dchrfi  27385  dchrghm  27386  dchrabs  27390  dchrinv  27391  dchrptlem1  27394  dchrptlem2  27395  dchrptlem3  27396  dchrpt  27397  dchrsum2  27398  dchrhash  27401  sum2dchr  27404  lgsdchr  27485  dchrisum0flblem1  27638  dchrisum0re  27643  znfermltl  33624  ply1fermltl  33821  hashscontpowcl  42811  hashscontpow  42813  aks6d1c4  42815  aks6d1c2  42821  aks6d1c6lem3  42863  aks6d1c6lem5  42868  aks6d1c7lem1  42871  aks5lem2  42878  aks5lem3a  42880  aks5lem5a  42882  frlmpwfi  43751  isnumbasgrplem3  43758  cznabel  48948  cznrng  48949