Theorem zncrng 21474

Description: ℤ/nℤ is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zncrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zncrng	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem zncrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12485	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
3		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
4	2, 3	zncrng2 21464	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing)
5	1, 4	syl 17	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing)
6		eqidd 2731	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
7		zncrng.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8	2, 3, 7	znbas2 21469	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑌))
9	2, 3, 7	znadd 21470	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑌))
10	9	oveqdr 7369	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑥(+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑌)𝑦))
11	2, 3, 7	znmul 21471	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑌))
12	11	oveqdr 7369	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑥(.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑌)𝑦))
13	6, 8, 10, 12	crngpropd 20200	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing ↔ 𝑌 ∈ CRing))
14	5, 13	mpbid 232	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2110  {csn 4574  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℕ₀cn0 12373  ℤcz 12460  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  ._rcmulr 17154   /_s cqus 17401   ~_QG cqg 19027  CRingccrg 20145  RSpancrsp 21137  ℤ_ringczring 21376  ℤ/nℤczn 21432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-addf 11077

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-tp 4579  df-op 4581  df-uni 4858  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-tpos 8151  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-ec 8619  df-qs 8623  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-9 12187  df-n0 12374  df-z 12461  df-dec 12581  df-uz 12725  df-fz 13400  df-struct 17050  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-mulr 17167  df-starv 17168  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-tset 17172  df-ple 17173  df-ds 17175  df-unif 17176  df-0g 17337  df-imas 17404  df-qus 17405  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-subg 19028  df-nsg 19029  df-eqg 19030  df-cmn 19687  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-ur 20093  df-ring 20146  df-cring 20147  df-oppr 20248  df-subrng 20454  df-subrg 20478  df-lmod 20788  df-lss 20858  df-lsp 20898  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-lidl 21138  df-rsp 21139  df-2idl 21180  df-cnfld 21285  df-zring 21377  df-zn 21436

This theorem is referenced by:  zncyg  21478  zndvds0  21480  znf1o  21481  zzngim  21482  znfld  21490  znchr  21492  znunit  21493  znrrg  21495  cygznlem3  21499  dchrelbas3  27169  dchrelbasd  27170  dchrzrh1  27175  dchrzrhmul  27177  dchrmulcl  27180  dchrn0  27181  dchrfi  27186  dchrghm  27187  dchrabs  27191  dchrinv  27192  dchrptlem1  27195  dchrptlem2  27196  dchrptlem3  27197  dchrpt  27198  dchrsum2  27199  dchrhash  27202  sum2dchr  27205  lgsdchr  27286  dchrisum0flblem1  27439  dchrisum0re  27444  znfermltl  33321  ply1fermltl  33538  hashscontpowcl  42132  hashscontpow  42134  aks6d1c4  42136  aks6d1c2  42142  aks6d1c6lem3  42184  aks6d1c6lem5  42189  aks6d1c7lem1  42192  aks5lem2  42199  aks5lem3a  42201  aks5lem5a  42203  frlmpwfi  43110  isnumbasgrplem3  43117  cznabel  48270  cznrng  48271