Theorem zncrng 21850

Description: ℤ/nℤ is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
zncrng.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)

Assertion

Ref	Expression
zncrng	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)

Proof of Theorem zncrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12717	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
2		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (RSpan‘ℤring) = (RSpan‘ℤring)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) = (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))
4	2, 3	zncrng2 21840	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing)
5	1, 4	syl 18	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing)
6		eqidd 2762	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))
7		zncrng.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
8	2, 3, 7	znbas2 21845	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (Base‘𝑌))
9	2, 3, 7	znadd 21846	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (+g‘𝑌))
10	9	oveqdr 7448	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑥(+g‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑌)𝑦))
11	2, 3, 7	znmul 21847	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) = (.r‘𝑌))
12	11	oveqdr 7448	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁})))))) → (𝑥(.r‘(ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑌)𝑦))
13	6, 8, 10, 12	crngpropd 20520	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤring /s (ℤring ~QG ((RSpan‘ℤring)‘{𝑁}))) ∈ CRing ↔ 𝑌 ∈ CRing))
14	5, 13	mpbid 235	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  ._rcmulr 17429   /_s cqus 17677   ~_QG cqg 19332  CRingccrg 20460  RSpancrsp 21485  ℤ_ringczring 21752  ℤ/nℤczn 21808

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-ec 8719  df-qs 8723  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-0g 17612  df-imas 17680  df-qus 17681  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-nsg 19334  df-eqg 19335  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-cring 20462  df-oppr 20567  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-sra 21448  df-rgmod 21449  df-lidl 21486  df-rsp 21487  df-2idl 21543  df-cnfld 21679  df-zring 21753  df-zn 21812

This theorem is used by:  zncyg  21854  zndvds0  21856  znf1o  21857  zzngim  21858  znfld  21866  znchr  21868  znunit  21869  znrrg  21871  cygznlem3  21875  dchrelbas3  27565  dchrelbasd  27566  dchrzrh1  27571  dchrzrhmul  27573  dchrmulcl  27576  dchrn0  27577  dchrfi  27582  dchrghm  27583  dchrabs  27587  dchrinv  27588  dchrptlem1  27591  dchrptlem2  27592  dchrptlem3  27593  dchrpt  27594  dchrsum2  27595  dchrhash  27598  sum2dchr  27601  lgsdchr  27682  dchrisum0flblem1  27835  dchrisum0re  27840  znfermltl  33922  ply1fermltl  34118  hashscontpowcl  43170  hashscontpow  43172  aks6d1c4  43174  aks6d1c2  43180  aks6d1c6lem3  43222  aks6d1c6lem5  43227  aks6d1c7lem1  43230  aks5lem2  43237  aks5lem3a  43239  aks5lem5a  43241  frlmpwfi  44099  isnumbasgrplem3  44106  cznabel  49356  cznrng  49357