Theorem opsrcrng 21962

Description: The ring of ordered power series is commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opsrcrng.o	⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrcrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
opsrcrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
opsrcrng.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
opsrcrng	⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ CRing)

Proof of Theorem opsrcrng

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2		opsrcrng.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
3		opsrcrng.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
4	1, 2, 3	psrcrng 21875	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ CRing)
5		eqidd 2727	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
6		opsrcrng.o	. . . 4 ⊢ 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
7		opsrcrng.t	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
8	1, 6, 7	opsrbas 21948	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑂))
9	1, 6, 7	opsrplusg 21950	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g‘𝑂))
10	9	oveqdr 7433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g‘𝑂)𝑦))
11	1, 6, 7	opsrmulr 21952	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r‘𝑂))
12	11	oveqdr 7433	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(.r‘𝑂)𝑦))
13	5, 8, 10, 12	crngpropd 20188	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ CRing ↔ 𝑂 ∈ CRing))
14	4, 13	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ∈ CRing)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3943   × cxp 5667  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206  ._rcmulr 17207  CRingccrg 20139   mPwSer cmps 21798   ordPwSer copws 21802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-psr 21803  df-opsr 21807

This theorem is referenced by:  psr1crng  22061