MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opsrcrng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opsrcrng 19847
Description: The ring of ordered power series is commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opsrcrng.o 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
opsrcrng.i (𝜑𝐼𝑉)
opsrcrng.r (𝜑𝑅 ∈ CRing)
opsrcrng.t (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
Assertion
Ref Expression
opsrcrng (𝜑𝑂 ∈ CRing)

Proof of Theorem opsrcrng
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
2 opsrcrng.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
3 opsrcrng.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ CRing)
41, 2, 3psrcrng 19773 . 2 (𝜑 → (𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ CRing)
5 eqidd 2825 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
6 opsrcrng.o . . . 4 𝑂 = ((𝐼 ordPwSer 𝑅)‘𝑇)
7 opsrcrng.t . . . 4 (𝜑𝑇 ⊆ (𝐼 × 𝐼))
81, 6, 7opsrbas 19838 . . 3 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘𝑂))
91, 6, 7opsrplusg 19839 . . . 4 (𝜑 → (+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (+g𝑂))
109oveqdr 6932 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(+g‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(+g𝑂)𝑦))
111, 6, 7opsrmulr 19840 . . . 4 (𝜑 → (.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (.r𝑂))
1211oveqdr 6932 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))) → (𝑥(.r‘(𝐼 mPwSer 𝑅))𝑦) = (𝑥(.r𝑂)𝑦))
135, 8, 10, 12crngpropd 18936 . 2 (𝜑 → ((𝐼 mPwSer 𝑅) ∈ CRing ↔ 𝑂 ∈ CRing))
144, 13mpbid 224 1 (𝜑𝑂 ∈ CRing)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wss 3797   × cxp 5339  cfv 6122  (class class class)co 6904  Basecbs 16221  +gcplusg 16304  .rcmulr 16305  CRingccrg 18901   mPwSer cmps 19711   ordPwSer copws 19715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-iin 4742  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-se 5301  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-isom 6131  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-of 7156  df-ofr 7157  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-supp 7559  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-2o 7826  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-pm 8124  df-ixp 8175  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-fsupp 8544  df-oi 8683  df-card 9077  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-fz 12619  df-fzo 12760  df-seq 13095  df-hash 13410  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-sca 16320  df-vsca 16321  df-tset 16323  df-ple 16324  df-0g 16454  df-gsum 16455  df-mre 16598  df-mrc 16599  df-acs 16601  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-mhm 17687  df-submnd 17688  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-mulg 17894  df-ghm 18008  df-cntz 18099  df-cmn 18547  df-abl 18548  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-cring 18903  df-psr 19716  df-opsr 19720
This theorem is referenced by:  psr1crng  19916
  Copyright terms: Public domain W3C validator